1、Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算1第第3 3章章 结构可靠度计算结构可靠度计算杨春侠杨春侠长沙理工大学土木工程学院长沙理工大学土木工程学院Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算2设结构功能函数为：设结构功能函数为： ),(21nXXXgZ3.1 中心点法中心点法一、计算公式一、计算公式12,nXXX是表示影响结构可靠度因素的随机变量，是表示影响结构可靠度因素的随机变量，简称基本变量。简称基本变量。 1122,nnXXXXXX是基本变量的统计参数。是基
2、本变量的统计参数。 12(,)nXXXM称为中心点。称为中心点。 Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算3121,ninXXXiXiiMgZgXX在中心点在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取处将功能函数展开为泰勒级数，并取线性项：线性项：则功能函数则功能函数Z的平均值和标准差为的平均值和标准差为1221,niZXXXnZXiiMggXChangsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算4则按下式近似确定可靠指标则按下式近似确定可靠指标niXiXXXZZiXnXgg
3、12,21因为功能函数采用在中心点处泰勒级数展开式线性因为功能函数采用在中心点处泰勒级数展开式线性项作为线性近似函数，因此称此法为中心点法。项作为线性近似函数，因此称此法为中心点法。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算5二、公式的应用二、公式的应用例题例题3-1 一圆截面直杆，承受拉力一圆截面直杆，承受拉力P=100kN，基本变，基本变量及其统计参数如下，求此杆的可靠指标。量及其统计参数如下，求此杆的可靠指标。材料强度设计值材料强度设计值 fy杆的直径杆的直径d功能函数为功能函数为290Mpa,25Mpayyffd30mm
4、,3mmd22(1)(, )44(2)(, )yyyyZg fdd fPPZg fdfPdChangsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算6解：解：222222,(1)()()42.35()()42yyyyyfdMfMdydfdfdfdgggfdP Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算7222223,(2)()()48(1)()3.93yyyyfdMfMdyfdfddgggfdPP 说明中心点法计算结果依赖于功能函数的形式。说明中心点法计算结果依赖于功能函数的形式
5、。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算8三、中心点法的评价三、中心点法的评价1、中心点法的优点、中心点法的优点u直接给出直接给出 与随机变量统计参数之间的关系，与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本不必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即可计算可靠指标值可计算可靠指标值；u若值若值较小，即较小，即f 值较大时，值较大时，f 值对基本变量联合概率分值对基本变量联合概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的f 值
6、大致在同值大致在同一个数量级内一个数量级内；u对正常使用极限状态尤为适用对正常使用极限状态尤为适用 ( 12)。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算92、中心点法的缺点：、中心点法的缺点：u算得的算得的 与结构功能函数的形式有关；与结构功能函数的形式有关；u没有考虑基本变量的实际分布；没有考虑基本变量的实际分布；u对于非线性功能函数，近似在基本变量的平均值对于非线性功能函数，近似在基本变量的平均值处按泰勒级数展开不尽合理；处按泰勒级数展开不尽合理；u当失效概率当失效概率pf 3.09)， Z的分布的分布类型不同将会导致类型
7、不同将会导致pf 值在几个数量级的范围内波值在几个数量级的范围内波动，中心点法失效。动，中心点法失效。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算103.2 3.2 验算点法验算点法一、验算点法的两点改进一、验算点法的两点改进 R. Rackwitz和和 B.Fiessler 等人提出验算点法。等人提出验算点法。（）当功能函数（）当功能函数Z为非线性时，不以通过中心点的超切平为非线性时，不以通过中心点的超切平面作为线性近似，而以通过面作为线性近似，而以通过Z0上的某一点上的某一点P* (x1*, x2*, , xn*)超切平面作为
8、线性近似，以避免中心点方法超切平面作为线性近似，以避免中心点方法中的误差。中的误差。（）当基本变量（）当基本变量xi 具有分布类型的信息时，将具有分布类型的信息时，将Xi 的分布在的分布在 验算点验算点P* 处以与正态分布等价的条件，变换为当量正态处以与正态分布等价的条件，变换为当量正态分布，从而在分布，从而在中合理地反映了分布类型的影响。中合理地反映了分布类型的影响。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算11二、计算公式二、计算公式1 1、设极限状态方程为：、设极限状态方程为： 12(,)0nZg XXX12,nXXX基本
9、变量服从正态分布，统计参数已知。基本变量服从正态分布，统计参数已知。 2 2、空间变换：、空间变换： iiiXiXXUX 空间（正态空间）空间（正态空间） U空间空间 （标准正态空间）（标准正态空间） Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算12验算点验算点 转换为转换为*12(,)nPXXX*12(,)nP U UUX 空间的功能函数空间的功能函数12()(,)nZg Xg XXX转换为转换为U空间功能函数空间功能函数12()(,)nZg Ug U UU12(,)nXXXX12(,)nUU UUChangsha Univer
10、sity of Science & Technology2012结构可靠度计算13极限状态超曲面极限状态超曲面 过验算点的超切平面过验算点的超切平面方程为方程为()0Zg U*121(,)()0nniiiiPgg U UUUUU0Z *P*12(,)0ng U UU*1()0niiiiPgUUU3、U空间的可靠指标空间的可靠指标因为因为 为为极限状态超曲面上的点，则极限状态超曲面上的点，则 超切平面方程化简为超切平面方程化简为Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算14*1u*2u1U2U验算点验算点切线切线极限状态曲线极限状
11、态曲线1U2U*PO可靠指标的几何意义可靠指标的几何意义U 空间内坐标原点到极限状态超曲面空间内坐标原点到极限状态超曲面0的最短距离。的最短距离。在超曲面在超曲面0上，离原点上，离原点最近的点最近的点P*(u1*,u2*,un*) 即为验算点。即为验算点。*121niiiPniiPgUUgUChangsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算15i令令 *21iPiniiPgUgU是是 的方向余弦的方向余弦*O PcosiiU*cosiiUiU iiXiiiiXgggUXUX*21iiXiPinXiiPgXgXX 空间的方向余弦空间的方向
12、余弦式式3-1Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算16因为因为*iiiXiXXU*iiiiiXiXXiXXU *12(,)0ng XXX4 4、X X 空间的验算点空间的验算点所以所以运用迭代法按式运用迭代法按式3-1、3-2和和3-3求解可靠指标。求解可靠指标。式式3-2式式3-3Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算17三、当量正态化三、当量正态化iXix( )iXifxiXiX*ix*()()iiXiiXfxfx*()()iiXiiXFxFx非正态
13、分布概率密度函数非正态分布概率密度函数 iXiX()iXifxiXeiX当量正态分布概率密度函数当量正态分布概率密度函数 iXX()iiXfxeiXChangsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算181、当量正态化条件、当量正态化条件*1*()iiiiXiXXxFx*1*11()()()iiiiiiiXXiXXiXiXxFxfxfx (3-4) (3-5)*()iiiiXXiXxFx *1()iiiiiXXiXXxfxChangsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算19*2*
14、ln1lnlnln(1)1lniiiiXiiXXiiXxxxx*2*lnln(1)iiiiXXiXxx (3-6) (3-7)2 2、对数正态分布当量正态化、对数正态分布当量正态化Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算201( )0Xaxbfxbaotherwise1、均匀分布、均匀分布2Xab22()12Xba1baab( )XfxX0 xab( )XFx010.5x常见概率分布类型常见概率分布类型Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算21( )Xfx(
15、 )XFxXxx0010.5211( )exp() 22XXXXxfx( )u( )u211( )exp( ) 22uu2 2、正态分布、正态分布Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算22( )u0( )uu010.5uXXXU( )XXXxFx ( )( )1XXXXXXXxddfxFxdxdxx3 3、标准正态分布、标准正态分布Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算23( )()(lnln )()( )XYFxP XxPXxP YyFy( )Xfx0
16、xlnyxlnYxlnYx4 4、对数正态分布、对数正态分布lnlnln, N(,), LN(,)YYXXYX YX 2ln2ln(ln)2ln1( ) 2XXxXf xexlnln( )( )lnYXYYXXyFxFyx Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算24lnlnlnlnlnln( )( )ln( )1XXXXXXXxddfxFxdxdxxxln2ln1XXX2lnln(1)XXChangsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算2510( )ukke udu
17、0 x for ( )(1)!kk(1)( )kk k Xk22Xk( )Xfxx15 5、伽马分布、伽马分布1()( )( )kxXxefxk Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算26x11au( )Xfx()()( )a xea xXfxee0.5772X1.2825X6 6、极值、极值型分布型分布( )expexp()XFxxChangsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算27( )expkXuFxxx( )Xfx1u 2k 1( )expkkXkuufxu
18、xx11Xuk 2222111Xukk2k for 1k for 7 7、极值、极值型分布型分布Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算28xk for 1()1Xwwuk22221()11Xwukkx( )Xfx5w 3k 0.5u 8 8、极值、极值型分布型分布( )expkXwxFxwuChangsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算29x for 1()1Xuk22221()11Xukkx( )Xfx5 3k 0.1u 9 9、极值、极值型分布（威布尔分布）型
19、分布（威布尔分布）( )1 expkXxFxw Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算30对于非正态随机变量，以公式对于非正态随机变量，以公式(3-4)(3-4)和和(3-5)(3-5)或或(3-(3-6)6)和和(3-7)(3-7)求得的求得的 XiXi和和 XiXi分别代替分别代替 XiXi和和 XiXi后，后，所有的随机变量现在都变成了正态分布随机变量，所有的随机变量现在都变成了正态分布随机变量，所以前述正态分布基本变量情况下求所以前述正态分布基本变量情况下求 和设计验算点和设计验算点P P* *的公式和方法也就均可应
20、用了。的公式和方法也就均可应用了。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算31四、验算点法计算步骤四、验算点法计算步骤对于结构极限状态函数中包含多个正态或非正对于结构极限状态函数中包含多个正态或非正态基本变量，只要知道其概率分布类型及统计参态基本变量，只要知道其概率分布类型及统计参数，就可采用迭代法计算数，就可采用迭代法计算 和验算点和验算点P P* *的坐标值。的坐标值。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算32已知已知:Xi(i=1,，n)的分布类型及统
21、计参数的分布类型及统计参数 Xi,Xi，极限状态方程极限状态方程g(X1,Xn)=0假定验算点假定验算点P P* *的坐标值初值的坐标值初值对于非正态变量对于非正态变量Xi，根据公式，根据公式(4),(5)或或(6),(7)进行当进行当量正态化，计算量正态化，计算 以代替以代替2121iiii*i*nXPiXPXgXg求i*iXXii,XXii,XXChangsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算33iiiii*ii,XXXXX代入下式：将求得的将设计验算点P*的坐标Xi*代入极限状态方程 以求出0,*2*1nXXXg计算计算Xi*并
22、取代上一并取代上一次验算点坐标，返次验算点坐标，返回进行下一轮迭代回进行下一轮迭代 本次求得的本次求得的 和和Xi*即为所求的可靠即为所求的可靠指标和设计验算点指标和设计验算点P*的坐标值的坐标值是是否否|上次求出的上次求出的 上次求出的上次求出的 |允许误差允许误差 Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算34承受恒载和楼面活荷载的钢筋混凝土轴心受压短承受恒载和楼面活荷载的钢筋混凝土轴心受压短柱，已知恒载产生的轴向力柱，已知恒载产生的轴向力NG为正态分布，活载为正态分布，活载产生的轴向力产生的轴向力NL为极值为极值型分布，截
23、面承载能力型分布，截面承载能力（抗力）（抗力）R为对数正态分布，统计参数分别为为对数正态分布，统计参数分别为 NG1159.1kN， NG81.1kN， NL765.5kN， NL222kN， R4560kN， R729.6kN，极限，极限状态方程为状态方程为 ZRNGNL0，求可靠指标，求可靠指标 和和设计验算点。设计验算点。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算353.96R*=3009.8NG*=1194.1NL*=1815.6g()= R*- NG*- NL*=0.010Changsha University of
24、Science & Technology2012结构可靠度计算363.3 3.3 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法蒙特卡洛法又称为随机抽样法，是一种基于蒙特卡洛法又称为随机抽样法，是一种基于“随随机数机数”的计算方法。的计算方法。源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼曼哈顿计划哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯。该计划的主持人之一、数学家冯诺诺伊曼用驰名世界的赌城伊曼用驰名世界的赌城Monte CarloMonte Carlo来命名。来命名。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算37一
25、、蒙特卡洛法的基本思路一、蒙特卡洛法的基本思路针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使所求的量恰好是该模型某个指标的概计模型，使所求的量恰好是该模型某个指标的概率分布或者数字特征。率分布或者数字特征。对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事进行模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计。件进行统计。对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及其精度其精度( (方差方差) )的估计。的估计。Changsha Un
26、iversity of Science & Technology2012结构可靠度计算38二、随机数的生成二、随机数的生成u蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。u在计算机实现中在计算机实现中, , 是通过确定性的算法生成随机数是通过确定性的算法生成随机数, ,所以这所以这样生成的序列在本质上不是随机的样生成的序列在本质上不是随机的, ,只是很好的模仿了随机只是很好的模仿了随机数的性质。我们通常称之为伪随机数。数的性质。我们通常称之为伪随机数。u在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数，而大多在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概率分布的
27、随机数产生均基于均匀分布数概率分布的随机数产生均基于均匀分布U(0,1)U(0,1)的随机数。的随机数。u可靠度计算中采用一般抽样法和重要抽样法。可靠度计算中采用一般抽样法和重要抽样法。Changsha University of Science & Technology2012结构可靠度计算39三、蒙特卡洛方法计算可靠度的步骤三、蒙特卡洛方法计算可靠度的步骤1 1、列出功能函数及基本变量的概率分布函数、列出功能函数及基本变量的概率分布函数2 2、估算抽样的次数、估算抽样的次数3 3、产生的随机数、产生的随机数4 4、计算基本变量、计算基本变量5 5、计算功能函数值，记录功能函数小于、计算功能函数值，记录功能函数小于0 0的次数的次数 ；6 6、计算失效概率估计值、计算失效概率估计值12(,)MZg XXX100fNP(1,M;1,N)ijr ijfNffNPN1( )iijXijxFr
