1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲 考情考向分析 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 . 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现 . 1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线 的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系 dr?相离 (2)代数法： 判别式
2、 b2 4ac? 0?相交 ； 0?相切 ；0)， 圆 O2： (x a2)2 (y b2)2 r22(r20). 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 相离 dr1 r2 无解 外切 d r1 r2 一组实数解 相交 |r1 r2|2， 点 A(3,5)在圆外显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为 x 3 0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为 y 5 k(x 3)，即 kx y 5 3k 0.又圆心为 (1,2)，半径 r 2，而圆心到切线的距离 d |3 2k|k2 12， 即 |3 2k| 2 k2 1， k
3、 512， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故所求切线方程为 5x 12y 45 0 或 x 3 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型一 直线与圆的位置关系 1已知点 M(a， b)在圆 O： x2 y2 1 外，则直线 ax by 1 与圆 O 的位置关系是 ( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 答案 B 解析 因为 M(a， b)在圆 O： x2 y2 1 外，所以 a2 b21，而圆心 O 到直线 ax by 1 的距离 d |a0 b0 1|a2 b2 1a2 b21. 所以直线与圆相交 2圆 x2 y2 2x 4y 0 与直线 2tx y 2 2t 0(t R)的位置关
4、系为 ( ) A相离 B相切 C相交 D以上都有可能 答案 C 解析 直线 2tx y 2 2t 0 恒过点 (1， 2)， 1 2 ( 2)2 21 4( 2) 50， 点 (1， 2)在圆 x2 y2 2x 4y 0 内， 直线 2tx y 2 2t 0 与圆 x2 y2 2x 4y 0 相交， 故选 C. 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系 (2)代数法：联立方程之后利用 判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 题型二 圆与圆的位置关系 典例 已知 圆 C1： (x a)2 (y 2)2 4 与圆 C
5、2： (x b)2 (y 2)2 1 外切，则 ab 的最大值为 ( ) A. 62 B.32 C.94 D 2 3 答案 C 解析 由圆 C1与圆 C2外切， 可得 ?a b?2 ? 2 2?2 2 1 3，即 (a b)2 9，根据基本不等式可知 ab ? ?a b2 2 94，=【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅 当 a b 时等号成立， ab 的最大值为 94. 引申探究 1若将本典例中的 “ 外切 ” 变为 “ 内切 ” ，求 ab 的最大值 解 由 C1与 C2内切得 ?a b?2 ? 2 2?2 1. 即 (a b)2 1，又 ab ? ?a b2 2 14，当且仅当 a b
6、 时等号成立，故 ab 的最大值为 14. 2若将本典例条件 “ 外切 ” 变为 “ 相交 ” ，求公共弦所在的直线方程 解 由题意把圆 C1，圆 C2的方程都化为一般方程，得 圆 C1： x2 y2 2ax 4y a2 0， 圆 C2： x2 y2 2bx 4y b2 3 0， 由 得 (2a 2b)x 3 b2 a2 0， 即 (2a 2b)x 3 b2 a2 0 为所求公共弦所在直线方程 思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1 r2， |r1 r2|； (3)比较 d， r1
7、r2， |r1 r2|的大小，写出结论 跟踪训练 (2017 重庆调研 )如果 圆 C： x2 y2 2ax 2ay 2a2 4 0 与圆 O： x2 y2 4 总相交，那么实数 a 的取值范围是 答案 ( 2 2， 0)(0,2 2) 解析 圆 C 的标准方程为 (x a)2 (y a)2 4，圆心坐标为 (a， a)，半径为 2. 依题意得 0 a2 a22 2， 0| a|2 2. a( 2 2， 0)(0,2 2) 题型三 直线与圆的综合问题 命题点 1 求弦长问题 典例 (2016 全国 ) 已知直线 l： mx y 3m 3 0 与圆 x2 y2 12 交于 A， B 两点，过 A
8、，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点，若 |AB| 2 3，则 |CD| . 答案 4 解析 设 AB 的中点为 M，由题意知，圆的半径 R 2 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = |AB| 2 3，所以 |OM| 3， 由 |OM| |3m 3|m2 1 3， 解得 m 33 ， 所以直线 l： x 3y 6 0. 由 ? x 3y 6 0，x2 y2 12， 解得 A( 3， 3)， B(0， 2 3)， 则 AC 的直线方程为 y 3 3(x 3)， BD 的直线方程为 y 2 3 3x，令 y 0，解得 C( 2,0)， D(2,0)，所以 |CD| 4. 命题点
9、 2 直线与圆相交求参数范围 典例 已知过点 A(0,1)且斜 率为 k 的直线 l 与圆 C： (x 2)2 (y 3)2 1 交于 M， N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若 OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求 |MN|. 解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y kx 1， 因为 l 与 C 交于两点，所以 |2k 3 1|1 k2 1. 解得 4 73 k4 73 . 所以 k 的取值范围为 ? ?4 73 ， 4 73 . (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2) 将 y kx 1 代入方程 (x 2)2 (y 3)2 1，整理得 (1 k2)x2 4
10、(1 k)x 7 0. 所以 x1 x2 4?1 k?1 k2 ， x1x2 71 k2. OM ON x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 k(x1 x2) 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4k?1 k?1 k2 8. 由题设可得 4k?1 k?1 k2 8 12，解得 k 1， 所以 l 的方程为 y x 1. 故圆心 C 在 l 上，所以 |MN| 2. 命题点 3 直线与圆相切的问题 典例 已知圆 C： (x 1)2 (y 2)2 10，求满足下列条件的圆的切线方程 (1)与直线 l1： x y 4 0 平行； (2)与直线 l2： x 2y 4 0 垂直； (3)过切点 A
11、(4， 1) 解 (1)设切线方程为 x y b 0， 则 |1 2 b|2 10， b 12 5， 切线方程为 x y 12 5 0. (2)设切线方程为 2x y m 0， 则 |2 2 m|5 10， m 5 2， 切线方程为 2x y5 2 0. (3) kAC 2 11 4 13， 过切点 A(4， 1)的切线斜率为 3， 过切点 A(4， 1)的切线方程为 y 1 3(x 4)， 即 3x y 11 0. 思维升华 直线与圆综合问 题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形 (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距
12、离等于半径，从而建立关系解决问题 跟踪训练 (1)过点 (3,1)作圆 (x 2)2 (y 2)2 4 的弦，其中最短弦的长为 答案 2 2 解析 设 P(3,1)，圆心 C(2,2)，则 |PC| 2，半径 r 2，由题意知最短的弦过 P(3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为 2 22 ? 2?2 2 2. (2)过点 P(2,4)引圆 (x 1)2 (y 1)2 1 的切线，则切线方程为 答案 x 2 或 4x 3y 4 0 解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x 2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当直线的斜率存在时，设直
13、线方程为 y 4 k(x 2)，即 kx y 4 2k 0， 直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径，即 d |k 1 4 2k|k2 ? 1?2 |3 k|k2 1 1， 解得 k 43， 所求切线方程为 43x y 4 2 43 0， 即 4x 3y 4 0. 综上，切线方程为 x 2 或 4x 3y 4 0. 高考中与圆交汇问题的求解 考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括
14、弦长问题， 切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质 一、与圆有关的最值问题 典例 1 (1)已知点 A， B， C 在圆 x2 y2 1 上运动，且 AB BC.若点 P 的坐标为 (2,0)，则 |PA PB PC |的最大值为 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 (2)过点 ( 2， 0)引直线 l 与曲线 y 1 x2相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值 时，直线 l 的斜率等于 ( ) A. 33 B 33 C 33 D 3 解析 (1) A， B， C 在圆 x2 y2 1 上，且 AB BC， AC 为圆的直径，故 PA PC 2PO (4,0)，设 B(x， y)，则 x2 y2 1 且 x 1,1， PB (x 2， y)， PA PB PC (x 6， y) 故 |PA PB PC | 12x 37， 当 x 1 时有最大值 49 7，故选 B. (2) S AOB 12|OA|OB|sin AOB 12sin AOB 12.
