1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3.1 导数的概念及运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解导数概念的实际背景 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义 3.能根据导数定义求函数 y c(c 为常数 )， y x， y x2， y x3， y 1x， y x的导数 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 . 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第 (1)问，低档难度 . 1导数与导函 数的概念 (1)当 x1趋于 x0，即 x 趋于 0 时，如果 平均变化率趋于一个固定的值
2、，那么这个值就是函数 y f(x)在 x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数 y f(x)在 x0点的导数，通常用符号 f( x0)表示，记作 f( x0) limx1 x0f?x1? f?x0?x1 x0 lim x0 f?x0 x? f?x0? x . (2)如果一个函数 f(x)在区间 (a， b)上的每一点 x 处都有导 数，导数值记为 f( x)： f( x) lim x0 f?x x? f?x? x ，则 f( x)是关于 x 的函数，称 f( x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数 2导数的几何意义 函数 y f(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 y f(x
3、)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率 k，即 k f( x0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 3基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x) c(c 为常数 ) f( x) 0 f(x) x ( 为实数 ) f( x) x 1 f(x) sin x f( x) cos_x f(x) cos x f( x) sin_x f(x) ex f( x) ex f(x) ax(a0， a1) f( x) axln_a f(x) ln x f( x) 1x f(x) logax(a0， a1) f( x) 1xln a 4.导数的运算法则 若 f( x)， g( x)存在，则有 (1
4、)f(x) g(x) f( x) g( x)； (2)f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)； (3)f?x?g?x? f ?x?g?x? f?x?g ?x?g2?x? (g(x)0) 知识拓展 1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 2 af(x) bg(x) af( x) bg( x) 3函数 y f(x)的导数 f( x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 |f( x)|反映了变化的快慢， |f( x)|越大，曲线在这点处的切线越 “ 陡 ” 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “
5、” 或 “”) (1)f( x0)是函数 y f(x)在 x x0附近的平均变化率 ( ) (2)f( x0)与 f(x0) 表示的意义相同 ( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ( ) (4)函数 f(x) sin( x)的导数是 f( x) cos x ( ) 题组二 教材改编 2若 f(x) xe x，则 f(1) _. 答案 2e =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 f( x) ex xex， f(1) 2e. 3曲线 y sin xx 在点 M( ， 0)处的切线方程为 _ 答案 x y 0 解析 y xcos x sin xx2 ， x 时， y 2 1 ，
6、 切线方程为 y 1 (x ) ，即 x y 0. 题组三 易错自纠 4如图所示为函数 y f(x)， y g(x)的导函数的图像，那么 y f(x)， y g(x)的图像可能是 ( ) 答案 D 解析 由 y f( x)的图像知， y f( x)在 (0， ) 上是减少的，说明函数 y f(x)的切线的斜率在 (0， ) 上也是减少的，故可排除 A， C. 又由图像知 y f( x)与 y g( x)的图像在 x x0处相交，说明 y f(x)与 y g(x)的图像在 x x0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D. 5有一机器人的运动方程为 s t2 3t(t 是时间， s 是位移 )
7、，则该机器人在时刻 t 2 时的瞬时速度为 ( ) A.194 B.174 C.154 D.134 答案 D 6 (2018 青岛调研 )已知 f(x) 12x2 2xf(2 018) 2 018ln x，则 f(2 018) 等于 ( ) A 2 018 B 2 019 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 2 019 D 2 018 答案 B 解析 由题意得 f( x) x 2f(2 018) 2 018x ， 所以 f(2 018) 2 018 2f(2 018) 2 0182 018， 即 f(2 018) (2 018 1) 2 019. 7已知函数 f(x) ax3 x 1 的图像
8、在点 (1， f(1)处的切线过点 (2,7)，则 a _. 答案 1 解析 f( x) 3ax2 1， f(1) 3a 1， 又 f(1) a 2， 切线方程为 y (a 2) (3a 1)(x 1)， 又点 (2,7)在切线上，可得 a 1. 题型一 导数的计算 1 f(x) x(2 018 ln x)，若 f( x0) 2 019，则 x0等于 ( ) A e2 B 1 C ln 2 D e 答案 B 解析 f( x) 2 018 ln x x 1x 2 019 ln x，故由 f( x0) 2 019，得 2 019 ln x0 2 019，则 ln x0 0，解得 x0 1. 2若函
9、数 f(x) ax4 bx2 c 满足 f(1) 2，则 f( 1)等于 ( ) A 1 B 2 C 2 D 0 答案 B 解析 f( x) 4ax3 2bx， f( x)为奇函数且 f(1) 2， f( 1) 2. 3已知 f(x) x2 2xf(1) ，则 f(0) _. 答案 4 解析 f( x) 2x 2f(1) ， f(1) 2 2f(1) ，即 f(1) 2. f( x) 2x 4， f(0) 4. 思维升华 导数计算的技巧 =【 ;精品教育资源文库 】 = 求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量 题型二 导数的几何意义 命题点 1 求切线方程 典例 (1)曲线 f(x)
10、 exx 1在 x 0 处的切线方程为 _ 答案 2x y 1 0 解析 根据题意可知切点坐标为 (0， 1)， f( x) ?x 1?ex? ex?x 1?x 1?2 ?x 2?ex?x 1?2 ， 故切线的斜率 k f(0) ?0 2?e0?0 1?2 2， 则直线的方程为 y ( 1) 2(x 0)， 即 2x y 1 0. (2)已知函数 f(x) xln x，若直线 l 过点 (0， 1)，并且与曲线 y f(x)相切，则直线 l 的方程为 _ 答案 x y 1 0 解析 点 (0， 1)不在曲线 f(x) xln x 上， 设切点为 (x0， y0) 又 f( x) 1 ln x，
11、 直线 l 的方程为 y 1 (1 ln x0)x. 由? y0 x0ln x0，y0 1 ?1 ln x0?x0， 解得 x0 1， y0 0. 直线 l 的方程为 y x 1，即 x y 1 0. 引申探究 本例 (2)中，若曲线 y xln x 上点 P 的切线平行于直线 2x y 1 0，则点 P 的坐标是_ 答案 (e， e) 解析 y 1 ln x，令 y 2，即 1 ln x 2， x e， 点 P 的坐标为 (e， e) 命题点 2 求参数的值 典例 (1)直线 y kx 1 与曲线 y x3 ax b 相切于点 A(1,3)，则 2a b _. =【 ;精品教育资源文库 】
12、= 答案 1 解析 由题意知， y x3 ax b 的导数 y 3x2 a， 则? 13 a b 3，31 2 a k，k 1 3，由此解得 k 2， a 1， b 3， 2 a b 1. (2)(2018 届东莞外国语学校月考 )曲线 y 4x x2上两点 A(4,0)， B(2,4)，若曲线上一点 P处的切线恰好平行于弦 AB，则点 P 的坐标是 ( ) A (3,3) B (1,3) C (6， 12) D (2,4) 答案 A 解析 设点 P(x0， y0)， A(4,0)， B(2,4)， kAB 4 02 4 2. 在点 P 处的切线 l 平行于弦 AB， kl 2. 根据导数的几
13、何意义知 当 x x0时， y 4 2x0 2， 即 x0 3， 点 P(x0， y0)在曲线 y 4x x2上， y0 4x0 x20 3， P(3,3) 命题点 3 导数与函数图像 典例 (1)已知函数 y f(x)的图像是 下列四个图像之一，且其导函数 y f( x)的图像如图所示，则该函数的图像是 ( ) 答案 B 解析 由 y f( x)的图像是先上升后下降可知，函数 y f(x)图像的切线的斜率先增大后减小，故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)已知 y f(x)是可导函数，如图，直线 y kx 2 是曲线 y f(x)在 x 3 处的切线，令 g(x) xf(x)，
14、 g( x)是 g(x)的导函数，则 g(3) _. 答案 0 解析 由题图可知曲线 y f(x)在 x 3 处切线的斜率等于 13， f(3) 13. g(x) xf(x)， g( x) f(x) xf( x)， g(3) f(3) 3f(3) ， 又由题图可知 f(3) 1， g(3) 1 3 ? ? 13 0. 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点 A(x0， f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值 k f( x0) (2)若求过点 P(x0， y0)的切线方程，可设切点为 (x1， y1)，由? y1 f?x1?，y0 y1 f
15、?x1?x0 x1? 求解即可 (3)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况 跟踪训练 (1)(2017 山西孝义模拟 )已知 f(x) x2，则曲线 y f(x)过点 P( 1,0)的切线方程是 _ 答案 y 0 或 4x y 4 0 解析 设切点坐标为 (x0， x20)， f( x) 2x， 切线方程为 y 0 2x0(x 1)， x20 2x0(x0 1)， 解得 x0 0 或 x0 2， 所求切线方程为 y 0 或 y 4(x 1)， 即 y 0 或 4x y 4 0. (2)设曲线 y 1 cos xsin x 在点 ? ? 2 ， 1 处的切线与直线 x ay 1 0平行，则实数 a _. 答案 1 解析 y 1 cos xsin2x ， 当 x 2 时， y 1. =【 ;
