1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 椭 圆 一、选择题 1.椭圆 x2my24 1 的焦距为 2， 则 m 的值等于 ( ) A.5 B.3 C.5 或 3 D.8 解析 当 m4 时 ， m 4 1， m 5；当 00，6 m0，m 26 m， 2b0)的右焦点 ， 直线 yb2与椭圆交于 B， C 两点 ， 且 BFC 90， 则该椭圆的离心率是 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由已知条件易得 B? ? 32 a， b2 ， C? ?32 a， b2 ， F(c， 0)， BF ? ?c 32 a， b2 ， CF ?c 32 a， b2 ， 由 BFC 90 ，
2、可得 BF CF 0， 所以 ? ?c 32 a ? ?c 32 a ? ? b22 0， c2 34a2 14b2 0， 即 4c2 3a2 (a2 c2) 0， 3c2 2a2. 所以 c2a223， 则 eca63 . 答案 63 14.(2017 西安 质监 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左 、右焦点分别为 F1， F2， 且 |F1F2| 6， 直线 y kx 与椭圆交于 A， B 两点 . (1)若 AF1F2的周长为 16， 求椭圆的标准方程； (2)若 k 24 ， 且 A， B， F1， F2四点共圆 ， 求椭圆离心率 e 的值； (3)在 (2)的条件下
3、， 设 P(x0， y0)为椭圆上一点 ， 且直线 PA 的斜率 k1 ( 2， 1)， 试求直线 PB 的斜率 k2的取值范围 . 解 (1)由题意得 c 3， 根据 2a 2c 16，得 a 5. 结合 a2 b2 c2， 解得 a2 25， b2 16. 所以椭圆的标准方程为 x225y216 1. (2)法一 由?x2a2 y2b2 1，y 24 x，得 ? ?b2 18a2 x2 a2b2 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 所以 x1 x2 0， x1x2 a2b2b2 18a2， 由 AB， F1F2互相平分且共圆 ， 易知 ， AF2 BF2， =【 ;精品教
4、育资源文库 】 = 因为 F2A (x1 3， y1)， F2B (x2 3， y2)， 所以 F2A F2B (x1 3)(x2 3) y1y2 ? ?1 18 x1x2 9 0.即 x1x2 8， 所以有 a2b2b2 18a2 8， 结合 b2 9 a2， 解得 a2 12， e 32 . 法二 设 A(x1， y1)， 又 AB， F1F2互相平分且共圆 ， 所以 AB， F1F2是圆的直径 ， 所以 x21y21 9， 又由椭圆及直线方程综合可得?x21 y21 9，y1 24 x1，x21a2y21b2 1.由前两个方程解得 x21 8， y21 1， 将其代入第三个方程并结合 b2 a2 c2 a2 9， 解得 a2 12， 故 e 32 . (3)由 (2)的结论知 ， 椭圆方程为 x212y23 1， 由题可设 A(x1， y1)， B( x1， y1)， k1 y0 y1x0 x1， k2 y0 y1x0 x1，所以 k1k2 y20 y21x20 x21， 又 y20 y21x20 x213? ?1 x2012 3?1 x2112x20 x21 14. 即 k2 14k1， 由 2 k1 1 可知 ， 18 k2 14. 故直线 PB 的斜率 k2的取值范围是 ? ?18， 14 .
