1、PART III 同态信号处理同态信号处理Homomorphic Signal Prosessing第五章第五章 同态信号处理同态信号处理n 5.2 乘法同态系统乘法同态系统n 5.4 复倒谱复倒谱n 5.5 复倒谱的计算复倒谱的计算n 5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n 5.3 卷积同态系统卷积同态系统n 5.0 引言引言5.0 引言引言n加性组合信号加性组合信号1(频域可分离频域可分离)r(n)x(n)信号信号1y(n)信号信号25.0 引言引言n加性组合信号加性组合信号(MMSE分离分离)r(n)x(n)信号信号y(n)噪声噪声5.0 引言引言n非线性组合信号非线性组合信号r
2、(n)x(n)信号信号1y(n)信号信号2r(n)x(n)信号信号 y(n)乘法乘法卷积卷积5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n1. 线性系统线性系统n叠加原理叠加原理 设设x1(n)和和x2(n)为系统的两个输入序列，为系统的两个输入序列，其输出分别用其输出分别用y1(n) 和和y2(n)表示，即表示，即 叠加原理要求：叠加原理要求：n满足叠加原理的系统称为线性系统。满足叠加原理的系统称为线性系统。)(T)()(T)(2211nxnynxny )()()(T)(T)()(T212121nynynxnxnxnx )()(T)(T111naynxanax 5.1 同态系统的基本概念同态
3、系统的基本概念n2. 广义叠加原理广义叠加原理n将系统中的运算用符号抽象化将系统中的运算用符号抽象化 系统的输入中：系统的输入中： 信号间的运算用信号间的运算用* *表示表示 (加、乘、卷加、乘、卷积等积等) 常数与信号间的运算用常数与信号间的运算用表示表示(乘、乘、幂、开方等幂、开方等)5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念 系统的输出中：系统的输出中： 信号间的运算用信号间的运算用表示表示 (加、乘、卷加、乘、卷积等积等) 常数与信号间的运算用常数与信号间的运算用表示表示(乘、乘、幂、开方等幂、开方等) 用用H表示系统变换，用表示系统变换，用C表示系统中的表示系统中的常数。常数。5.
4、1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n定义定义: 若在系统中下式成立若在系统中下式成立则称该系统满足广义叠加原理，并称该系则称该系统满足广义叠加原理，并称该系统为同态系统统为同态系统(Homomorphic System)。n说明：说明： 同态系统强调在某运算下同态。同态系统强调在某运算下同态。 )(H )(H)( )(H2121nxnxnxnx * *)(H )( HnxCnxC 5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n3. 同态系统的分类同态系统的分类n若若* *和和均为加法均为加法，和，和均为均为乘法，则乘法，则称该系统为称该系统为加法同态系统加法同态系统，或，或线性系统线性系
5、统。n若若* *为乘法，为乘法，也为乘法，则称该系统为也为乘法，则称该系统为乘法运算同态系统或乘法运算同态系统或乘法同态系统乘法同态系统。n若若* *为卷积，为卷积，也为卷积，则称该系统为也为卷积，则称该系统为卷积运算同态系统或卷积运算同态系统或卷积同态系统卷积同态系统。n若若* *为乘法，为乘法，为卷积，则称该系统为为卷积，则称该系统为乘乘法和卷积运算同态系统法和卷积运算同态系统。 )(H )(H)( )(H2121nxnxnxnx * *)(H )( HnxCnxC 5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n3. 同态系统的分类同态系统的分类信号变换信号变换x2(n)能否构成乘法同态系
6、统能否构成乘法同态系统?信号变换信号变换3x (n)能否构成乘法同态系统能否构成乘法同态系统?5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n4. 同态系统的规范形式同态系统的规范形式n任何同态系统都可以表示成由三个子系统任何同态系统都可以表示成由三个子系统级联的形式：级联的形式：+ +和和同态系统同态系统* *和和+ +同态系统同态系统+ +同态系统同态系统D * *LD -1* *+)( nx)(nx)( ny)(ny5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n5. 同态系统的特征系统同态系统的特征系统n将信号之间的将信号之间的* *运算转化成运算转化成+运算的系统运算的系统称为称为* *
7、运算的特征系统。运算的特征系统。n将信号之间的将信号之间的+运算转化成运算的系统运算转化成运算的系统称为运算的特征系统的逆系统。称为运算的特征系统的逆系统。D -1+D * * *+)(nx5.2 乘法同态系统乘法同态系统n1. 乘法同态系统的运算乘法同态系统的运算n信号之间的运算：信号之间的运算： * * 乘法运算乘法运算n常数与信号之间的运算：常数与信号之间的运算： 指数运算指数运算5.2 乘法同态系统乘法同态系统n2.乘法同态系统的规范形式乘法同态系统的规范形式n设输入为设输入为，其中，其中 为常为常数，则数，则DLD-1幂幂运算运算幂运算幂运算+)( nx)(nx)( ny)(ny ,
8、)()()(21nxnxnx )()()(D)(D)(D)( 2121nxnxnxnxnxnx )()()(L)(L)( L)( 2121nynynxnxnxny )(D)(D)(D)(D)( D)(211121111nynynynynyny 5.2 乘法同态系统乘法同态系统n3. 特征系统特征系统Dn将信号间的乘法运算转换成加法运算；将信号间的乘法运算转换成加法运算；n将常数与信号间的幂运算转换成乘法运算。将常数与信号间的幂运算转换成乘法运算。n D是对数运算：是对数运算：n D-1是指数运算：是指数运算：)()()(ln)(ln)()(ln212121nxnxnxnxnxnx )()()(
9、exp)(exp)()(exp212121nynynynynyny 5.2 乘法同态系统乘法同态系统n4. 规范形式的实现框图规范形式的实现框图n5. 应用应用n可表示成多个分量乘积的信号有：可表示成多个分量乘积的信号有： 衰落信道的输出信号衰落信道的输出信号 调幅波调幅波复对数复对数线性线性系统系统复指数复指数+)( nx)(nx)( ny)(ny5.2 乘法同态系统乘法同态系统n同态滤波的作用：同态滤波的作用： 若要处理乘性混合信号，先对其进行分若要处理乘性混合信号，先对其进行分离，增强其中某个信号分量，同时压缩离，增强其中某个信号分量，同时压缩或削弱另一个信号分量。或削弱另一个信号分量。
10、5.3 卷积同态系统卷积同态系统n1. 规范形式规范形式nD*将信号间的卷积运算转换成加法运算将信号间的卷积运算转换成加法运算:nD*-1将加法运算转换成卷积运算将加法运算转换成卷积运算:D*LD*-1* * *+)( nx)(nx)( ny)(ny)(D)(D)()(D2*1*21*nxnxnxnx )( D)( D)()( D21*11*211*nynynyny 5.3 卷积同态系统卷积同态系统n2. 特征系统特征系统D* *的实现的实现n先用先用Z变换将卷积组合信号变成乘法组合变换将卷积组合信号变成乘法组合信号：信号：n再用复对数将乘法运算变为加法运算：再用复对数将乘法运算变为加法运算：
11、)()()()()()()()(1212121zUzXzXnxZnxZnxnxZnxZ ZlnZ-1+* *+)( nx)(nx)(1zU)(2zU)(ln)(ln)(ln)(2112zXzXzUzU 5.3 卷积同态系统卷积同态系统n最后用逆最后用逆Z变换将信号由变换将信号由Z域变换到时域：域变换到时域：n3. D* *-1的实现的实现ni) 对信号进行对信号进行Z变换，将信号由时域变换变换，将信号由时域变换到到Z域：域：)(ln)(ln)()( 21121zXzXZzUZnx ZexpZ-1*+)( ny)(ny)(1zV)(2zV+)()()( )( )()( )( )(2121211z
12、YzYnyZnyZnynyZnyZzV 5.3 卷积同态系统卷积同态系统nii) 用复指数运算将加法运算变为乘法运算：用复指数运算将加法运算变为乘法运算：niii) 用逆用逆Z变换将信号由变换将信号由Z域变换到时域，域变换到时域，且乘法变为卷积：且乘法变为卷积：)()()(exp)(exp)()(exp)(2121212zYzYzYzYzYzYzV )()()()()()()()(21211121121nynyzYZzYZzYzYZzVZnY 5.4 复倒谱复倒谱n1. 定义定义n称称 为信号为信号x(n) 的复倒谱的复倒谱(Cepstrum)。n卷积同态系统的卷积同态系统的D*将卷积运算组合
13、的信将卷积运算组合的信号转换成它们的复倒谱之和。号转换成它们的复倒谱之和。)(ln)( 1zXZnx 5.4 复倒谱复倒谱n 2. 序列的复倒谱序列的复倒谱n设设x(n)的的Z变换为变换为n其中：其中： 为零点，为零点， 为极点；为极点； 的模均小于的模均小于1； 为单位圆内、外零点的数目；为单位圆内、外零点的数目； 为单位圆内、外极点的数目。为单位圆内、外极点的数目。 ioiopkpkkkmkmkkkrzdzczbzaAzzX111111)1 ()1 ()1 ()1 ()(1, kkba1, kkdckkkkdcba,oimm ,oipp ,5.4 复倒谱复倒谱n n 计算计算 oimkkm
14、kkrzbzazAzXzX111)1ln()1ln(lnln)(ln)( oipkkpkkzdzc111)1ln()1ln( )1ln(11 zaZk 1)1ln(nnnxx ioiopkpkkkmkmkkkrzdzczbzaAzzX111111)1 ()1 ()1 ()1 ()(0,)1ln(11 nnazaZnkk 11)1ln(nnnkkznaza)(1ZXZ 5.4 复倒谱复倒谱 同理可得：同理可得： 计算计算 同理可得：同理可得： 0,)1ln(11 nnczcZnkk )1ln(1zbZk 11)1ln(nnnknnnnnkkznbznbzb0,)1ln(1 nnbzbZnkk0,
15、)1ln(1 nndzdZnkk 1)1ln(nnnxx oioipkkpkkmkkmkkrzdzczbzazAzXzX111111)1ln()1ln()1ln()1ln(lnln)(ln)(5.4 复倒谱复倒谱 项项:先不考虑。先不考虑。 lnA项项:n综上可得：综上可得：rzln 000) 1(ln1nnnrzZnr)(|ln|ln1nAAZ 00|)ln(|0)()( 11111nndnbnAnncnazXZnxooiimkpknknkmkpknknk0,)1ln(11 nnazaZnkk0,)1ln(11 nnczcZnkk0,)1ln(1 nnbzbZnkk0,)1ln(1 nndz
16、dZnkk 00|)ln(|0)( 1111nndnbnAnncnanxooiimkpknknkmkpknknk5.4 复倒谱复倒谱n3. 序列复倒谱的性质序列复倒谱的性质ni) 为无限长序列，幅度按为无限长序列，幅度按 的速度的速度衰减，能量主要集中在低时段。衰减，能量主要集中在低时段。nii) 若若x(n) 为最小相位序列，即零极点均在为最小相位序列，即零极点均在单位圆内，单位圆内， ，则其复倒谱为因，则其复倒谱为因果序列。果序列。)( nx| / 1 n0, 0 oopm 00|)ln(|0)( 1111nndnbnAnncnanxooiimkpknknkmkpknknk5.4 复倒谱复
17、倒谱niii) 若若x(n)为最大相位序列，即零极点均在为最大相位序列，即零极点均在单位圆外，单位圆外， ，则其复倒谱为反因，则其复倒谱为反因果序列。果序列。niv) 间隔间隔Np的冲激序列的复倒谱仍为一个的冲激序列的复倒谱仍为一个间隔为间隔为Np的冲激序列。的冲激序列。nv) 实序列的复倒谱也是实序列。实序列的复倒谱也是实序列。0, 0 iipm性质性质iv证明证明: MkpkkNnanx0)()( MkkNkpzazX0)(1 0010ppMNMNzaazaaa MkNkpzaa110)(1 MkNkpzaazX110)(1lnln)(ln|,)(ln110kNMkiiNikazziaap
18、p 110110)()(ln)()(ln)( iMkpikMkipikiNnianaiNniananx 性质性质iv证明证明(续续): 0)()( 则ipiiNnbnx Mkikiiiab10,令令00lnab 110110)()(ln)()(ln)( iMkpikMkipikiNnianaiNniananx 性质性质v证明证明n若若x(n)为实序列，则为实序列，则其中其中 为偶函数，为偶函数， 为奇函数。为奇函数。于是在于是在 中实部为偶对称，虚部为奇中实部为偶对称，虚部为奇对称，即对称，即为共轭偶对称。因此为共轭偶对称。因此 也也为实序列。为实序列。)(arg| )(|)(ZXjezXzX
19、 | )(|zX)(argZX)(lnzX)(ZX)( nx5.4 复倒谱复倒谱n4.复对数的定义复对数的定义n复对数的多值性复对数的多值性可见可见 与与 之间的变换不唯一，因而之间的变换不唯一，因而导致导致x(n)与与之间不是一一对应的。之间不是一一对应的。)(zX)(zX, 2, 1, 0,2)(argexp)(argexp kkzXjzXj )(argexp| )(|)(zXjzXzX )2)(arg| )(|ln)(ln)(kzXjzXzXzX )( nx5.4 复倒谱复倒谱n复对数多值性的解决复对数多值性的解决 设定相位的主值区间为设定相位的主值区间为，定义，定义取主值运算取主值运算
20、ARG ：其中其中为为“模模”运算，它使运算，它使显然，显然，ARGX(z)与与X(z)是一一对应的。是一一对应的。 22)(arg)(ARG kzXzX )(ARGzX 2 2,( 5.4 复倒谱复倒谱 若令若令则可解决复对数的多值性问题。则可解决复对数的多值性问题。)(ARG| )(|ln)(zXjzXzX 的的关关系系：与与)(ARG)(argkxkx5.4 复倒谱复倒谱n复对数的解析性复对数的解析性 i) 如果如果 是稳定和因果的，是稳定和因果的， 那么那么要求要求 在单位圆上收敛。在单位圆上收敛。 ii) 要求要求 在收敛域内是解析的，则要在收敛域内是解析的，则要求求 在单位圆上连续
21、、可微分，变换在单位圆上连续、可微分，变换唯一。唯一。)(ln)(),(zXzXzX )( ),(nxnx)(zX)(zX5.4 复倒谱复倒谱 iii) ARGX(z)不能保证在单位圆上连续。不能保证在单位圆上连续。因此需对复对数的定义做进一步修改因此需对复对数的定义做进一步修改:其中其中即通过加入修正项即通过加入修正项消除消除ARGX(z)的不连续性。的不连续性。)(| )(|ln)(zXjAnglezXzX )()(ARG)(kCORzXzXAngle )(kCOR5.5 复倒谱的计算复倒谱的计算n 5.5.1 按定义计算按定义计算n 5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱
22、的计算n 5.5.3 复对数求导数法计算复倒谱复对数求导数法计算复倒谱(自学自学)n 5.5.4 递推计算方法递推计算方法(自学自学) 5.5.1 按定义计算按定义计算n1. 引入引入n如果输入序列如果输入序列x(n)的的Z变换变换X(z)的收敛域包的收敛域包含单位圆，则含单位圆，则x(n)的付氏变换的付氏变换 存在。存在。n可以在单位圆上计算复倒谱，即用序列付可以在单位圆上计算复倒谱，即用序列付氏变换氏变换(SFT)代替代替Z变换计算复倒谱。变换计算复倒谱。n在数字实现时，用在数字实现时，用DFT实现序列付氏变换。实现序列付氏变换。)( jeX 5.5.1 按定义计算按定义计算n按定义计算流
23、程：按定义计算流程： 其中其中k为归一化数字频率。为归一化数字频率。DFTlnIDFT)( nxp)(nx)(kX)(kX 5.5.1 按定义计算按定义计算n2. 说明说明n设设x(n)是是N点的时间序列，点的时间序列，X(k)为其为其N点点DFT，则，则X(k)的复对数仍是的复对数仍是N点序列。点序列。n 由于由于 是是在一个周期在一个周期内的内的N个等间隔频率点上的样值，个等间隔频率点上的样值， 不是真正不是真正的复倒谱，而是复倒谱的复倒谱，而是复倒谱 经过以经过以N为周为周期进行延拓的结果。期进行延拓的结果。)( nxp)( nx)( jeX),( )(kX 5.5.1 按定义计算按定义
24、计算n一般是无限长序列，因此各周期延拓一般是无限长序列，因此各周期延拓之间一定存在混叠。之间一定存在混叠。n由于由于的主要能量集中在低时段，当的主要能量集中在低时段，当N足够大时，混叠的影响可忽略。足够大时，混叠的影响可忽略。)( nx)( nx 5.5.1 按定义计算按定义计算n3. 复对数多值性问题的解决复对数多值性问题的解决n要求：要求：既唯一又连续。既唯一又连续。n解决方法：相位展开解决方法：相位展开在不连续的主值相位上叠加一个校正相位在不连续的主值相位上叠加一个校正相位来得到连续的瞬时相位，即来得到连续的瞬时相位，即)()()(kjXkXkXir 设设 )()()(kXjkXkXir
25、 )()(ln21| )(|ln)(22kXkXkXkXirr )()(kXAnglekXi )(kXi)()()(kCORkXARGkXAngle 5.5.1 按定义计算按定义计算 主值相位的计算主值相位的计算 校正相位的确定校正相位的确定 当当k=0， 当当k=1,2,.00)()()(arctg)()()(arctg)(ARGkXkXkXkXkXkXkXrrirri |)1()(| if) 1()1()( if2) 1()1()( if2) 1()(kXARGkXARGkCORkXARGkXARGkCORkXARGkXARGkCORkCOR0)0( COR 5.5.1 按定义计算按定义计
26、算n示例：示例：连续相位连续相位/相位主值相位主值/相位校正相位校正/0102030405060-20240102030405060-1010102030405060-202 5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n1. 几个有用的结论几个有用的结论设设x(n)为最小相位序列，则为最小相位序列，则ni) 可由它的偶序列完全恢复出，可由它的偶序列完全恢复出， 在在 处的值可由它的奇序列恢复出。处的值可由它的奇序列恢复出。 说明：设说明：设与与分别表示分别表示的的共轭偶部与共轭奇部，则共轭偶部与共轭奇部，则)( nx)( nx0 n22)()( )()()( )(*nxnxn
27、xnxnxnxoe)( nxe)( nxo)()()( nxnxnxoe )( nx5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算由于由于x(n)为最小相位序列，为最小相位序列，为因果序为因果序列。因此列。因此 当当n0时，时， 当当n=0时，时， 当当n0时，时，)( nx22)( )()( )(nxnxnxnxoe0)( nx00)()( )(nxxnxoe5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算综上得综上得其中其中)()(000)(0)(2)( nUnxnnnxnnxnxeee )()0( )()(000)0( 0)(2)( nxnUnxnnxnnxnx
28、oo 000102)(nnnnU5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n ii) 付氏变换为实数，等于付氏变换为实数，等于 付氏付氏变换的实部。变换的实部。 的付氏变换为虚数，等的付氏变换为虚数，等于于 付氏变换的虚部。付氏变换的虚部。 niii) 与与 是一对付氏变换。是一对付氏变换。 说明只需说明只需 就可以计算出就可以计算出。)( nxe)( nx)( nx)( nxo| )(|ln jeX)( nxe)( jeX)( nx)(arg)(ln)(ln)( FTjjjeXjeXeXnxS5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n2. 最小相位序列复
29、倒谱的计算流程最小相位序列复倒谱的计算流程n3. 的确定的确定nn=0时，时，当当N足够大时，将足够大时，将忽略，得到忽略，得到。DFTln|IDFT)( nx)(nx)(kX)(kXr)(nU )(nxe)(nU )()()0()(NxNxxnxeeee)2(),2(),(),(NxNxNxNxeeee )0()(eexnx 5.5.2最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算nn=N/2时时由于由于，并忽略其它项，并忽略其它项，得到得到。n时时忽略忽略，得，得 )2/3()2/()2/()(NxNxNxnxeeee)2/()2/(NxNxee )2/(2)2/(NxNxee 2/1N
30、n )()()()(NnxNnxnxnxeeee)(),(NnxNnxee )()(nxnxee 5.5.2最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n时时由于混叠严重，故令由于混叠严重，故令12/ NnN )()()()()()()(NnxnNxnxNnxNnxnxnxeeeeeee0)( nxe5.5.2最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n综上，综上， 2/02/)2/(22/1)(0)()(NnNnNxNnnxnnxnxeeee 000)(0)(2)( nnnxnnxnxee)()(12/02/, 0)(2/1)(2)( nUnxNnNNnnxNnnxnxeee 12/02/, 012/12)(NnNNnNnnU
