1、实验安排实验安排时间：时间：第八周第八周 周五周五3-6第十周第十周 周五周五3-6 第十三周第十三周 周五周五3-6 第十四周第十四周 周五周五3-6 地点：机电学科楼地点：机电学科楼D213考试时间地点及要求考试时间地点及要求时间：第十五周时间：第十五周 周五周五上午上午10:00 12:00地点：机电学科楼地点：机电学科楼D2131:033要求：要求：1. 开卷考试开卷考试，可带教科书，课件。，可带教科书，课件。2. 将完成题目的相应程序和运行结将完成题目的相应程序和运行结果均要誊写在试卷上！果均要誊写在试卷上！3. 考试当天请将填写好的考试当天请将填写好的实验报告实验报告随试卷一并交上
2、！随试卷一并交上！1:034第第5章章 控制系统的经典设计技术控制系统的经典设计技术5.1 串联补偿器设计串联补偿器设计 相位超前补偿器相位超前补偿器 相位滞后补偿器相位滞后补偿器 相位超前滞后补偿器相位超前滞后补偿器5.2 线性二次型最优控制线性二次型最优控制5.3 基于观测器的二次调节器设计基于观测器的二次调节器设计5.4 极点配置控制器设计极点配置控制器设计5.5 PID控制器设计控制器设计1:035u为使系统能同时满足动态和稳态性能为使系统能同时满足动态和稳态性能指标的要求，需要在系统中引入一个指标的要求，需要在系统中引入一个专门用于改善性能的专门用于改善性能的附加装置附加装置，这个，
3、这个附加装置称为校正装置，也称为补偿附加装置称为校正装置，也称为补偿器，这种方法称为器，这种方法称为校正。校正。！控制系统的设计本质上控制系统的设计本质上是寻找合适的校正装置是寻找合适的校正装置5.1 串联补偿器的设计串联补偿器的设计1:036系统校正装置的类型系统校正装置的类型串联校正串联校正相位超前相位超前相位滞后相位滞后相位超前相位超前- -滞后滞后反馈校正反馈校正1:037校正方法校正方法根轨迹法综合校正根轨迹法综合校正 通过引入校正装置改变系统的开环零极通过引入校正装置改变系统的开环零极点的分布，进而改变系统的闭环根轨迹，即点的分布，进而改变系统的闭环根轨迹，即闭环特征根的位置，实现
4、了闭环极点的按期闭环特征根的位置，实现了闭环极点的按期望位置的配置。望位置的配置。频率特性法综合校正频率特性法综合校正 通过校正装置来改变系统开环频率特性通过校正装置来改变系统开环频率特性形状，进而达到改善系统的动静态品质的目形状，进而达到改善系统的动静态品质的目的。的。1:038 一般来说，串联校正设计比反馈一般来说，串联校正设计比反馈校正设计简单，也比较容易对信号进行校正设计简单，也比较容易对信号进行各种必要形式的变换。各种必要形式的变换。 本章主要讨论借助本章主要讨论借助MATLAB，用，用频率法对线性定常系统进行频率法对线性定常系统进行串联校正串联校正设设计的基本步骤和方法。计的基本步
5、骤和方法。1:039低频段低频段 (第一个转折频率第一个转折频率1之前的频段之前的频段) 稳态性能稳态性能中频段中频段 (1 10穿越频率穿越频率c) 动态性能动态性能高频段高频段 (10c 以后的频段以后的频段) 抗干扰抗干扰了解影响系统性能的频段分划了解影响系统性能的频段分划稳态误差稳态误差 延迟时间延迟时间, ,上升时间上升时间, ,峰值时间峰值时间 调节时间调节时间, ,超调量超调量 1:0310(1)相位超前补偿器相位超前补偿器 传递函数传递函数 1 ,11)(TsTsKsGcc特点和作用特点和作用a.超前校正是通过其相位超前特性来改善超前校正是通过其相位超前特性来改善系统的品质。超
6、前校正主要针对系统频率特系统的品质。超前校正主要针对系统频率特性的性的中频段中频段进行校正，使校正后对数幅频特进行校正，使校正后对数幅频特性曲线的中频段斜率为性曲线的中频段斜率为-20dB/dec，并有足，并有足够的相位裕量。够的相位裕量。1:0311b.超前校正超前校正增大增大了系统的了系统的相位裕量相位裕量和和截止频率截止频率（剪切频率），从而减小瞬态（剪切频率），从而减小瞬态响应的超调量，提高其快速性；响应的超调量，提高其快速性；c.超前校正主要用于系统的稳定性能超前校正主要用于系统的稳定性能已满足要求，而动态性能有待改善的场已满足要求，而动态性能有待改善的场合合1:0312例例 已知开
7、环系统的传递函数为已知开环系统的传递函数为)04. 01 (100)(sssG采用超前补偿器研究系统的频率特性。采用超前补偿器研究系统的频率特性。思路：思路：1.考察系统的幅值裕量和相位裕量；考察系统的幅值裕量和相位裕量；2. 引入超前补偿器增大相位裕量；引入超前补偿器增大相位裕量；3. 考察补偿后闭环系统的阶跃响应考察补偿后闭环系统的阶跃响应1:03131. G=tf(100,0.04 1 0)；Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)显示结果：显示结果：Gm =InfPm =28.0243 %相位裕量有待增加相位裕量有待增加Wcg =InfWcp =46.9701w=logspace
8、(-1, 3);bode(G,w)1:031410-1100101102103-180-135-90Phase (deg) System: G Phase Margin (deg): 28 Delay Margin (sec): 0.0104 At frequency (rad/sec): 47 Closed Loop Stable? Yes -60-40-200204060Magnitude (dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)w=47=28o设计超前相位设计超前相位补偿器增大相补偿器增大相位裕量？位裕量？对应的转对应的转折频率折频率1:03152.设计超前
9、补偿器设计超前补偿器)0106.01 ()0262.01 ()(sssGcGc1=tf(0.0262 1,0.0106,1);G_o1=G* Gc1;Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G_o1)结果显示：结果显示： Gm =Inf Pm =47.5917Wcg =NaN Wcp =60.32511:0316m,p=bode(G,w);m1,p1=bode(G_o1,w);subplot(211);semilogx(w,20*log10(m(:),m1(:)subplot(212);semilogx(w, p(:),p1(:)1:0317-60-40-200204060Magnitude
10、 (dB)10-1100101102103-180-135-90 System: G Phase Margin (deg): 28 Delay Margin (sec): 0.0104 At frequency (rad/sec): 47 Closed Loop Stable? Yes System: G_o Phase Margin (deg): 47.6 Delay Margin (sec): 0.0138 At frequency (rad/sec): 60.3 Closed Loop Stable? Yes Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/s
11、ec)w=47w1=60=28o1=47.6o剪切频率有增加剪切频率有增加相位裕量有增加相位裕量有增加1:0318G_c=feedback(G,1);G_c1=feedback(G_o1,1);step(G_c)hold onstep(G_c1)3.考察闭环系统的阶跃响应考察闭环系统的阶跃响应1:031900.050.10.150.20.250.30.350.40.4500.511.5Step ResponseTime (sec)Amplitude随着系统随着系统相位裕量相位裕量的增加，超的增加，超调量减小了，随着调量减小了，随着剪切频率剪切频率的的增加，系统响应速度加快增加，系统响应速度加快
12、original modelcompensated model1:0320 (2)相位滞后补偿器相位滞后补偿器 传递函数传递函数 1 ,11)(TsTsKsGcc特点和作用特点和作用a.滞后校正是通过其低频积分特性滞后校正是通过其低频积分特性来改善系统的品质；来改善系统的品质；1:0321b.滞后校正是通过滞后校正是通过降低降低系统的系统的截止频率截止频率（剪切频率）来（剪切频率）来增大相位裕量增大相位裕量，因此，因此，它虽然可以减小瞬态响应的超调量，但它虽然可以减小瞬态响应的超调量，但却降低了系统的快速性；却降低了系统的快速性；c.滞后校正可以改善系统的稳态精度；滞后校正可以改善系统的稳态精
13、度；d.滞后校正适用于瞬态性能指标已经满滞后校正适用于瞬态性能指标已经满足、但需提高稳态精度的系统。足、但需提高稳态精度的系统。1:0322例：对前例考虑设计相位滞后补偿器例：对前例考虑设计相位滞后补偿器)5.21()5.01()(sssGc G=tf(100,0.04 1 0);Gc2=tf(0.5,1,2.5,1);G_o2=G* Gc2;Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G_o2)显示结果：显示结果：Gm =Inf Pm =50.7572（28.0243）Wcg =NaN Wcp =16.7339（46.9701）1:0323绘制补偿前后的绘制补偿前后的Bode图图m,p=bod
14、e(G,w);m2,p2=bode(G_o2,w);subpolt(211);semilogx(w, 20*log10(m(:),m2(:)subpolt(212);semilogx(w, p(:),p2(:)1:032410-210-1100101102103-180-135-90Phase (deg)-100-50050100Magnitude (dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)w=47w2=16.7=28o2=50.7o相位裕量增加、剪切频率减小相位裕量增加、剪切频率减小1:0325G_c=feedback(G,1);G_c1=feedback(G_o
15、1,1);G_c2=feedback(G_o2,1);y=step(step(G_c,t),step(G_c1),step(G_c2)figure,;plot(t,y)1:032600.050.10.150.20.250.30.350.40.450.500.511.5Step ResponseTime (sec)Amplitudeoriginal model lead compensatedlag compensated 两种补偿下的超调量均因为相位两种补偿下的超调量均因为相位裕量的增大而减小，但滞后补偿裕量的增大而减小，但滞后补偿系统响应速度变慢系统响应速度变慢(剪切频率变小剪切频率变小)而
16、超前补偿系统响应速度加快而超前补偿系统响应速度加快1:0327(3)超前超前滞后校正传递函数滞后校正传递函数 1 , 1 ,1111)(2211sTsTsTsTsGc 若对校正系统的动态特性和稳态特性都有较若对校正系统的动态特性和稳态特性都有较高要求时，宜采用串联超前高要求时，宜采用串联超前滞后补偿装置。滞后补偿装置。1:0328相位超前校正相位超前校正相位滞后校正相位滞后校正相位超前相位超前- -滞后校滞后校正正响应的快速性（带宽）响应的快速性（带宽） 稳态精度（系统增益）稳态精度（系统增益） 在针对具体系统进行调节器校正在针对具体系统进行调节器校正时，需要考虑具体的要求来选取相应时，需要考
17、虑具体的要求来选取相应的调节器。的调节器。1:0329附表：附表： 超前校正和滞后校正的区别与联系超前校正和滞后校正的区别与联系1:03305.2 线性二次型最优控制线性二次型最优控制假设线性时不变系统的状态方程模型为假设线性时不变系统的状态方程模型为)()()()()()(tDutCxtytButAxtx使最优性能指标使最优性能指标dttRututQxtxtSxtxJTttTffTf)()()()(21)()(210极小的控制问题称为线性二次型极小的控制问题称为线性二次型(Linear Quadratic，简称，简称LQ)最优控制问题。最优控制问题。1:0331建立如下的建立如下的Hamil
18、ton函数函数 )()()( )()()()(21tButAxttRututQxtxHTTT0)()(tBtRuuHT由由 得最优控制得最优控制 )()(1*tBRtuT1:0332P(t)为满足以下的为满足以下的Riccati微分方程微分方程的对称阵的对称阵QtPBBRtPtPAAtPtPTT)()()()()(1因此，最优控制信号将取决于状态变量因此，最优控制信号将取决于状态变量x(t)与与Riccati微分方程的解微分方程的解P(t)()()(1*txtPBRtuT)()()(txtPt又可写成又可写成 )(t最优控制可写成最优控制可写成 1:0333问题问题：通常，上述的：通常，上述的
19、Riccati微分方程求解微分方程求解比较困难，而基于该方程的控制器的实现比较困难，而基于该方程的控制器的实现就更加困难。就更加困难。退一步退一步：只考虑稳态问题的简单情况。在：只考虑稳态问题的简单情况。在稳态情况下，终止时间趋于无穷大，系统稳态情况下，终止时间趋于无穷大，系统状态趋于状态趋于0，解矩阵，解矩阵P(t)将趋于常数矩阵通将趋于常数矩阵通常，因而常，因而 。Riccati微分方程简化微分方程简化为为0)(tP该方程称为该方程称为Riccati代数方程。代数方程。0)()()()(1QtPBBRtPtPAAtPTT1:0334)()(*tKxtu设设 ，则可得闭环系统的状，则可得闭环
20、系统的状态方程表示为态方程表示为（A-BK），），B，C，D。 控制工具箱提供了控制工具箱提供了lqr()函数，用来按照给函数，用来按照给定的权矩阵设计定的权矩阵设计LQ最优控制器。最优控制器。qK, P=lqr(A, B, Q, R)Q和和R分别为给定的加权矩阵。返回的向分别为给定的加权矩阵。返回的向量量K为状态反馈向量，为状态反馈向量，P为为Riccati代数方代数方程的解。程的解。1:0335例例 假定系统的状态方程模型为假定系统的状态方程模型为)(402)(05. 09 . 85 . 101 . 0105. 01 . 03 . 0)(tutxtx)(321 txy 选择加权矩阵为选择加
21、权矩阵为Q=I3,R=1，设计，设计LQ最优调节器。最优调节器。1:0336 A=-0.3 0.1 -0.05;1 0.1 0;-1.5 -8.9 -0.05;B=2;0;4; x0=zeros(3,1);C=1 2 3;D=0; Q=eye(3);R=1;Kc=lqr(A,B,Q,R)y,x,t=step(A-B*Kc),B,C,D)plot(t,x) %三个状态分量的轨迹三个状态分量的轨迹figureplot(t,y) %系统输出的轨迹系统输出的轨迹1:03371:03381:0339)( )(*txKtu 当系统的状态不能测得时，不能直接当系统的状态不能测得时，不能直接进行状态反馈控制器
22、的设计，因此可以考进行状态反馈控制器的设计，因此可以考虑根据原系统对状态进行重构，期望重构虑根据原系统对状态进行重构，期望重构的状态与原系统状态在某种意义下等价。的状态与原系统状态在某种意义下等价。运用构造的新状态对原系统进行控制。如运用构造的新状态对原系统进行控制。如构造线性二次型最优控制器构造线性二次型最优控制器5.3 基于观测器的二次调节器设计基于观测器的二次调节器设计1:0340)()()( )()( )( tytDutxCHtButxAtx控制工具箱提供了控制工具箱提供了reg()函数，用来设计基函数，用来设计基于观测器的调节器。于观测器的调节器。qGc=reg(G,K,H)K和和H
23、分别为状态反馈向量和观测器向量。分别为状态反馈向量和观测器向量。Gc为基于观测器的调节器模型。为基于观测器的调节器模型。状态观测器的数学模型由下式给出状态观测器的数学模型由下式给出1:0341)(300000)(1000001003 .3300008 .853 .1400006 . 15 . 000005 . 02 . 0)(tutxtx)(00001txy 例例 考虑如下系统的状态方程模型考虑如下系统的状态方程模型1:0342 A=-0.2 0.5 0 0 0;0 -0.5 1.6 0 0;0 0 -14.3 85.8 0;0 0 0 -33.3 100;0 0 0 0 -10;B=0;0;
24、0;0;30; C=1 0 0 0 0;D=0;Q=diag(1 0 0 0 0);R=1;K,P=lqr(A,B,Q,R);H =-8.3 979.24 -19367.61 4293.85 0;Gc=-reg(ss(A,B,C,D),K,H)zpk(Gc)加权矩阵为加权矩阵为Q=diag(1,0,0,0,0), R=1，并假定观，并假定观测器向量选为测器向量选为H=-8.3 979.24 -19367.61 4293.85 0. 设计基于观测器的调节器模型。设计基于观测器的调节器模型。A-H*C稳定稳定1:0343a = x1 x2 x3 x4 x5 x1 8.1 0.5 0 0 0 x2
25、-979.2 -0.5 1.6 0 0 x3 1.937e+004 0 -14.3 85.8 0 x4 -4294 0 0 -33.3 100 x5 -27.78 -5.033 -0.4714 -1.112 -17.96 b = u1 x1 -8.3 x2 979.2 x3 -1.937e+004 x4 4294 x5 0 c = x1 x2 x3 x4 x5 y1 0.926 0.1678 0.01571 0.03708 0.2653 d = u1 y1 0Zero/pole/gain: 11.4839 (s+33.34) (s+14.3) (s+10) (s+1.792)-(s+20.92
26、) (s2 + 30.19s + 328.1) (s2 + 6.845s + 120)1:0344 t=0:0.05:2;G=ss(A,B,C,D);G_c=feedback(G*Gc,1);step(G_c,t)1:03455.4 极点配置控制器设计极点配置控制器设计设系统的状态方程表示为设系统的状态方程表示为CxyBuAxx,引入状态反馈引入状态反馈Kxru其中其中r为外部参考输入信号。则系统的闭环状为外部参考输入信号。则系统的闭环状态方程为态方程为CxyBrxBKAx,)(1:0346适当的选择状态反馈增益向量适当的选择状态反馈增益向量K，可将闭环系，可将闭环系统的极点配置到任何预先指定
27、的位置。统的极点配置到任何预先指定的位置。前提条件：系统完全可控，才可进行前提条件：系统完全可控，才可进行极点配置！极点配置！ 增益矩阵的计算可由增益矩阵的计算可由Matlab函数函数acker()和和place()来完成来完成K=acker(A,B,P)K=place(A,B,P)P为包含期望极点位置的向量，返回变量为包含期望极点位置的向量，返回变量K为状态反馈向量。为状态反馈向量。1:0347K=acker(A,B,P)K=place(A,B,P)注意：注意：place()适用于求解多变量系统的极点适用于求解多变量系统的极点配置问题配置问题 不适合于含有多重期望极点的问题；不适合于含有多重
28、期望极点的问题；acker()函数可以求解多重极点配置问题函数可以求解多重极点配置问题 不能求解多变量问题。不能求解多变量问题。1:0348例例 考虑给定的状态方程模型考虑给定的状态方程模型),(1010)(01100100001000010)(tutxtx)(4321 txy 11, 2, 14, 3 , 2, 1js采用状态反馈将系统闭环极点配置在采用状态反馈将系统闭环极点配置在 1:0349 A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;-1;eig(A)ans=0 0 3.3166 -3.3166P=-1;-2;-1+sqrt(-1);-1-s
29、qrt(-1);K=place(A,B,P)K= -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.00001:0350 eig(A-B*K) % 对设计的对设计的K进行验证进行验证ans= -1.0000-1.0000i -1.0000+1.0000i -2.0000 -1.00001:0351例例 考虑给定的四阶系统模型考虑给定的四阶系统模型),(1224)(6200400000740085)(tutxtx)(2222txy11, 2, 14, 3 , 2, 1js采用状态反馈将系统闭环极点配置在采用状态反馈将系统闭环极点配置在 1:0352 A=-5 8 0 0;-4 7 0 0;
30、0 0 0 4;0 0 -2 6;B=4;-2;2;1;P=-1;-2;-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1);K=place(A,B,P)? Error using =placeCant place eigenvalues there因为原系统不是完全可控的，所以不因为原系统不是完全可控的，所以不能自由地配置闭环系统的全部极点能自由地配置闭环系统的全部极点!1:03535.5 PID控制器设计控制器设计 所谓所谓PID控制器，就是对误差信号进行加控制器，就是对误差信号进行加权的比例，积分与微分运算，最后将其和送权的比例，积分与微分运算，最后将其和送给对象，以完成整个控制过程。传统的给
31、对象，以完成整个控制过程。传统的PID控控制器模型为制器模型为式中式中u(t)为进入受控对象的控制变量，为进入受控对象的控制变量，e(t)=r(t)-y(t)为误差信号，为误差信号，r(t)而为给定参考输入的值。而为给定参考输入的值。 1:0354 dttdeTdeTteKtudtip01)(PID控制器的数学描述为控制器的数学描述为例例 考虑一个三阶对象考虑一个三阶对象3) 1/(1)(ssG分别考查分别考查P控制；控制；PI控制；控制；PID控制。控制。1:03551。P控制控制 G=tf(1,1,3,3,1);Kp=0.1:0.1:1;for i=1:length(Kp)G_c=feed
32、back(Kp(i)*G,1);step(G_c)hold on;end1:0356当当Kp的值增大时，系统响应的速的值增大时，系统响应的速度将增快。系统响应的幅值增加度将增快。系统响应的幅值增加1:03572。PI控制控制 Kp=1;Ti=0.7:0.1:1.5;for i=1:length(Ti)Gc=tf(Kp*1,1/Ti(i),1,0);G_c=feedback(Gc*G,1);step(G_c)hold on;endaxis(0,20,0,2)1:0358PI控制可使稳定的闭环系统没有稳态误控制可使稳定的闭环系统没有稳态误差，增大差，增大Ti，系统的超调量将变小，响，系统的超调量将变小，响应速度减慢应速度减慢1:03593。PID控制控制 Kp=1;Ti=1;Td=0.1:0.2:2;for i=1:length(Td)Gc=tf(Kp*Td(i),1,1/Ti,1,0);G_c=feedback(Gc*G,1);step(G_c)hold on;endaxis(0,20,0,1.6)1:0360增大增大Td，系统响应速度增大，幅值也，系统响应速度增大，幅值也将增加（超调量增大）将增加（超调量增大）
