1、 1了解直线的方向向量与平面的法向量的概念；能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 2能用向量法求空间角、空间距离，体会向量法在研究立体几何中的工具性作用 A / / / B 0C D / /0/ /1. aananaa naanaana已知直 的方向向量 ，平面 的法向量，下列成立的是 ( )若，则若，则若 / ，则若，则C. D0.aaa n由方向向量和平面法向量的定义可知应选对于选项 ，直线平面 也满足解析：C A B C D 其其中中正正确确的的是是 A1212121212/ ;/02.0/ .abnnnna b
2、nnabnnabnna b两个别为给结论:则则则则已已知知 、 是是不不重重合合的的平平面面，其其方方向向向向量量分分、 ，出出下下列列若若，若若，；若若，；若若，2,4,01,3,0 A 135 B 90 C 75 D 603.ABCABBCABC 则在在中中，已已知知，( 24,0)1,3,0BABC 因因， ， ，135A.ABC选所所以以，所所以以2122=22 510A4 11sin| cos|33l设为则n anana解解析析：与与 所所成成角角， ， 21212(1,22)( 2)4.,3llmllm 设为为则ab的的方方向向向向量量， 的的方方向向向向量量，若若，等等于于.4,
3、1,1( 23, )53lla 个为线个为则为na若若平平面面 的的一一法法向向量量，直直的的一一方方向向向向量量，与与 所所成成角角的的正正弦弦值值4 1133 _()_( )= ,_112lAlllABlPt 线这条线对应线显条线个线应线间线线点线点线则对线点线实数这样应直直的的方方向向向向量量就就是是指指和和直直所所或或共共的的向向量量，然然一一直直的的方方向向向向量量可可以以有有直直方方向向向向量量的的用用利利用用直直的的方方向向向向量量，可可以以确确定定空空中中的的直直和和平平面面若若有有直直，是是直直上上一一，向向量量 是是 方方向向向向量量，在在直直上上取取于于直直上上任任直直的
4、的方方向向向向量量及及其其用用意意一一，一一定定存存在在，使使得得，aa平平行行无数无数APtAB Aall点 和向量 不仅可以确定 的位置，还可具体表示出 的任意点( )()_aaOabPaxyOPOabaa 空间中平面 的位置可以由 上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点 ，它们的方向向量分别是 和 ， 为平面 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对， ，使得，这样，点与方向向量 ， 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 上的任意点xyab 1_2_2_AaaA所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平 面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有 个，它们都是向量在空间中，给定
5、一个点 和一点向量 ，那么以向量 为法向量且平面的法向经过点 的平面是量确定的无数 共线 唯一 111112222212121212()() _ _ _ 3_ labclabcllll直线 的方向向量， ，直线 的方向向量为， ， 如果，直线方向向量与平面法向量那么； 如果，那么在确定直线、平面位置关系中的；应用 uuuuuu111222()()abcabc， ， ，121 21 20a abbc c111222111112222212121()()0 _ _()() _labcaabclalakaabcaabcaauuk 直线 的方向向量为， ，平面 的法向量为， ， 若，则； 若，则； 平
6、面 的法向量为， ，平面的法向 量为， ， 若，则2ununu nununuuuu121212_0 _aa； 若，则uuuu121 21 20a abbc c111222()()abck abc， ， ，111222()()abck abc， ， ，121 21 20a abbc cPACABCABCACEFOPAPBACAC16PAPC10.GOCFG / /BOE. 如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， 分别为，的中点，设是的中点，证明：平面 例1 题型一 利用空间向量证明平行问题要证线面平行，可考虑，直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线不在该平面内分析： OPPAPC
7、ABBCPOACBOACPACABCOOBOCOPxyzOxyz.如图，连接，因为，所以，又平面平面，所以可以以点 为坐标原点，分别以，所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系证明： O 0,0,0A(08,0)B 8,0,0C 0,8,0P 0,0,6E(04,3)F 4,0,3G 0,4,0OB= 8,0,0 ,OE(04,3)BOE(xyz)OB0 x04y3z0OE0y3z40,3,4FG( 4,4 nnnn 则，由题意，得因为，设平面的一个法向量为， ， ，则，即，取，则，所以由， 3)FG0.FGBOEFG / /BOE.n ，得又直线不在平面内，所以平面 评析：证明直线与平面
8、平行，转化为验证直线的方向向量和平面的法向量的数量积为零；证明平面与平面平行，转化为验证这两个平面的法向量共线11111111 ABCDA B C DMNC CB CMN / /A BD1. 如图所示，在正方体中，、 分别是、的中点，求证：平面素材11DDADCDDxyz111M(0,1)N(1,1)22D 0,0,0A 1,0,1B 1,1,01 ：如图所示，以 为原点，、所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 ，则可得， ， ， 证明，方法，1111MN(0) DA1,0,1 DB1,1,022A BDn(xyz)xz0DA0DB0 xy0 x1y1z1(111)
9、 于是， ， ，设平面的法向量是， ， 则，且，可得取，得，所以， ，nnn方法方法2 2：111MN / /DAMNA BDMN / /A BD. 所以，又因为平面，所以平面1111MN(0) (111)0MN.22MNA BDMN / /A BD.nn Z Z又， ， ，所以又因为平面，所以 PABCDABCBCD90ABBCPBPC2CDPBCABCD.PABDPADPAB.12 如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面底面证明：；平面平 面 例2题型二 利用空间向量证明垂直问题 BCO.PBCABCDPBCPOABCD.1取的中点因为平面平面，为等边三角形，所以底面证明： BCOBC
10、xOAByOPzCD1ABBC2PO3.以的中点 为坐标原点，以所在直线为 轴，过点 与平行的直线为 轴，直线为 轴，如图所示，建立空间直角坐标系不妨设，则， A(12,0)B 1,0,0D( 11,0)P(0,03)BD1, 2,0 ,PA1, 2,3BD PA21120(3)0PABD.PABD. 所以， ，所以，所以，所以 所以 13PAMDMM( , 1)2233DM(0)(1,03) PB(1,03)2233DM PA102(3)022DMPADMPA.2 取的中点，连接，则，因为， ，所以，所以，即33DM PB100(3)022DMPBDMPB.PAPBPDMPAB.DMPADP
11、ADPAB 又，所以，即又因为，所以平面因为平面，所以平面平面评析：直线与直线垂直，只需证明它们的方向向量的数量积为0；直线与平面垂直，只需证明直线的方向向量和平面的法向量共线，或证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；平面与平面垂直，只需证这两个平面的法向量的数量积为0. 素材2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.证明:平面AED平面A1FD1;则DA DE证明：建立如图所示的空间直角坐标系D-xy不妨设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).设平面AE
12、D的法向量为n1=(x1,y1,z1), n1 =(x1,y1,z1)(2,0,0)=0 n1 =(x1,y1,z1)(2,2,1)=0,11111111112x0,2x2yz0.y1(0,12)A FD0,2,10AEDA FD .122nnnn所以令，得，同理可得平面的法向量因为，所以平面平面 1ABCDA BC DAPBQb 0b1PQEF/ /A DPQGH / /AD .PQEFPQGHPQEFPQGHD EPQEF45D E123PQGH 如图，在棱长为 的正方体中，截面，截面证明：平面和平面互相垂直；证明：截面和截面的面积之和是定值，并求出这个值；若与平面所成的角为，求与平面所成
13、角的 例3正弦值题型三 用坐标法解决立体几何中的综合问题 DDADCDDxyzDxyz.DF1bA 1,0,0A 1,0,1D 0,0,0D 0,0,1P(1,0b)Q(1,1b)E 1b,1,0F 1b,0,0G b,1,1H b,0,1 以 为原点，射线、分别为 、 、轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，故， ， ，解析： PQ0,1,0 PF( b,0b)PHb1,0,1b AD1,0,1A D(11,01) 证明：在所建立的坐标系中，可得， EF(01,0)EF/ /PQ,EFPQ .PFPQPQEFPQGHPH2 1bPF2b,PHPF2| PQ| 1PQEFP2QGH
14、证明：因为，所以又，所以四边形为矩形同理，四边形为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以又，所以截面和截面的面积之和为，是定值 DEAD 45DE(1b,11) AD1,0,1 ,DE ADb22221b 22| DE | AD |2b111b. ,DE(11)221b 22AD( 1,01)D EPQG3H 由已知得与成角，又，可得即解得所以， ，又，所以与平面所成角的正弦值为1122sincos DE,A D3622 评析：(1)利用平面的法向量证明面面垂直；(2)利用空间向量的夹角公式解决线线角、线面角 P-ABCDPAABCDPB45ABCD1ABCBAD90PABCAD.2PACPCDP
15、DECEP12ABE 如图，四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，求证：平面平面；在棱上是否存在一点 ，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说素材3明理由 PA1.BCPA1AD2.PAABCDPBABCDPBA45AB1.ABCBAD90CDAC2.ACCD.PACDPAACACDP1AC.CDPCDPACPCD. 证明：设由题意， 因为平面，所以与平面所成的角为，所以 由，易得 由勾股定理逆定理可得 又因为，所以平面 又平面，所以平面平 析：面 解 ECE / /PAB.ABADAPxyzPA1P 0,0,1C 1,1,0D 0,2,0E(0yz)PE(0yz1)PD(
16、0,21) PD / /PEy12 z102 存在点 ，使平面分别以、所在直线为 轴、 轴、轴建立空间直角坐标系，如右图设，所以，设， ， ，则， ，而，所以，AD0,2,0PABCE( 1y1z)CE / /PABCEAD( 1y1z)0,2,00y1zEPDECE / /PABEPD 因为是平面的法向量，又， ，故由平面，有，所以，所以，代入，得，所以 是的中点所以存在 点使平面，此时 为的中点 PABCDABCDPDABCDPDDCEPCEFPBF.1PA / /EDB2PBEFD3PD1DF. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面， 是的中点，作于证明：平面；证备选例题例明：平
17、面；证，求 1PADEB2PBEFD3DF.证内条线证内两条线间两点间明平行于平面的某一直；明垂直于平面的相交直；用空的距离公式求分析： ACBDOOE.APCEPCOACAP / /OEPA / /EDB.1连连则为点为点接交于 ，接在中，的中，的中，所以，所以平面解析： DDAxDCyDPz| AD| 11 1P 0,0,1B 1,1,0E(0)D 0,0,02 21 1PB DE(1,11) (0)02 2PBDEPBEFDEEFEPBEFD.2 明：以原，建立空直角坐系，且令， ，所以，所以又因，所以平面证为点为 轴为 轴为 轴间标则为 222BFtBPF(1t,1tt)PBEFDPB
18、EF.EF(1ttt ) PB EF0112(1,11) (1ttt)0t2231126DF33333 ， 因平面，所以因， ，即，所以，所以设则为为 1 用向量知明立体几何有种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的算行判；另一种是用向量的坐表示几何量，共分三步：识证问题两运进断标 12(3)建立立体形与空向量的系，用空向量或坐表示中所涉及的、面，把立体几何化向量； 通向量算，研究、面之的位置系； 根据算果的几何意解相图间联间标问题点线问题转为问题过运点线间关运结义来释关问题a / /ba() 2 bR识证问题开证线证条线内条线归为证线线证线证线来证线强调线用向量知明立体几何，仍然离不立
19、体几何定理如要明面平行，只需要明平面外的一直和平面的一直平行，即化明平行用向量方法直，只需明向量即可若用直的方向向向量与平面的法向量垂直明面平行，仍需直在平面外.如所示，已知矩形，平面，、 分是、的中，求：ABCDPAABCDMNABPCABaBCbPAcMNAB图别点设证0,0,0,0,0(0,0)2()(0)2 2 22 2,0,0 ,(0),0,02 2 因， ，所以， ， 所以，解：aAB aMa b cb cNMNABab cMN ABa为错间标运来证线错误现间标运错线上述解法是想利用空向量的坐算明垂直，表在未建立空直角坐系，解分析直接：算000022.，所以bcaMNABAABADAPxyz题应开点为标点别为 轴轴轴间标本在上述解答的一始就要以坐原，、分、建立空直角坐系，以下的部分和上述解正解：答相同
