1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 1 讲 数列的概念及简单表示法 一、选择题 1数列 0,1,0， 1,0,1,0， 1， 的一个通项公式是 an等于 ( ) A. n 12 B cos n2 C cos n 12 D cos n 22 解析 令 n 1,2,3， ，逐一验证四个选项，易得 D 正确 答案 D 2数列 23， 45， 67， 89， 的第 10 项是 ( ) A 1617 B 1819 C 2021 D 2223 解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子很容易归纳出数列 an的通项公式 an ( 1)n 1 2n2n
2、 1，故a10 2021. 答案 C 3 (2016 上饶调研 )在数列 an中，已知 a1 1， an 1 2an 1，则其通项公式 an ( ) A 2n 1 B 2n 1 1 C 2n 1 D 2(n 1) 解析 法一 由 an 1 2an 1，可求 a2 3， a3 7， a4 15， ，验证可知 an 2n 1. 法二 由题意知 an 1 1 2(an 1)， 数列 an 1是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， an 1 2n， an 2n 1. 答案 A 4数列 an的前 n 项积为 n2，那么当 n2 时， an等于 ( ) A 2n 1 B n2 C. n2n2 D.n2
3、n 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 数列 an的前 n 项积为 Tn，则 Tn n2， 当 n2 时， an TnTn 1 n2n 2. 答案 D 5数列 an满足 an 1 an 2n 3，若 a1 2，则 a8 a4 ( ) A 7 B 6 C 5 D 4 解析 依题意得 (an 2 an 1) (an 1 an) 2(n 1) 3 (2n 3)，即 an 2 an 2，所以 a8 a4 (a8 a6) (a6 a4) 2 2 4. 答案 D 二、填空题 6 若数列 an满足关系 an 1 1 1an， a8 3421， 则 a5 _. 解析 借助递推关系，则 a8递推依次
4、得到 a7 2113， a6 138 ， a5 85. 答案 85 7已知数列 an的前 n 项和 Sn n2 2n 1(n N )，则 an _. 解析 当 n2 时， an Sn Sn 1 2n 1，当 n 1 时， a1 S1 421 1，因此 an? 4， n 1，2n 1， n2. 答案 ? 4， n 1，2n 1， n2. 8 (2017 北京海淀期末 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 an0( n N )，又 anan 1 Sn，则 a3 a1 _. 解析 因为 anan 1 Sn，所以令 n 1 得 a1a2 S1 a1，即 a2 1，令 n 2，得 a2a3 S2a
5、1 a2，即 a3 1 a1，所以 a3 a1 1. 答案 1 三、解答题 9数列 an的通项公式是 an n2 7n 6. (1)这个数列的第 4 项是多少？ (2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当 n 4 时， a4 42 47 6 6. (2)令 an 150，即 n2 7n 6 150，解得 n 16 或 n 9(舍去 )，即 150 是这个数列的=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 16 项 (3)令 an n2 7n 6 0，解得 n 6 或 n 1(舍 ) 从第 7 项起各项都是正数 10已知数列 a
6、n中， a1 1，前 n 项和 Sn n 23 an. (1)求 a2， a3； (2)求 an的通项公式 解 (1)由 S2 43a2得 3(a1 a2) 4a2， 解得 a2 3a1 3. 由 S3 53a3得 3(a1 a2 a3) 5a3， 解得 a3 32(a1 a2) 6. (2)由题设知 a1 1. 当 n2 时 ， 有 an Sn Sn 1 n 23 an n 13 an 1， 整理得 an n 1n 1an 1. 于是 a1 1， a2 31a1， a3 42a2， an 1 nn 2an 2， an n 1n 1an 1. 将以上 n 个等式两端分别相乘， 整理得 an n
7、 n2 . 显然，当 n 1 时也满足上式 综上可知， an的通项公式 an n n2 . 11设 an 3n2 15n 18，则数列 an中的最大项的值是 =【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) A.163 B.133 C 4 D 0 解析 an 3? ?n 52 2 34，由二次函数性质，得当 n 2 或 3 时， an最大，最大为 0. 答案 D 12 (2017 石家庄质检 )已知数列 an满足 an 2 an 1 an，且 a1 2， a2 3，则 a2 016的值为_ 解析 由题意得， a3 a2 a1 1， a4 a3 a2 2， a5 a4 a3 3， a6 a5 a4 1，
8、a7 a6 a5 2， 数列 an是周期为 6 的周期数列，而 2 016 6336 ， a2 016 a61. 答案 1 13 (2017 太原模拟 )已知数列 an满足 a1 1， an an 1 nanan 1(n N )，则 an _. 解析 由 an an 1 nanan 1 得 1an 1 1an n，则由累加法得 1an 1a1 1 2 (n 1)n2 n2 ，又因为 a1 1，所以1ann2 n2 1n2 n 22 ，所以 an2n2 n 2. 答案 2n2 n 2 14 (2016 榆林模拟 )已知数列 an中， an 1 1a n (n N ， a R 且 a0) (1)若
9、 a 7，求数列 an中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的 n N ，都有 an a6成立，求 a 的取值范围 解 (1) an 1 1a n (n N ， a R，且 a0) ， 又 a 7， an 1 12n 9(n N ) 结合函数 f(x) 1 12x 9的单调性，可知 1a1a2a3a4， a5a6a7 an1(n N ) 数列 an中的最大项为 a5 2，最小项为 a4 0. (2)an 1 1a n 112n 2 a2， 已知对任意的 n N ，都有 an a6成立， =【 ;精品教育资源文库 】 = 结合函数 f(x) 112x 2 a2的单调性， 可知 52 a2 6，即 10a 8. 即 a 的取值范围是 ( 10， 8).
