1、第三章第三章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第第1,21,2小节小节 微分方程与传递函数微分方程与传递函数一、微分方程一、微分方程 数学模型是用来描述系统中各种信号数学模型是用来描述系统中各种信号( (或变或变 量量) )的传递和转换关系的。的传递和转换关系的。3 分析和设计任何一个控制系统，首要任务分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。是建立系统的数学模型。 输入输入- -输出模型输出模型 着重描述的是系统输入量和输出量之间的数学关系 状态空间模型状态空间模型 着重描述的是系统输入量与内部状态之间以及内部状态和输出量之间的关系 建立数学模型的方法主要有机理法机理法和
2、实实验法验法(系统辨识)建模方法：建模方法：机理法机理法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。 对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。 实验法实验法( (系统辨识系统辨识) )机理建模步骤机理建模步骤(1) 建立物理模型。必要的简化和假设(2) 列写原始方程。根据系统内在规律(牛 顿运动学，能量守恒、物料守恒等)建立各物理量之间的数学关系 (3) 选定系统的输入-输出变量及状态变量 消去中间变量，建立模型，RLCRLC电路系统的数学模型电路系统的数学模型
3、)()()()(22tutudttduRCdttudLCrcccdttduCtic)()( )( )( )( )rcd i tutLR i tutd t)()()(22tudttduRCdttudLCccc例例2.1 2.1 带阻尼的质量弹簧系带阻尼的质量弹簧系统如图所示，当外力统如图所示，当外力F(t)F(t)作作用于系统时，系统将产生运用于系统时，系统将产生运动，试写出外力动，试写出外力F(t)F(t)与质量与质量块的位移块的位移x(t)x(t)之间的动态方之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为程。其中弹簧的弹性系数为k k，阻尼器的阻尼系数为，阻尼器的阻尼系数为f f，质量块的质量为质量块
4、的质量为m m。机械系统的数学模型机械系统的数学模型分析质量块分析质量块M M受力，有受力，有: :(1)(1)外力外力F F(2)(2)弹簧恢复力弹簧恢复力kx(t)kx(t)(3)(3)阻尼力阻尼力 (4)(4)惯性力惯性力 dtdxf22dtxdM F F克服弹簧恢复力和阻尼力，使克服弹簧恢复力和阻尼力，使M M向下运动，向下运动，产生加速度产生加速度固定端固定端与变形长度相关与变形速度相关式中：式中：x x 为为M M的位移的位移(m)(m)； f f 为阻尼系为阻尼系(Ns/m);(Ns/m); k k 为弹性系数为弹性系数(N/m)(N/m)。由于由于M M受力平衡，所以受力平衡，
5、所以0iFFkxdtdxfdtxdM 22二、传递函数二、传递函数线性系统的输入线性系统的输入- -输出关系：输出关系：)()()()(tubdttdubtyadttdya0101 方程两端进行拉氏变换：方程两端进行拉氏变换：)()0()()()0()(0101sUbussUbsYayssYa 在零初始条件下：在零初始条件下：)()(0101bsbsUasasY )()()(sGasabsbsUsY 010112 线性定常系统在输入、输出零初始条件线性定常系统在输入、输出零初始条件的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。换之比，
6、称为该系统的传递函数。1.1.传递函数的定义传递函数的定义11101110( )( )( )( )( )mmmmnnnnL y tY sb sbsbsbG sL u tU sa sasa sa1110111101( )( )( ).( )( )( )( ).( )nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd u tdu tdu tbbbb u tdtdtdt2.2.传递函数与微分方程之间存在转换关系：传递函数与微分方程之间存在转换关系：11101110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma s Y sa s Y sasY saY
7、sb s U sb sU sbsU sbU s例：已知直流电动机以电枢电压例：已知直流电动机以电枢电压 为输为输入量，以角速度入量，以角速度 为输出量的微分方程：为输出量的微分方程：其中，其中， 为已知的定常参数，求相为已知的定常参数，求相应的传递函数。应的传递函数。)(tua)(t)(1)()()(22tuCtdttdTdttdTTaemmaemaCTT，解：将微分方程两边各项取拉氏变换：解：将微分方程两边各项取拉氏变换：)(1)()()(2tUCsssTssTTaemma11)()()(2sTsTTCtUssGmmaea电动机的传递函数为：电动机的传递函数为：3.3.传递函数的因式分解形式
8、传递函数的因式分解形式( (零极点形式零极点形式) )121121()()()()( )()()()()mimmignnnjjszbszszszG sKaspspspspK Kg g ：传递函数的：传递函数的增益- zi(i=- zi(i=1,1,2 2, ,m,m) ): :传递函数的传递函数的零点-pj(j=1,2,pj(j=1,2,n) ): :传递函数的传递函数的极点 (n m)系统的闭环特征方程，闭环特征方程，即令分母多项式等于零： 以电动机系统的闭环传递函数为例，认识以电动机系统的闭环传递函数为例，认识传递函数中的一些术语：传递函数中的一些术语：11)()()(2sTsTTCtUs
9、sGmmaea012sTsTTmma2n系统的最高阶次，最高阶次，是特征方程的最高阶次，系统的闭环极点，闭环极点，也称为特征根，特征根，是闭环特征方程的解：系统的闭环零点，闭环零点，是分子多项式等于零时的解。mamammTTTTTTp2422,119三、传递函数的性质三、传递函数的性质1 1、传递函数仅适用于线性定常系统；、传递函数仅适用于线性定常系统；2 2、传递函数是系统的数学模型，描述输入变、传递函数是系统的数学模型，描述输入变 量和输出变量之间的动态变化关系，不同量和输出变量之间的动态变化关系，不同 的物理系统可以具有相同的传递函数；的物理系统可以具有相同的传递函数；3 3、传递函数表
10、征系统本身的一种属性，表示、传递函数表征系统本身的一种属性，表示 输入与输出之间的一种函数关系，它与输输入与输出之间的一种函数关系，它与输 入信号的大小和性质无关；入信号的大小和性质无关；4 4、传递函数是关于复变量、传递函数是关于复变量s s的有理真分式，的有理真分式， 它的分子，分母的阶次是它的分子，分母的阶次是n mn m5.5.传递函数为系统的单位脉冲响应函数的拉普拉斯变换。1 )()(tLsU系统的单位脉冲响应为：)()()(sUsGsY )()(sGsY 传递函数的拉氏反变换为该系统的单位脉冲响应函数)()(sGLtg1 系统的单位阶跃响应为：ssGsUsGsY)()()()( )
11、1( )1UsLts四、基本四、基本RLCRLC网络的复阻抗网络的复阻抗 电阻、电容、电感与电压、电流之间满足广义的欧姆定律。RLC:时域:拉式变换:复阻抗:例：列写RC网络的传递函数.将复阻抗1/sC代替电容C，输入输出函数变为复函数)1(1sC)1 (2sC)(sUi)(sUo. .将复阻抗将复阻抗1/sC1/sC代替电容代替电容C C ，输入输出函数变，输入输出函数变 为复函数为复函数)1(1sC)1 (2sC)(sUi)(sUo21212122211212121)(sCRCCsRCRCRCsRRCCs1111111111RsCRRsCRsC2211111sCRRsCR. .利用欧姆定理
12、：利用欧姆定理： 1/sC11/sC1与与R1R1并联，而后再与并联，而后再与R2R2和和1/sC21/sC2串联，串联， 求得输入端的总阻抗求得输入端的总阻抗. .将复阻抗将复阻抗1/sC1/sC代替电容代替电容C C ，输入输出函数变为，输入输出函数变为 复函数复函数)1(1sC)1 (2sC)(sUi)(sUo)(11)()(221222112121221212sUsCRRCRCRCsRRCCssCRCCssUio. .利用欧姆定理：利用欧姆定理： 1/sC1 1/sC1与与R1R1并联，而后再与并联，而后再与R2R2和和1/sC21/sC2串联，串联，求得输入端的总阻抗求得输入端的总阻
13、抗R2R2和和1/sC21/sC2对对Ui(s)Ui(s)进行进行分压，得到输出分压，得到输出Uo(s)Uo(s)化简，并写成输出/输入的形式：1)(1)()()(12221121212221121212RCRCRCsRRCCsRCRCsRRCCssUsUio关于并联电路阻抗的计算：关于并联电路阻抗的计算：111111RsCRsC1111RsC R11RsLRsL1.1.阻抗替换：阻抗替换：sLsC1 2.2.1/sC1/sC与与R R并联：并联：111sCRRRsCRsC例: 3.3.输入端总阻抗：输入端总阻抗：1sCRRsL 4.4.输出端分压：输出端分压：)(111)(sUsCRRsCRRsLsUioRsLLCRsRsUsUsGio2)()()( 5.5.传递函数：传递函数：
