1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.4 平行关系 最新考纲 考情考向分析 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题 . 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想 . 1直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条 件 a ? a ， b? ， a b a a ， a ， b 结论 a b a ? a b 2.面面
2、平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 ? a ， b ，a b P， a ，b ， a， b ，a 结论 a b a =【 ;精品教育资源文库 】 = 知识拓展 重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a ， a ，则 . (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a ， b ，则 a b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ， ，则 . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 ( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的
3、任一条直线 ( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 ( ) (5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a .( ) (6)若 ，直线 a ，则 a .( ) 题组二 教材改编 2下列命题中正确的是 ( ) A若 a， b 是两条直线，且 a b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B若直线 a 和平面 满足 a ，那么 a 与 内的任何直线平行 C平行于同一条直线的两个平面平行 D若直线 a， b 和平面 满足 a b， a ， b? ，则 b 答案 D 解析 A 中， a
4、可以在过 b 的平面内； B 中， a 与 内的直线也可能异面； C 中，两平面可相交； D 中，由直线与平面平行的判定定理知 b ，正确 3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为 DD1的中点，则 BD1与平面 AEC的位置关系为 _ 答案 平行 解析 连接 BD，设 BD AC O，连接 EO， =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 BDD1中， E 为 DD1的中点， O 为 BD 的中点，所以 EO 为 BDD1的中位线，则 BD1 EO， 而 BD1?平面 ACE， EO 平面 ACE， 所以 BD1 平面 ACE. 题组三 易错自纠 4若平面 平面 ，直线 a 平面
5、 ，点 B ，则在平面 内且过 B 点的所有直线中 ( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一与 a 平行的直线 答案 A 解析 当直线 a 在平面 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A. 5设 ， ， 为三个不同的平面， a， b 为直线，给出下列条件： a ， b ， a ， b ； ， ； ， ； a ， b ，a b. 其中能推出 的条件是 _ (填上所有正确的序号 ) 答案 解析 在条件 或条件 中， 或 与 相交； 由 ， ? ，条件 满足； 在 中， a ， a b?b ，又 b ，从而 ， 满
6、足 6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为_ 答案 平行四边形 解析 平面 ABFE 平面 DCGH， 又平面 EFGH 平面 ABFE EF，平面 EFGH 平面 DCGH HG， =【 ;精品教育资源文库 】 = EF HG.同理 EH FG， 四边形 EFGH 是平行四边形 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定 典例 如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD BC， AB BC 12AD， E， F， H 分别为线段 AD， PC， CD的中点， AC 与 BE 交于 O 点， G 是线段 OF 上一
7、点 (1)求证： AP 平面 BEF； (2)求证： GH 平面 PAD. 证明 (1)连接 EC， AD BC， BC 12AD， BC 綊 AE， 四边形 ABCE 是平行四边形， O 为 AC 的中点 又 F 是 PC 的中点， FO AP， 又 FO 平面 BEF， AP?平面 BEF， AP 平面 BEF. (2)连接 FH， OH， F， H 分别是 PC， CD 的中点， FH PD，又 PD 平面 PAD， FH?平面 PAD， FH 平面 PAD. 又 O 是 BE 的中点， H 是 CD 的中点， OH AD，又 AD 平面 PAD， OH?平面 PAD， =【 ;精品教育
8、资源文库 】 = OH 平面 PAD. 又 FH OH H， 平面 OHF 平面 PAD. 又 GH 平面 OHF， GH 平面 PAD. 命题点 2 直线与平面平行的性质 典例 (2017 长沙调研 )如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17.点 G， E， F， H 分别是棱 PB， AB， CD， PC 上共面的四点，平面 GEFH 平面 ABCD，BC 平面 GEFH. (1)证明： GH EF； (2)若 EB 2，求四边形 GEFH 的面积 (1)证明 因为 BC 平面 GEFH， BC 平面 PBC， 且平面 PBC 平面 GEFH GH
9、，所以 GH BC. 同理可证 EF BC，因此 GH EF. (2)解 如图，连接 AC， BD 交于点 O， BD 交 EF 于点 K，连接 OP， GK. 因为 PA PC， O 是 AC 的中点，所以 PO AC， 同理可得 PO BD. 又 BD AC O，且 AC， BD 底面 ABCD， 所以 PO 底面 ABCD. 又因为平面 GEFH 平面 ABCD， 且 PO?平面 GEFH，所以 PO 平面 GEFH. 因为平面 PBD 平面 GEFH GK， 所以 PO GK，且 GK 底面 ABCD， 从而 GK EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB 8， EB 2
10、得 EB AB KB DB 14 ， 从而 KB 14DB 12OB，即 K 为 OB 的中点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 再由 PO GK 得 GK 12PO， 即 G 是 PB 的中点，且 GH 12BC 4. 由已知可得 OB 4 2， PO PB2 OB2 68 32 6， 所以 GK 3. 故四边形 GEFH 的面积 S GH EF2 GK 4 82 3 18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义 (无公共点 ) (2)利用线面平行的判定定理 (a? ， b ， a b?a ) (3)利用面面平行的性质 ( ， a ?a ) (4)利用面面平行的性
11、质 ( ， a? ， a? ， a ?a ) 跟踪训练 (2018 届昆明一中摸底 )如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BAC 90 ， AB AC 2，点 M， N 分别为 A1C1， AB1的中点 (1)证明 ： MN 平面 BB1C1C； (2)若 CM MN，求三棱锥 M NAC 的体积 (1)证明 连接 A1B， BC1，点 M， N 分别为 A1C1， AB1的中点，所以 MN 为 A1BC1的一条中位线，MN BC1， 又因为 MN?平面 BB1C1C， BC1 平面 BB1C1C， 所以 MN 平面 BB1C1C. (2)解 设点 D， E 分别为 AB， AA1的中
12、点， AA1 a，连接 ND， CD，则 CM2 a2 1， MN2 1 a2 44 a2 84 ， CN2 a24 5a2 204 ，由 CM MN，得 CM2 MN2 CN2，解得 a 2，又 NE 平面 AA1C1C，=【 ;精品教育资源文库 】 = NE 1， V 三棱锥 M NAC V 三棱锥 N AMC 13S AMC NE 13 122 21 23 . 所以三棱锥 M NAC 的体积为 23 . 题型二 平面与平面平行的判定与性质 典例 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点，求证： (1)B， C，
13、 H， G 四点共面； (2)平面 EFA1 平面 BCHG. 证明 (1) G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点， GH 是 A1B1C1的中位线， GH B1C1. 又 B1C1 BC， GH BC， B， C， H， G 四点共面 (2) E， F 分别是 AB， AC 的中点， EF BC. EF?平面 BCHG， BC 平面 BCHG， EF 平面 BCHG. A1G 綊 EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形， A1E GB. 又 A1E?平面 BCHG， GB 平面 BCHG， A1E 平面 BCHG. 又 A1E EF E， A1E， EF 平面 EFA， 平面 EF
14、A1 平面 BCHG. 引申探究 在本例条件下，若 D1， D 分别为 B1C1， BC 的中点，求证：平面 A1BD1 平面 AC1D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M， 四边形 A1ACC1是平行四边形， M 是 A1C 的中点，连接 MD， D 为 BC 的中点， A1B DM. A1B 平面 A1BD1， DM?平面 A1BD1， DM 平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知， D1C1綊 BD， 四边形 BDC1D1为平 行四边形， DC1 BD1. 又 DC1?平面 A1BD1， BD1 平面 A1BD1， DC1 平面 A1BD1. 又 DC1 DM D， DC1， DM 平面 AC1D， 平面 A1BD1 平面 AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义 (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 (5)利用 “ 线线平行 ”“ 线面平行 ”“ 面面平行 ” 的相互转化 跟 踪训练 (2018 届南昌摸底 )如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABC
