1、例例1 已知质点位矢函数为已知质点位矢函数为jir)23(42tt 求：求： 1）质点运动的轨道方程；）质点运动的轨道方程； 2）t=1秒和秒和t=2秒时刻的速度；秒时刻的速度； 3）从）从t=1秒到秒到t=2秒的位移，该时间内的平均速度；秒的位移，该时间内的平均速度； 4）t时刻的切向加速度和法向加速度。时刻的切向加速度和法向加速度。解：解：1）由）由jir)23(42tt2)3y(xj2i8tdtrdv1168222taaatnt23y2t4x 消消t，得轨道方程：，得轨道方程：jv28(1) ijiv216(2) jir21212rr 211222 1rrirvjt1162222tvvv
2、yx222222228xyd xd yaaadtdt116322ttdtdvat3）位移）位移 平均速度平均速度4）速率）速率2） 例例2 一质点以半径一质点以半径r=0.1m做圆周运动，其角位置做圆周运动，其角位置 = 2 + 4t3 （rad） 求：（求：（1）t = 1s时，法向加速度时，法向加速度an和切向加速度和切向加速度at？ （2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，为何值？为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解解: （1）角速度为）角速度为 = d/dt =
3、12t2 = 12(rads-1)， 法向加速度为法向加速度为an = r2 = 14.4(ms-2)； 角加速度为角加速度为 = d/dt = 24t = 24(rads-2)， 切向加速度为切向加速度为at = r = 2.4(ms-2) （2）总加速度大小为）总加速度大小为a = (at2 + an2)1/2， 当当at = a/2时，有时，有4at2 = at2 + an2，解得，解得23rr33/6t 3243.15t即即 得得22(12 )243tt （3）当）当at = an时，可得时，可得r = r2， 即即 24t = (12t2)2， 解得解得 t = (1/6)1/3 =
4、 0.55(s)3ntaa(rad)例例3 由楼窗口以初速度由楼窗口以初速度v0水平抛出一小球，若沿水平抛出一小球，若沿v0方向为方向为x轴，轴，竖直向下为竖直向下为y 轴，不计空气阻力，由抛出瞬间开始计时，（重轴，不计空气阻力，由抛出瞬间开始计时，（重力加速度为力加速度为g）。）。求：求： （1）小球在任一时刻）小球在任一时刻t的坐标及小球运动的轨迹方程；的坐标及小球运动的轨迹方程； （2）小球在）小球在t 时刻的速度、切向加速度和法向加速度。时刻的速度、切向加速度和法向加速度。tvx0221gty 2021,gttv2202gxyvjgtivjdtdyidtdxjvivvyx0222022
5、tgvvvvyx22202tgvtgdtdvat2222022 20nttgvaaagavg t解：（解：（1 1）根据题意小球的运动方程为）根据题意小球的运动方程为 t t 时刻的坐标时刻的坐标 消去以上方程组中的消去以上方程组中的t t，可得小球的轨迹方程，可得小球的轨迹方程（2 2） 速度速度速率速率 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度 0v2kva例例4 一汽车正以速率一汽车正以速率 行驶，发动机关闭后由于地面阻力得到行驶，发动机关闭后由于地面阻力得到与速度方向相反、大小与速率平方成正比的加速度与速度方向相反、大小与速率平方成正比的加速度 。试求汽车在关闭发动机后又行驶试求汽车
6、在关闭发动机后又行驶x x 距离时的速率。距离时的速率。 2kvdxdvvdtdxdxdvdtdva整理把式子2kvdxdvvkdxdvv1xvvkdxdvv001xvvkxv00lnkxevv0解：根据题意解：根据题意则可得到则可得到两边积分两边积分例例5 5 某质点沿某质点沿x x轴运动，其加速度轴运动，其加速度a a与位置坐标与位置坐标x x 的关系的关系 256ax ，如果质点在原点处的速度为零，试求其在，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。任意位置处的速度。 解：设质点在解：设质点在x x 处的速度为处的速度为v vxvxxv03022521322521xxv341
7、0 xxvxxx)d65(d002vvv根据题意根据题意 , 加速度可以表达为加速度可以表达为将上式进行整理并将等式两边积分将上式进行整理并将等式两边积分 265ddddddxdxdvvtxxtavv则则1、 某质点沿某质点沿x轴作直线运动，其轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，曲线如图所示，如果如果t=0时质点位于坐标原点，则时质点位于坐标原点，则t=4.5s时质点在时质点在x轴轴上的位置为（上的位置为（ ）。）。(A) 0(B) 5m(C) 2m(D) 2m2、某质点的运动方程为、某质点的运动方程为x=3t-5t3+5，则该质点作（，则该质点作（ ）。）。(A) 匀加速直线运动，加速度沿匀
8、加速直线运动，加速度沿X轴正方向轴正方向(B) 匀加速直线运动，加速度沿匀加速直线运动，加速度沿X轴负方向轴负方向(C) 变加速直线运动，加速度沿变加速直线运动，加速度沿X轴正方向轴正方向(D) 变加速直线运动，加速度沿变加速直线运动，加速度沿X轴负方向轴负方向3、某物体的运动规律为、某物体的运动规律为 ，式中的式中的k为大于零的常为大于零的常数。当数。当t=0时，初速为时，初速为v，则速度，则速度v与时间与时间t 的函数关系是（的函数关系是（ ）。）。 tkva24、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的（、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的（ ）。）。 (A)切
9、向加速度必不为零切向加速度必不为零 (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）法向加速度必不为零（拐点处除外） (C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零 (D) 若物体的加速度若物体的加速度a为恒矢量，它一定作匀变速率运动为恒矢量，它一定作匀变速率运动 5 5、以下四种运动，加速度保持不变的运动是（、以下四种运动，加速度保持不变的运动是（ ）。）。 (A)(A)单摆的运动单摆的运动(B)(B)圆周运动圆周运动(C)(C)抛体运动抛体运动(D)(D)匀速率曲线运动匀速率曲线运动6 6、质点沿半径为、质点沿半径为R
10、R 的圆周作匀速率运动，每的圆周作匀速率运动，每T T秒转一圈。秒转一圈。在在2T2T时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为（时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为（ ）。）。 (A) 2R/T ，2R/T (B) 0，2R/T (C) 0，0 (D) 2R/T ，0 7 7、质点在、质点在x x 轴上运动，运动方程为轴上运动，运动方程为x x=4=4t t 2 2-2-2t t 3 3，则质点返回，则质点返回原点时的速度和加速度分别为（原点时的速度和加速度分别为（ ）。）。(A) 8m/s(A) 8m/s，16m/s216m/s2(B) -8m/s(B) -8m/s，-16m
11、/s2-16m/s2(C) -8m/s(C) -8m/s，16m/s216m/s2(D) 8m/s(D) 8m/s，-16m/s2-16m/s28、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖上的船向岸边运动，设该人以匀速率定滑轮拉湖上的船向岸边运动，设该人以匀速率v收绳，绳长不收绳，绳长不变，湖水静止，则小船的运动是（变，湖水静止，则小船的运动是（ ）。）。 （A）匀加速运动）匀加速运动 （B）匀减速运动）匀减速运动 （C）变加速运动）变加速运动 （D）变减速运动）变减速运动9、两辆车甲和乙，在笔直的公路上同向行驶，它们
12、从同一起始线、两辆车甲和乙，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，由出发点开始计时，行驶距离上同时出发，由出发点开始计时，行驶距离x(m)与行驶时间与行驶时间t(s)的的函数关系式：甲为函数关系式：甲为x1=4t+t，乙为，乙为x2=2t+2t3(1)它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_；(2)出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是_；(3)出发后，甲车和乙车速度相同的时刻是出发后，甲车和乙车速度相同的时刻是_。（1）甲车（）甲车（2）1.19s （3）0.67s， ，23xt21242ytt10、某质点
13、在、某质点在Oxy平面上运动，运动方程平面上运动，运动方程则则t=2s末，质点的位置矢量末，质点的位置矢量r=_，速率，速率v=_, 加速度加速度a=_。,72ij2 5j,11、某质点的运动方程为、某质点的运动方程为x=6t-t2，则在，则在t由由0到到4s的时间间隔内，的时间间隔内，质点位移的大小为质点位移的大小为 ，质点走过的路程为，质点走过的路程为 。8m ， 10m2btv tana1212、半径为、半径为R R的圆周上运动的质点，速率与时间的关系为的圆周上运动的质点，速率与时间的关系为 ，则从，则从0 0时刻到时刻到t t 时刻质点走过的路程时刻质点走过的路程S S（t t）=_=
14、_， t t时刻质点的切向加速时刻质点的切向加速=_，法向加速度，法向加速度=_ . .313bt2 4b tR， 2bt ，13、某质点、某质点P 沿半径为沿半径为R 的圆周运动，质点所经过的弧长与的圆周运动，质点所经过的弧长与时间的关系时间的关系 ，其中，其中b、c 是大于零的常量，则是大于零的常量，则 t 时时刻质点刻质点P 的速度大小为的速度大小为_，角加速度大小为，角加速度大小为_，加速度大小为加速度大小为_。 , ,bctcR422bctcR 221ctbtS14、飞轮作加速转动时，轮边缘一点的运动方程为、飞轮作加速转动时，轮边缘一点的运动方程为 ，飞轮半径为飞轮半径为5m，当此点
15、的速率，当此点的速率 时，其切向加速时，其切向加速度为度为_，法向加速度为，法向加速度为_。,30.04t60/vm s212/m s2720/m s 15、有一质点沿、有一质点沿y轴做直线运动，轴做直线运动，t时刻坐标为时刻坐标为234.52ytt求：（求：（1）第）第2秒内的平均速度秒内的平均速度? （2）第）第2秒末的瞬时速度秒末的瞬时速度? （3）第）第2秒内的路程秒内的路程?(2)(1)0.5/2 1yvvvm s 2966/ydyvttm sdt (1.5)(1)(2)(1.5)2.25yyyym解：（解：（1）（2）（3） sincosratibtjab、 、16、已知质点的运动
16、方程为、已知质点的运动方程为 ，其中其中均为正常数。均为正常数。求：（求：（1 1）质点的速度和加速度）质点的速度和加速度? ? （2 2）运动轨迹方程）运动轨迹方程? ?cossindrvatibtjdt22sincosdvaatibtjdt 22221xyabcosybwtsinxawt解：（解：（1） （2）mR321/rad s17、一质点从静止出发沿半径为、一质点从静止出发沿半径为的圆周运动，角加速度的圆周运动，角加速度求：（求：（1 1）经过多长时间它的总加速度恰好与半径成）经过多长时间它的总加速度恰好与半径成4545o o角？角？ （2 2）此时质点所经过的路程为多少？）此时质点
17、所经过的路程为多少？222 23/1/1tntnaam saRm saRt Rts 211.52sRR tm解：（解：（1） （2 2）18、一质点在、一质点在x轴上运动，它的速度大小和时间的关系为轴上运动，它的速度大小和时间的关系为 。223vt当当t=2st=2s时，质点在原点左边时，质点在原点左边5m5m处。处。求：（求：（1 1）质点的加速度）质点的加速度? ? （2 2）质点的位置表达式）质点的位置表达式? ?6xdvaa iitidt223dxvtdt25223xtdxtdt35248xtt3217xtt解：（解：（1）（2） tAasin2均为正常数其中, 0AAxv1919、一质点在、一质点在x x 轴上做直线运动，其瞬时加速度为轴上做直线运动，其瞬时加速度为 。在在t=0时，时，求此质点的运动学方程。，求此质点的运动学方程。2sinaAt2200sinsincosvtdvAtdtdvAtdtvAtA 0coscosxtAdxAtAdtdxAtAdt sinxAA tAt解：解： 20、某物从空中由静止落下，其加速度、某物从空中由静止落下，其加速度 ,aAB试求：试求：（1）物体下落的速度；）物体下落的速度；（2）物体的运动方程。）物体的运动方程。(1)BtAeB2(1)BtAAyteBB解：（解：（1）（2）
