1、3向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2 空间向量基本定理墙墙地面下图是一个房间的示意图 ,我们来探讨表示电灯位置的方法.z134x4y15OA(4,5,3)的坐标怎么表示？向量OA2 3 421231.掌握空间向量的标准正交分解与及其坐标表示 .(重点)2.理解空间向量基本定理及其应用 .（重点）3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量唯一表示，并能用给定的基底表示空间向量 .探究点探究点1 1 空间向量的标准正交分解空间向量的标准正交分解思考 ：我们学习过平面向量的标准正交分解，我们学习过平面向量的标准正交分解，空间向量应该怎样分解呢？x
2、zyBAODCPi?k?j?a?a?i, j,kxyzaOPa.r r ruu u rrr如图，在给定空间直角坐标系中，令分别为空间直角坐标系中 轴，轴， 轴正方向上的单位向量，设是空间任意向量，作?过点P作坐标平面yOz，xOz，xOy的平行平面，分别交x轴，y轴，z轴于A，B，C三点.,.kzj yi xOPkzOCj yOBzyi xOAxiOAOCOBOADPADOAOP?所以，使得和同理，存在唯一实数，使得唯一实数性质，存在共线，根据向量共线的与因为根据向量加法运算，有探究点2 空间向量的坐标表示?i, j,kxyzax,y,z ,axiyjzk.axiyjzkai, j,k.r r
3、 rrrrrrrrrr r rrr在给定的空间直角坐标系中，令分别为空间直角坐标系中轴， 轴， 轴正方向上的单位向量，设 是空间任意向量，存在唯一一组三元有序实数使得我们把叫作 的标准正交分解，把叫作标准正交基?x, y,zaax, y,z .ax, y,za.rrrr 叫作空间向量 的坐标，记作 叫作向量 的坐标表示?1.ABCDA B C D ,AB2BC3AA5.1CACi, j,k2AD.uuu rr r ruuu u r例 如图，在直角坐标系中有长方体且，（ ）写出点的坐标，给出关于的分解式；（ ）求的坐标? ? ? ?.5 , 0 , 35 , 0 , 325235 , 2 , 3
4、5 , 2 , 3532) 1 (）（所以），的坐标为（）因为点（；）（从而），的坐标为（所以点，因为?DADkjiCACAABCAB?解:DBACD?C?A ?B?xzy提示：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影 .00bba ba cos a,bab.rrrrrrrrr一般地，若为 的单位向量，称为向量 在向量 上的投影?问题问题1 1：空间向量的坐标与它的投影有什么关系？空间向量的坐标与它的投影有什么关系？问题2：向量可以平移，向量向量可以平移，向量在坐标系中的坐标唯一吗？在坐标系中的坐标唯一吗？提示：唯一.在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变.问题3：建立以
5、O O为原点的空间直角坐标系后，向量为原点的空间直角坐标系后，向量的坐标与点P P的坐标有什么关系？这种关系的建立有什么优点？的坐标有什么关系？这种关系的建立有什么优点？提示：在以O为原点的空间直角坐标系中，向量的坐标（x,y,z) 与其终点P的坐标相同，这样就实现了空间基底到空间坐标系的转换.用坐标表示空间向量，可以把空间向量坐标化，然后再通过计算解决问题，为解决空间向量问题提供了新的思路. prOPu u u r2.ABCDA B C D.1CACB2CABC.uuuu ruuu ruuuu ruuu r例 如图，已知单位正方体求：（ ）向量在上的投影；（ ）向量在上的投影? ? ? ?1
6、CACBCA cosA CBCB1;2CABCCA cos- ACB- CB-1.uuu u ruuu ruuu u ruuu ruuu u ruuu ruuu u ruuu r（ ）向量在上的投影为（ ）向量在上的投影为（）? ?ACDBD?C?A ?B?解:探究点探究点3 3 空间向量基本定理空间向量基本定理思考：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？, a bpxyzOirjrkrQPpu r.OP OQ zk?.OQxiyj?.OP OQ zkxiyjzk?由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对
7、空间任一向量，存在一个有序实数组（x,y,z）使得我们称为向量在上的分向量., ,i j kp.pxiyjzk?,xi yj zk, ,i j kp问题：问题：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出什么结论？, ,a b c, ,i j k空间中任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底.空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量在空间中不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组 (x,y,z)，使a,b,cr r rp.pxayb zc?都叫作基向量, ,a b c（1）任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底 .特别提示：特别提示：对于基底除了应知
8、道不共面，还应明确：（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念 .a,b,c,r r ra,b,c,r r r（2）由于与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是.00推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面. .OPxOA yOB zOC?.,. 3MNcbacAAbADaABBCNDCBAMDCBAABCD表示试用如果中点的是棱的对角线的交点，平行四边形是中，如图，在平行六面体例?CBADADCBN
9、Mcrarbr.-2121-)(21,21-21,-),(212121,cabcbaMNbCBCNcCCbaACCACMCNCCCMMN?所以而因为解:1.已知已知是不共面的三个向量，则能构成是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是 ( )A.B.C.D.,a b cr r r2 ,2a ab ab?r rr rr2 ,2b ba ba?r rr rr,2 ,ab bc?rr rr,c ac ac?r rr rrC2.以下四个命题中正确的是 ()A空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示B若为空间的一个基底，则全不是零向量C若向量，则与任何一个向量都不能构成空间的一个基底D任何三个不共
10、线的向量都可构成空间的一个基底,a b cr r r,abcrrrab?rr,abrr答案：B 解析：由空间向量基本定理知，空间中任何一个向基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基选项判断原因分析A量必须由不共面的三个向量才能表示B基向量不共面，因此不可能有零向量C底中三个基向量两两垂直D基底的构成必须是三个不共面的向量3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出的坐标.解析：分别取BC，B1C1的中点D，D1,以D为原点，分别以的方向为x轴,y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，1111AA ,AB ,A Cuuuu r
11、 uuuu r uuuur1DC DA DDuuu r uuu r uuuu r， ，设标准正交基为又因为所以i, j,k,r r r113DC=DA=DD =2,22，113DC=i,DA=j,DD2k,22?uuu rr uuu rr uuuu rr11AADD2k,?uuuu ruuuu rr111ABABBBADDBBB?uuu u ruuu ruuu u ruuu ruuu ruuu u r113DADCDDij2k,22? ? ?uuu ruuu ruuuu rrrr1113A CACADDCDADCij,22? ?uuuuruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rrr1113AA(0,0,2),AB(,2),22? ?uuuu ruuuu r1113A C( ,0).22?uuuu r回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？（1 1）空间向量的标准正交分解与坐标表示）空间向量的标准正交分解与坐标表示 .(2）空间向量投影.（3)3)空间向量基本定理空间向量基本定理.不用相当的功夫，不论在哪个严重的问题上都不能找出真理；谁怕用功夫，谁就无法找到真理。
