1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.9 函数模型及其应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2.了解函数模型 (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )的广泛应用 . 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度 . 1几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x) ax b(a， b 为常数， a0 ) 反比例函数模型 f(x) kx b(k， b 为常数且 k0
2、) 二次函数模型 f(x) ax2 bx c (a， b， c 为常数， a0) 指数函数模型 f(x) bax c (a， b， c 为常数， b0 ， a0 且 a1) 对数函数模型 f(x) blogax c (a， b， c 为常数， b0 ， a0 且 a1) 幂函数模型 f(x) axn b (a， b 为常数， a0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y ax(a1) y logax(a1) y xn(n0) 在 (0， ) 上的增减性 增加的 增加的 增加的 =【 ;精品教育资源文库 】 = 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随 x的增大逐渐表现为与 y
3、轴 平行 随 x的增大逐渐表现为与 x 轴 平行 随 n值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logax0)的函数模型称为 “ 对勾 ” 函数模型： (1)该函数在 ( ， a和 a， ) 上是增加的，在 a， 0)和 (0， a上是减少的 (2)当 x0 时， x a时取最小值 2 a， 当 x1)的增长速度会超过并远远大于 y xa(a0)的增长速度 ( ) (5)“ 指数爆炸 ” 是指数型函数 y a bx c(a0 ， b0， b1) 增长速度越来越快的形象比喻 ( ) 题组二 教材改编 2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是
4、 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A收入最高值与收入最低值的比是 31 B结余最高的月份是 7 月 C 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 答案 D 解析 由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 31 ，故 A 正确；由题图可知， 7 月份的结余最高，为 80 20 60(万元 )，故 B 正确；由题图可知， 1 至2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正确；由题图可知，前 6 个月的平均收入为 16(40 60 30 30 50 60) 45(万
5、元 )，故 D 错误 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x) 12x2 2x 20(万 元 )一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件 答案 18 解析 利润 L(x) 20x C(x) 12(x 18)2 142， 当 x 18 时， L(x)有最大值 4用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 答案 3 解析 设隔墙的长度为 x(00，当 p(30 ， ) 时， L( p)0， m是不超过 m 的最大整数 (如 3 3， 3.7 3， 3.1
6、3)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为 元 答案 4.24 解析 m 6.5， m 6， 则 f(6.5) 1.06(0.56 1) 4.24. (2)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单 位产品，成本增加 10 万元又 知总收入 K是单位产品数 Q的函数， K(Q) 40Q 120Q2，则总利润 L(Q)的最大值是 万元 答案 2 500 解析 L(Q) 40Q 120Q2 10Q 2 000 120Q2 30Q 2 000 120(Q 300)2 2 500. 则当 Q 300 时， L(Q)的最大值为 2 500 万元 题型三 构建函数模型的实际问题 命
7、题点 1 构造一次函数、二次函数模型 典例 (1)某航空公司 规定，乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元 )之间的关系由如图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg. 答案 19 解析 由图像可求得一次函数的解析式为 y 30x 570，令 30x 570 0，解得 x 19. (2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，已知这种商品每涨价 1元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为 元 答案 95 解析 设每个售价定为 x 元，则利润 y (x 80)400 (x 90)20 20(x 95)2=
8、【 ;精品教育资源文库 】 = 225 当 x 95 时， y 最大 =【 ;精品教育资源文库 】 = 命题点 2 构造指数函数、对数函数模型 典例 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 22 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为 x(00)型函数 典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(万元 )与营运年数
9、 x的关系如图所示 (抛物线的一段 )，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 5 解析 根据图像求得 y (x 6)2 11， 年平均利润 yx 12 ? ?x 25x ， x 25x 10 ，当且仅当 x 5 时等号成立 要使平均利润最大，客车营运年数为 5. (2)(2017 南昌模拟 )某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60( 如图 )，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9 3平方米，且高度不低于 3米记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长 (梯形的上底线段 BC 与两腰长的和 )为 y 米
10、要使防洪堤的上面与两侧面的 水泥用料最省 (即横断面的外周长最小 )，则防洪堤的腰长 x . 答案 2 3 解析 由题意可得 BC 18x x2， y 18x 3x2 2 18x 3x2 6 3. 当且仅当 18x 3x2 (2 x6)， 即 x 2 3时等号成立 命题点 4 构造分段函数模型 典例 (2017 山西孝义模考 )某景区提供自行车出租，该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超过 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元 )只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元 )表示出租自行车的日净收入 (即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分 ) (1)求函数 y f(x)的解析式； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
