1、第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图专题2三视图与直观图(2015辽宁丹东二模,三视图与直观图,选择题,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),画该四面体三视图中的正视图时,以平面zOy为投影面,则得到正视图可以为()解析:由题意,画出直角坐标系,在坐标系中各点对应位置如图所示.以平面zOy为投影面,得到的正视图为答案:D(2015辽宁葫芦岛二模,三视图与直观图,选择题,理7)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是()A.B.2C.5D.答案:D8.2空间几何体的表面积与体积专题1
2、空间几何体的表面积(2015江西宜春奉新一中高考模拟,空间几何体的表面积,选择题,理11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为()A.B.C.D.3解析:由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则SAED=11=,SABC=SABE=1,SACD=1.故侧面面积最大为.答案:B(2015江西宜春奉新一中高考模拟,空间几何体的表面积,填空题,理15)已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体积最大时,它的外接球的表面积为.解析:设正六棱柱的底面边长为x
3、,高为y,则6x+y=9,0x1.5,正六棱柱的体积V=6x2y=3x3x(9-6x),当且仅当x=1时等号成立,此时y=3.可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点,则半径为.外接球的表面积为4=13.答案:13(2015江西南昌三模,空间几何体的表面积,填空题,理14)正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若正四棱锥的底面边长是4,侧棱长为2,则此球的表面积为.答案:36(2015河北保定二模,空间几何体的表面积,填空题,理16)三棱锥的四个面中,设Rt的个数为n.若当n取最大值时,该三棱锥的最大棱长为(n+1)2-2n,则该三棱锥外接球的表面积为.解析:如图,三棱锥P-
4、ABC的四个面中,Rt的个数n的最大值为4,此时PA面ABC,ABC=90,则PBC=90,三棱锥的最大边为PC.由题意可得PC=52-24=9,其外接球的半径为PC=,故外接球的表面积为S=4=81.答案:81(2015河北衡水中学高三一调,空间几何体的表面积,选择题,理7)已知一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的表面积为()A.4+4+5B.2+2C.D.2+2+3解析:由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱,底面三角形的三边长为:1,.故底面三角形的面积为:11=;底面周长为:1+;棱柱的高为2;故棱柱的表面积:S=2+(1+)2=2+2+3.答案:D(2015辽宁丹东一模,空间几何
5、体的表面积,选择题,理6)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为60的扇形,则该几何体的侧面积为()A.12+B.6+C.12+2D.6+4解析:由三视图知几何体是圆柱体的,且母线长为3,底面半径为2,弧长为2=,几何体的侧面积S=3=12+2.答案:C(2015辽宁葫芦岛二模,空间几何体的表面积,选择题,理10)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA平面ABCD,且SA=2,则此四棱锥的外接球的表面积为()A.12B.24C.144D.48解析:如图所示.连接AC,BD相交于点O1.取SC的中点O,连接OO1.则OO1SA.SA底面ABCD,OO1
6、底面ABCD.可得点O是四棱锥S-ABCD外接球的球心.因此SC是外接球的直径.SC2=SA2+AC2=48,四棱锥P-ABCD外接球的表面积为48.答案:D专题2空间几何体的体积(2015江西南昌三模,空间几何体的体积,选择题,理4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.16B.20C.4D.60答案:B(2015河北保定二模,空间几何体的体积,选择题,理7)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是2,则正视图中的x=()A.2B.3C.D.解析:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,其底面面积S=(1+2)2=
7、3,高h=x,故棱锥的体积V=Sh=x=2.答案:A(2015河北邯郸二模,空间几何体的体积,选择题,理9)某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为1,则该三棱锥的体积为()A.5B.4C.3D.2解析:由已知三棱锥的三视图,可得该三棱锥的直观图如下所示:其高为2,底面是直角边长为3的等腰直角三角形,故其底面面积S=33=,高h=2,故体积V=Sh=3.答案:C(2015河北邯郸二模,空间几何体的体积,选择题,理11)四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上,若AB,AC,AD两两垂直,=2,则该四面体体积的最大值为()A.B.C.2D.7答案:A(2015河北衡水中学高三一调,
8、空间几何体的体积,选择题,理11)四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,点S,A,B,C,D均在半径为的同一半球面上,则当四棱锥S-ABCD的体积最大时,底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()A.2-B.2C.D.+1答案:C(2015辽宁丹东一模,空间几何体的体积,填空题,理16)四面体ABCD的体积是,ABC是斜边AB=2的等腰直角三角形,若点A,B,C,D都在半径为的同一球面上,则D与AB中点的距离是.解析:设AB的中点为E.四面体ABCD的体积是,ABC是斜边AB=2的等腰直角三角形,D到平面ABC的距离为DF=.点A,B,C,D都在半径为的同一球面上,球心O到平面ABC的距
9、离为OE=1.如图所示,取OE的中点G,则DGOE.DE=OD=.答案:(2015辽宁锦州二模,空间几何体的体积,选择题,理4)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9B.200+18C.140+9D.140+18解析:根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和.长方体的三边为10,4,5;圆柱的底面半径为3,高为2,所以几何体的体积=1045+322=200+9.答案:A(2015辽宁锦州一模,空间几何体的体积,选择题,理6)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.64B.72C.80D.112解析:由几何体的三视图可知,该几何体下部为正方体
10、,边长为4,体积为43=64;上部为三棱锥,以正方体上底面为底面,高为3,其体积423=8.故该几何体的体积是64+8=72.答案:B专题3组合体的“接”“切”综合问题(2015辽宁锦州一模,组合体的“接”“切”综合问题,填空题,理14)在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,ABC,ACD,ADB的面积分别为,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为.解析:三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,可把三棱锥补成长方体,两者的外接球是同一个,故长方体的对角线就是球的直径.设长方体的三边为a,b,c,则由题意得ab=,ac=,bc=.解得a=,b=,c=1.所以球的直径为.所以球
11、的半径为.所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为.答案:8.7空间几何中的向量方法专题1利用空间向量证明平行、垂直(2015辽宁丹东二模,利用空间向量证明平行、垂直,解答题,理19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1=B1B=BA=BC,B1BC=90,D为AC的中点,ABB1D.(1)求证:平面ABC平面ABB1A1;(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.解:(1)取AB的中点为O,连接OD,OB1.B1B=B1A,OB1AB.又ABB1D,OB1与B1D交于点B1,AB平面B1OD,OD平面B1OD,ABOD.由已知,BCBB1,又ODBC,ODBB1.AB与BB1交
12、于点B,OD平面ABB1A1,又OD平面ABC,平面ABC平面ABB1A1.(2)由(1)知,OB,OD,OB1两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的方向,|为单位长度1,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,由题设知B1(0,0,),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,),则=(0,1,-),=(2,2,0),=(-1,0,),设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0,即x+y=0,-x+z=0,可取n=(,-,1),|cos|=,则直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值是.专题2利用空间向量解决探索性问题(2015辽宁锦州一
13、模,利用空间向量解决探索性问题,解答题,理18)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1.(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值;(2)在线段AC上找一点P,使所成的角为60,试确定点P的位置.解:(1)以为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,则E(0,0,1),D(,0,0),B(0,0),A(,0),F(,1),因为ACBD,AFBD,所以是平面ACEF的法向量.又因为=(-,0),=(0,1),所以cos=.故直线DF与平面ACEF所成角正弦值为.(2)设P(a,a,0)(0a),则=(-a,-a,1),=(0,0).因为=60,所以cos60=
14、.解得a=,故存在满足条件的点P为AC的中点.专题3利用空间向量求空间角(2015江西宜春奉新一中高考模拟,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA底面ABCD,ADBC,ABC=90,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.(1)求证:AM平面PCD;(2)设点N是线段CD上一动点,且DN=DC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求的值.(1)证明:以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1).=(0,1,1),=(1,0,-2),=(-1
15、,-2,0).设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则令z=1,则x=2,y=-1,于是n=(2,-1,1).n=0,n.AM平面PCD.(2)解:由点N是线段CD上的一点,可设=(1,2,0).=(1,0,0)+(1,2,0)=(1+,2,0),=(1+,2,0)-(0,1,1)=(1+,2-1,-1).又面PAB的法向量为m=(1,0,0),设MN与平面PAB所成的角为,则sin=.当时,即5=3+3,=时,sin最大,MN与平面PAB所成的角最大时,=.(2015江西南昌三模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,四边形ABCD是正方形,PD面ABCD,PDAQ,且AQ=AB=
16、PD,M为PC中点.(1)求证:PDQM;(2)求二面角B-PQ-A大小的余弦值.解法一:(1)取PD中点N,连接MN,QN,则MNCD,QNAD.又PD平面ABCD,所以PDAD,PDCD,于是PDMN,PDQN,又MNQN=N,MN面MNQ,QN面MNQ,所以PD面MNQ,由QM面MNQ,得PDQM.(2)延长PQ,DA交于E,过A作AFEQ交EQ于F,连接BF,则易证AFB为二面角B-PQ-A的平面角,不妨取AD=1,则由已知可得AF=,于是BF=,所以cosAFB=.解法二:(1)过M作MNPD交CD于N,则易得四边形ANMQ为平行四边形,ANQM.又面ABCD,AN面ABCD,PDA
17、N,PDQM.(2)同法一解法三:(1)由题意可知,DA,DP,DC两两互相垂直,以点D为原点,DA,DP,DC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨取AD=1,则A(1,0,0),B(1,0,1),C(0,0,1),D(0,0,0),P(0,2,0),Q(1,1,0),M,得=(0,-2,0),由=-10+0(-2)+0=0,PDQM.(2)由(1)知=(1,-2,1),=(1,-1,0),设面PQB的法向量为n=(x,y,z),由取n=(1,1,1),又面PAQ的法向量为=(0,0,1),设二面角B-PQ-A的大小为,则cos=.(2015河北保定二模,利用空间向量求空间角,解答题,理
18、19)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD=CD=2AB=2,PAAD,ABCD,CDAD,E为PC的中点,且DE=EC.(1)求证:PA面ABCD;(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,求a的取值范围.(1)证明:E为PC的中点,DE=EC=PE,PDDC.CDAD,PDAD=D,CD平面PAD.PA平面PAD,CDPA.PAAD,ADCD=D,PA面ABCD.(2)解:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间坐标系,如图所示.B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E.可得平面BCD法向量n1=(0,0,1),平
19、面EBD法向量n2=(2a,a,-2).cos=,可得a.(2015河北邯郸二模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在等腰梯形CDFE中,A,B分别为底边DF,CE的中点.AD=2AB=2BC=2.沿AE将AEF折起,使二面角F-AE-C为直二面角,连接CF,DF.(1)证明:平面ACF平面AEF;(2)求平面AEF与平面CDF所成二面角的余弦值.(1)证明:在等腰梯形CDFE中,由已知条件可得,CD=AC=AE=EF=,AF=AD=2,所以AE2+EF2=AF2,EFEA.同理可证,EFAC.在四棱锥F-AECD中,二面角F-AE-C为直二面角,平面AEF平面AECD.又EFEA,
20、EF平面AECD.AC平面AECD,ACEF.又ACAE,AC平面AEF.平面ACF平面AEF.(2)解:以E为原点,EC所在直线为x轴,EF所在直线为z轴建立如图所示的坐标系,则A(1,1,0),C(2,0,0),D(3,1,0),F(0,0,).=(1,-1,0),=(1,1,0),=(-2,0,).显然,=(1,-1,0)为平面AEF的法向量,设平面FCD的法向量n=(x,y,z),则所以n的一个取值为(1,-1,).故平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值为.(2015河北衡水中学高三一调,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是
21、平行四边形,且AB=1,BC=2,ABC=60,E为BC的中点,AA1平面ABCD.(1)证明:平面A1AE平面A1DE;(2)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值;(3)在(2)的条件下,试求二面角C-A1D-E的余弦值.解:(1)依题意,BE=EC=BC=AB=CD,ABE是正三角形,AEB=60.又CDE中,CED=CDE=(180-ECD)=30,AED=180-CED-AEB=90,即DEAE.AA1平面ABCD,DE平面ABCD,DEAA1.AA1AE=A,DE平面A1AE.DE平面A1DE,平面A1AE平面A1DE.(2)如图1,取BB1的中点M,连接EM,AM
22、,B1C.图1BB1C中,EM是中位线,EMB1C.A1B1ABCD,A1B1=AB=CD,四边形ABCD是平行四边形,可得B1CA1D.EMA1D.可得AEM(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角.CDE中,DE=CD=A1E=,AE=AB=1,A1A=.由此可得BM=,AM=EM=.cosAEM=,即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为.(3)如图2,取BE的中点F,以A为原点,AF所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,AA1=,则A(0,0,0),D(0,2,0),C,A1(0,0,).又=(0,2,-).图2设平面CA1D的法向量n1=(x,y
23、,z),则得n1=(1,).同理可得平面A1DE的一个法向量为n2=(,1,).设二面角C-A1D-E的平面角为,且为锐角,则cos=|cos|=.所以二面角C-A1D-E的余弦值为.(2015辽宁丹东二模,利用空间向量求空间角,选择题,理10)如图,正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C,则二面角A-CD-B的余弦值是()A.B.C.D.解析:正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角,平面ABD平面BCD.连接A1C,与BD相交于O,连接AO,则AOBD.平面ABD平面BCD=BD,AO平面ABD,AO平面BCD,则OC,OA,OD两两互相垂直.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O-
24、xyz.设正方形的棱长为1,则O(0,0,0),A,C,B,D是平面BCD的一个法向量.设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则即令x=1,则y=-1,z=1,解得n=(1,-1,1).从而|cos|=.二面角A-BC-D的余弦值为.答案:B(2015辽宁丹东一模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,侧棱长为,D为A1C1中点.(1)求证:BC1平面AB1D;(2)求二面角A1-AB1-D的大小.解:(1)连接A1B,与AB1交于E,则E为A1B的中点.D为A1C1的中点,DE为A1BC1的中位线.BC1DE.又DE平面AB1D,BC1平
25、面AB1D,BC1平面AB1D.(2)过D作DFA1B1于F,由正三棱柱的性质可知,DF平面AB1.连接EF,DE,在正A1B1C1中,可知,B1D=A1B1=.在直角三角形AA1D中,AD=,AD=B1D.DEAB1.又DFAB1,AB1平面DEF,EFAB1.则DEF为二面角A1-AB1-D的平面角,可得DF=.B1FEB1AA1,则EF=.DEF=.故所求二面角A1-AB1-D的大小为.(2015辽宁葫芦岛二模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)如图,在多面体ABCDEF中,BABE,BABC,BEBC,ABEF,CDBE,AB=BE=2,BC=CD=EF=1,G在线段AB上,且BG
26、=3GA.(1)求证:CG平面ADF;(2)求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值;(3)求锐二面角B-DF-A的余弦值.(1)证明:分别取AB,AF中点M,H,连接FM,GH,DH,则有AG=GM,MFBE.AH=HF,GHMF.又CDBE,BEMF,CDGH.四边形CDHG是平行四边形,CGDH.又CG平面ADF,DH平面ADF,CG平面ADF.(2)解:如图,以B为原点,分别以BC,BE,BA所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,2),C(1,0,0),D(1,1,0),E(0,2,0),F(0,2,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,2),=(0,
27、-2,1).设平面ADF的一个法向量为n=(x,y,z),则有n=-x-y+2z=0且n=-2y+z=0,解得x=3y,z=2y.令y=1,得n=(3,1,2).设直线DE与平面ADF所成的角为,则有sin=.所以直线DE与平面ADF所成的角的正弦值为.(3)解:由已知平面ADF的法向量n=(3,1,2),=(0,2,1),设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),=(1,1,0),由m=2y+z=0且m=x+y=0,解得z=-2y,x=-y.令y=-1,得m=(1,-1,2),设锐二面角B-DF-A的平面角为,则cos=|cos|=.所以锐二面角B-DF-A的余弦值为.(2015辽宁锦州
28、二模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是BC和CC1的中点,已知AB=AC=AA1=4,BAC=90.(1)求证:B1D平面AED;(2)求二面角B1-AE-D的余弦值;(3)求三棱锥A-B1DE的体积.(1)证明:以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由已知得B1(4,0,4),C(0,4,0),B(4,0,0),D(2,2,0),A(0,0,0),E(0,4,2),=(-2,2,-4),=(0,4,2),=(2,2,0).设平面AED的法向量n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,-1,2).n,B1D平面AED.(2)解:=(4,0,4).设平面B1AE的法向量m=(a,b,c),取a=2,得m=(2,1,-2),又平面AED的法向量n=(1,-1,2),|cos|=,二面角B1-AE-D的余弦值为.(3)解:B1D平面AED,B1DDE=6.A到平面B1DE的距离AD=2,三棱锥A-B1DE的体积:V=AD=8.22
