1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 复数 一、选择题 1.(2015 福建卷 )若 (1 i) (2 3i) a bi(a， b R， i 是虚数单位 )， 则 a， b 的值分别等于 ( ) A.3， 2 B.3， 2 C.3， 3 D. 1， 4 解 析 (1 i) (2 3i) 3 2i a bi， a 3， b 2， 故选 A. 答案 A 2.(2016 四川卷 )设 i 为虚数单位 ， 则 (x i)6的展开式中含 x4的项为 ( ) A. 15x4 B.15x4 C. 20ix4 D.20ix4 解析 展开式中含 x4的项为第三项 ， T3 C26 x4 i2 15x4.
2、 答案 A 3.(2016 山东卷 )若复数 z 21 i， 其中 i 为虚数单位 ， 则 z ( ) A.1 i B.1 i C. 1 i D. 1 i 解析 z 21 i 2（ 1 i）（ 1 i）（ 1 i） 1 i， z 1 i， 故选 B. 答案 B 4.(2015 安徽卷 )设 i 为虚数单位 ， 则复数 (1 i)(1 2i) ( ) A.3 3i B. 1 3i C.3 i D. 1 i 解析 (1 i)(1 2i) 1 2i i 2i2 3 i. 答案 C 5.(2016 全国 卷 )设 (1 2i)(a i)的实部与虚部相等 ， 其中 a 为实数 ， 则 a ( ) A.
3、3 B. 2 C.2 D.3 解析 因为 (1 2i)(a i) a 2 (2a 1)i， 所以 a 2 2a 1， 解得 a 3， 故选 A. 答案 A 6.复数 1 i2 i对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 复数 1 i2 i （ 1 i）（ 2 i）（ 2 i）（ 2 i） 35 15i， 其对应的点为 ? ?35， 15 ， 在第四象限 ，故选 D. 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 7.(2017 北京东城综合测试 )若复数 (m2 m) mi 为纯虚数 ， 则实数 m 的值为 ( ) A. 1 B.0 C.1 D.2 解析
4、 因为复数 (m2 m) mi 为纯虚数 ，所以?m2 m 0，m 0， 解得 m 1， 故选 C. 答案 C 8.已知复数 z 1 2i2 i(i 为虚数单位 )， 则 z 的虚部为 ( ) A. 1 B.0 C.1 D.i 解析 z 1 2i2 i （ 1 2i）（ 2 i）（ 2 i）（ 2 i） 5i5 i， 故虚部为 1. 答案 C 9.设 z 是复数 ， 则下列命题中的假命题是 ( ) A.若 z2 0， 则 z 是实数 B.若 z2 0， 则 z 是虚数 C.若 z 是虚数 ， 则 z2 0 D.若 z 是纯虚数 ， 则 z2 0 解析 举反例说明 ， 若 z i， 则 z2 1
5、 0， 故选 C. 答案 C 10.设 z1， z2是复数 ， 则下列命题中的假命题是 ( ) A.若 |z1 z2| 0， 则 z 1 z 2 B.若 z1 z 2， 则 z 1 z2 C.若 |z1| |z2|， 则 z1 z 1 z2 z 2 D.若 |z1| |z2|，则 z21 z22 解析 A 中 ， |z1 z2| 0， 则 z1 z2， 故 z 1 z 2， 成立 .B 中 ， z1 z 2， 则 z 1 z 2成立 .C中 ， |z1| |z2|， 则 |z1|2 |z2|2， 即 z1z 1 z2z 2， C 正确 .D 不一定成立 ， 如 z1 1 3i，z2 2， 则
6、|z1| 2 |z2|， 但 z21 2 2 3i， z22 4， z21 z22. 答案 D 11.(2015 全国 卷 )若 a 为实数 ， 且 2 ai1 i 3 i， 则 a 等于 ( ) A. 4 B. 3 C.3 D.4 解析 由 2 ai1 i 3 i， 得 2 ai (3 i)(1 i) 2 4i， 即 ai 4i， 因为 a 为实数 ， 所以 a 4.故选 D. 答案 D 12.(2017 河北省三市联考 )若复数 z a 3ii a 在复平面上对应的点在第二象限 ， 则实=【 ;精品教育资源文库 】 = 数 a 可 以是 ( ) A. 4 B. 3 C.1 D.2 解析 因
7、为 z a 3ii a (3 a) ai 在复平面上对应的点在第二象限 ， 所以 a 3， 选A. 答案 A 二、填空题 13.(2016 江苏卷 )复数 z (1 2i)(3 i)， 其中 i 为虚数单位 ， 则 z 的实部是 _. 解析 (1 2i)(3 i) 3 5i 2i2 5 5i， 所以 z 的实部为 5. 答案 5 14.(2015 四川卷 )设 i 是虚数单位 ， 则复数 i 1i _. 解析 i 1i i ii2 2i. 答案 2i 15.(2016 天津卷 )已知 a， b R， i是虚数单位 ， 若 (1 i)(1 bi) a， 则 ab的值为 _. 解析 由 (1 i)
8、(1 bi) a， 得 1 b i(1 b) a， 则?1 b a，1 b 0， 解得 ?a 2，b 1 所以ab 2. 答案 2 16.若 3 bi1 i a bi(a， b 为实数 ， i 为虚数单位 )， 则 a b _. 解析 3 bi1 i （ 3 bi）（ 1 i）2 12(3 b) (3 b)i 3 b2 3 b2 i.?a 3 b2 ，b 3 b2 ，解得?a 0，b 3. a b 3. 答案 3 17.若 i为虚数单位 ， 图中复平面内点 Z表示复数 z， 则表示复数 z1 i的点是 ( ) A.E B.F C.G D.H 解析 由题图知复数 z 3 i， z1 i 3 i1
9、 i （ 3 i）（ 1 i）（ 1 i）（ 1 i） 4 2i2 2 i. =【 ;精品教育资源文库 】 = 表示复数 z1 i的点为 H. 答案 D 18. z 是 z 的共轭复数 ， 若 z z 2， (z z )i 2(i 为虚数单位 )， 则 z 等于 ( ) A.1 i B. 1 i C. 1 i D.1 i 解析 法一 设 z a bi， a， b 为实数 ， 则 z a bi. z z 2a 2， a 1. 又 (z z )i 2bi2 2b 2， b 1.故 z 1 i. 法二 ( z z )i 2， z z 2i 2i. 又 z z 2， (z z ) (z z ) 2i
10、2， 2z 2i 2， z 1 i. 答案 D 19.(2014 全国 卷 )设 z 11 i i， 则 |z| ( ) A.12 B. 22 C. 32 D.2 解析 z 11 i i 1 i（ 1 i）（ 1 i） i 1 i2 i 12 12i， |z| ? ?122 ? ?122 22 ， 故选 B. 答案 B 20.(2017 安徽 师大附中月考 )已知复数 z (cos isin )(1 i)， 则 “ z 为纯虚数 ” 的一个充分不必要条件是 ( ) A. 4 B. 2 C. 34 D. 54 解析 因为 z (cos sin ) (cos sin )i， 所以当 34 时 ，
11、z 2i 为纯虚数 ， 当 z 为纯虚数时 ， k 4.故选 C. 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 21.(2017 哈尔滨六中期中 )若复数 z 满足 i z 12(1 i)， 则 z 的共轭复数的虚部是( ) A. 12i B.12i C. 12 D.12 解析 i z 12(1 i)?z 12（ 1 i）i 12（ 1 i） ii i 12( 1 i)， 则 z 的共轭复数 z 12( 1 i)， 其虚部是 12. 答案 C 22.(2017 陕 西高三四校联考 )i 是虚数单位 ， 若 2 i1 i a bi(a， b R)， 则 lg(a b)的值是 ( ) A. 2 B
12、. 1 C.0 D.12 解 析 （ 2 i）（ 1 i）（ 1 i）（ 1 i） 3 i2 32 12i a bi， ?a 32，b 12， lg(a b) lg 1 0. 答案 C 23.下面是关于复数 z 2 1 i的四个命题： p1： |z| 2; p2： z2 2i； p3： z 的共轭复数为 1 i; p4： z 的虚部为 1. 其中的真命题为 ( ) A.p2， p3 B.p1， p2 C.p2， p4 D.p3， p4 解析 z 2 1 i 1 i， |z| （ 1） 2（ 1） 2 2， p1是假命题； z2 ( 1 i)2 2i， p2是真命题； z 1 i， p3是假命题
13、； z 的虚部为 1， p4是真命题 .其中的真命题共有 2 个： p2， p4. 答案 C 24.(2017 广州综合测试 )若 1 i(i 是虚数单位 )是关于 x 的方程 x2 2px q 0(p， q=【 ;精品教育资源文库 】 = R)的一个解，则 p q ( ) A. 3 B. 1 C.1 D.3 解析 依题意得 (1 i)2 2p(1 i) q (2p q) 2(p 1)i 0， 即?2p q 0，p 1 0， 解得 p 1， q 2， 所以 p q 1， 故选 C. 答案 C 25.复数 (3 i)m (2 i)对应的点在第 三象限内，则实数 m 的取值范围是 _. 解析 z
14、(3m 2) (m 1)i， 其对应点 (3m 2， m 1)在第三象限内 ， 故 3m 20 且 m10， m23. 答 案 ? ? ， 23 26.设 f(n) ? ?1 i1 in ? ?1 i1 in(n N )， 则集合 f(n)中元素的个数为 _. 解析 f(n) ? ?1 i1 in ? ?1 i1 in in ( i)n， f(1) 0， f(2) 2， f(3) 0， f(4) 2， f(5) 0， ? 集合中共有 3 个元素 . 答案 3 27.已知复数 z x yi， 且 |z 2| 3， 则 yx的最大值为 _. 解析 |z 2| （ x 2） 2 y2 3， (x 2)2 y2 3. 由图可知 ? ?yx max 31 3. 答案 3 28.定义运算 ad bc.若复数 x 1 i1 i， y ， 则 y _. 解析 因为 x 1 i1 i （ 1 i）22 i. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 2
