1、第七章第七章 Z Z变换变换 Z Z域分析域分析 7.1 7.1 引言引言 7.2 Z7.2 Z变换定义变换定义 典型序列的典型序列的Z Z变换变换7.3 Z7.3 Z变换的收敛域变换的收敛域7.4 7.4 逆逆Z Z变换变换7.5 Z7.5 Z变换的基本性质变换的基本性质7.6 Z7.6 Z变换与拉普拉斯变换关系变换与拉普拉斯变换关系7.7 7.7 利用利用Z Z变换解差分方程变换解差分方程7.8 7.8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数7.1 7.1 引言引言补充：补充：幂级数幂级数 幂级数和函数在收敛区间内可逐项求导，可逐项积幂级数幂级数和函数在收敛区间内可逐项求导，可逐项积幂级数在
2、收敛域内解析、处处可导等比几何级数求值表在收敛域内解析、处处可导等比几何级数求值表是幂级数的系数iNNaxaxaxaa221011111. 121022anaaaannnn1111. 21211221annaaaaannnnnn111. 30aaann11. 41aaaann11. 511aaaannnn 7.2 Z7.2 Z变换定义变换定义 典型序列的典型序列的Z Z变换变换一一. Z. Z变换定义变换定义 1.1.由抽样信号引出由抽样信号引出Z Z变换变换 0)()()()()()(nTsnTtnTxttxtxtx冲激，抽样对上式取拉氏变换对上式取拉氏变换dtetxtxstss0)()(d
3、tenTtnTxstn 00 )()( nnnnznxzxzxxznxzxzxxznxzx)()(2() 1 ()0()()2() 1 ()0()()(1211210说明说明：（：（1 1）序列的）序列的Z Z变换是复变量变换是复变量Z Z-1-1的幂级数的幂级数 （2 2）幂级数的系数是序列）幂级数的系数是序列x(nx(n) )的样值的样值 （3 3）只有当幂级数收敛时和存在时，）只有当幂级数收敛时和存在时，Z Z变换存在变换存在0)()()(nnznxnxZzxnnznxnxZzx)()()(2.2.单边单边Z Z变换变换双边双边Z Z变换变换 1)()(0nnznnZ10011)()(z
4、zznunuZnnnn11z1z200) 1()()(zznzznnunnuZnnnn1z二二. . 典型序列的典型序列的Z Z变换变换 2. 2. 3. 3. 1. 1. 1011zznn1z2121011)1(1)1()1()(zzznnn221101) 1()1 ()(zzzzznnn 对对z z-1-1逐项求导逐项求导两边再乘两边再乘z z-1-1azzznuanuaZnnnn0)()(azza即14.4. 7.3 Z7.3 Z变换的收敛域变换的收敛域收敛域：收敛域：只有当级数收敛时，只有当级数收敛时，Z Z变换才有意义对于任意变换才有意义对于任意 给定的有界序列给定的有界序列x(nx
5、(n) )，使，使Z Z变换定义式变换定义式nnznx)( 级数收敛的所有级数收敛的所有Z Z值集合，即值集合，即Z Z满足什么条件和满足什么条件和 式收敛，即为收敛域式收敛，即为收敛域一一. .判定级数收敛方法判定级数收敛方法 nnznxnxZ)()(nnznx)(nna1.1.收敛充要条件：收敛充要条件：2.2.比值判定法：比值判定法： 若有一个正项级数若有一个正项级数正项级数满足绝对可和正项级数满足绝对可和 可能收敛、可能发散发散收敛111lim1nnnaa3.3.根值判定法：根值判定法： 若正项级数若正项级数nna 的的n n次根的极限等于次根的极限等于可能收敛、可能发散发散收敛111
6、limnnna令它的后项与前相比值的极限等于令它的后项与前相比值的极限等于二二. .典型序列的收敛域典型序列的收敛域 其它00)(21nnnnx)1()()()(21nnnnnnznxznxzx1.1.有限长序列：有限长序列： 0021nn）式（2100)()(1nnnnnnznxznxzazznxnnn）式要求（有限项和肯定只要其中01)(0)()(2200zbzznxznxnnnnnn）式要求（有限项和肯定只要 0021nn21)()(nnnnzzxzxzz0021nn21)()(nnnnzzxzx0z0z n n都取负值，变成都取负值，变成z z的正幂，只要的正幂，只要有限和收敛有限和收
7、敛 z z的负幂，只要的负幂，只要有限和收敛有限和收敛 包括包括包括包括z=0z=0总结：对于有限长序列，收敛域为除0、的整个平面不包括不包括一正一负）（不包括包括都为负）（不包括包括都为正0,0,0,212121nnnnnn1100)(nnnnnx1)()()(nnnznxnxZzx1)(limnnnznx1)(limxnnRnxz1xR1n2.2.右边序列右边序列 有起点无终点有起点无终点由根值判别法由根值判别法 时级数收敛右边序列的收敛半径为半径为时级数收敛右边序列的收敛半径为半径为的圆外部分是否包括的圆外部分是否包括和和的取值有关的取值有关无穷级数，由级数判定法来判收敛无穷级数，由级数
8、判定法来判收敛01n1)(nnnznx1xRz 01n00)()(1nnnnnznxznxz zRx11xRz z z的负幂次的负幂次 收敛域包括收敛域包括 因果序列因果序列 因果序列特点：因果序列特点： （包括（包括）圆外部分）圆外部分1100)(nnnnnx2)()(nnnznxzx22)()()(nmnnmnmmznxzmxzx1)(limnnnznx2)(lim1xnnRnxz2xR2n2222000 xxRznRzn3. 3. 左边序列左边序列 无始有终信号无始有终信号转化成右边序列求，令转化成右边序列求，令m=-nm=-n根值判别法：根值判别法：左边序列的收敛半径为半径为左边序列的
9、收敛半径为半径为的圆内部分是否包括的圆内部分是否包括0 0和和的取值有关的取值有关包括包括0 001)()()()(nnnnnnznxznxznxzx2xRz 2xRz21xxRR 若21xxRzR4.4.双边序列双边序列 左边 右边 则例：例：求序列求序列 ) 1()()(nubnuanxnn 的单边、双边的单边、双边Z Z变换变换 ba, b0,a0ba, b0,a0azzzaznubnuaznxzxnnnnnnnnn010)1()()()(1zaaz 1zaaz 1bzbz bza解：解：1. 1. 单边单边Z Z变换变换 2. 双边Z变换 bzzazzbzzzazbzazbzaznub
10、nuaznxzxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111)1()()()(1010结论：（结论：（1 1）通常收敛域以极点为边界，且收敛域内无极点）通常收敛域以极点为边界，且收敛域内无极点 （2 2）根据）根据x(nx(n) )是左边、右边、还是双边序列，直接是左边、右边、还是双边序列，直接 写出收敛域形式写出收敛域形式7.4 7.4 逆逆Z Z变换变换dzzzxzxZnxcn11)(21)()(1)(nzzx一一. . 逆逆Z Z变换定义变换定义C C是包围是包围 所有极点的逆时针闭合积分路线，所有极点的逆时针闭合积分路线，二二. .求逆变换方法求逆变换方法 1. 1.留数法（围线积分）留
11、数法（围线积分） 2.2.部分分式展开法部分分式展开法 经查表求出逐项的逆变换再取和经查表求出逐项的逆变换再取和 3.3.长除法长除法 x(zx(z) )展开幂级数得到展开幂级数得到x(nx(n) )通常选择通常选择Z Z平面收敛域内以圆点为中心的圆。平面收敛域内以圆点为中心的圆。（一）留数法（一）留数法 留数定理：留数定理：设函数设函数f(zf(z) )在区域在区域D D内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点nzzz,21外，处处解析（可导），外，处处解析（可导），C C为为D D内包围诸奇点一内包围诸奇点一niiczzfsjdzzf1),(Re2)(miinmiincnzzzxszzzxsj
12、jdzzzxjnx11111,)(Re,)(Re221)(21)(注注 ：区域区域D D：指收敛域指收敛域 围线围线C C：在收敛域内以圆点为中心的圆在收敛域内以圆点为中心的圆极点的个数极点的个数：围线围线C C所包含的极点个数所包含的极点个数 极点是极点是 这个函数的极点这个函数的极点1)(nzzx一条简单闭曲线，则有一条简单闭曲线，则有iz1)(nzzx1)(nzzx)(zx1nz0zizizzniinzzxzzzzzxs)()(,)(Re11izizznkikkinzzxzzdzdkzzzxs)()()!1(1,)(Re1111说明：1.为2.m为极点个数 的极点既分母为零的点，由两部分
13、构成，的极点及提供n的取值不同，z=0处是否有极点及阶次将不同若为一阶极点：则若为k阶极点：则极点处极点（当n-11时 （1）先求围线内所包含的极点个数x(z)zn-1 0Re5 . 0Re 1 Re,)(Re)(11ssszzzxsnxmiin1n2n3n（2）利用公式求x(n) nznznzzzzzzzzssnx)5 . 0(2)5 . 0)(1()5 . 0()5 . 0)(1() 1(5 . 0Re 1 Re)(5 . 01110)5 . 0)(1()5 . 0(20Re5 . 0Re 1 Re)2()(012znzzzzsssxnx0)5 . 0)(1()!12(1)5 . 0(2)
14、3()(0123znzzzzdzdxnx因果序列右边序列)() 5 . 0(2) 1() 5 . 0(21) 5 . 0(2)(nununnxnnn0.5z二阶极点一阶极点无极点030201znznzn15 . 0 z3. 收敛域（1）先求围线内所包含的 极点个数 （2）收敛域时 自己分析时总结：步骤：（1）f(z)=x(z)zn-1（2）求x(z)zn-1的所有极点（3）在x(z)的收敛域内画围线，确定包含那些极点（4）求所包含极点处的留数（二）幂级数展开法（长除法） x(z)的Z变换就是z-1的幂级数, 幂级数系数就是x(n) 只要把x(z)展成z-1的幂级数,则系数就是逆变换x(n)nn
15、nznxzxzxzxxznxzx)()(3()(2() 1 ()0()()(131211方法：)()()(zNzDzX（1）x(z)收敛域 |z|Rx2 右边序列 N(z)D(z)按Z的降幂排列（2）x(z)收敛域 |z|Rx1 左边序列 N(z)D(z)按Z的升幂排列用分子多项式除以分母多项式2112121)(zzzzx例：)(1nXz的逆变换3212121185212122121)(zzzzzzzzzzx解： |z|R为保证z=处收敛，则要求分母多项式的阶次不低于分子多项式的阶次 kr1.x(z)只有一阶极点kmmmkmmmzzzAzxzzAzzx00)()(则kmmmkmmmzzzAzx
16、zzAzzx00)()(则的留数是的极点，是式中mmmzAzzxz)(mzzmmmzzxzzzzzxsA)()(,)(Re kizzzNzx)()()(kikiiikkikizzAzzAzzAzzAzzAzzAzzx)()()()()(221121izzkijkjkjzzxzzdzdjkA)()()!(12.x(z)中含有高阶k阶极点 j=1.2.k1)(5 .05 .1)(22的逆变换例：求znxzzzzx)5 . 0)(1()(2zzzzx5 . 01)5 . 0)(1()(21zkzkzzzzzx25 . 0)() 1(111zzzzzzxzk11)()5 . 0(5 . 05 . 02
17、zzzzzzxzk5 . 012)(zzzzzx)5 . 0112)(zzzzx)()5 . 0(2)(nunxn1z解： 注意:收敛域不同，对应逆变换将不同 x(n)是因果序列例：画出2523)(2zzzzx哪种情况对应左边序列、右边序列、双边序列，并求各自对应序列。 的零极点图，在下列三种收敛域内，2) 1 (z5 . 0)2(z25 . 0) 3( z)21)(2(232523)(2zzzzzzzx212)(21zkzkzzx12123)()2(221zzzzzzxzk1223)()21(21212zzzzzzxzk21121)(zzzzx212)(zzzzzx解：)()21(2)(nu
18、nxnn) 1()21(2)(nunxnn25 .0 z) 1(2)()21()(nununxnn（1）|z|2右边序列 因果序列（包括） （2）|z|0.5 左边序列 （3）7.5 Z7.5 Z变换的基本性质变换的基本性质)()()()()()()()(2121zbYzaXnbynaxRzRzYnyRzRzXnxyyxx则21RzR、线性、线性 注：注：相加后相加后Z Z变换收敛域一般为两个收敛域的重叠部分变换收敛域一般为两个收敛域的重叠部分),min(),max(222111yxyxRRRzRRR 若在这些线性组合中某些零点、极点相抵消，则收敛域若在这些线性组合中某些零点、极点相抵消，则收
19、敛域 就可能扩大就可能扩大 对所有对所有Z Z变换的性质，均需注意其变换后收敛域变化变换的性质，均需注意其变换后收敛域变化 )1()(变换的例：求Znuanuannazznuan)(az azzznuanuannnn1) 1() 1(az 1) 1()(azaazznuanuann解：解： 收敛域为全Z平面（扩大） )()(zXnx)()(zXzmnxm)()(zXzmnxm 移位性表示序列移位后的Z变换与原序列Z变换关系（1）双边Z变换 二、移位性)()()(zXnunx)()()()(10mkkmzkxzXznumnx（2）单边Z变换 若 x(n) 为双边序列 移出m个值，就要减去这k个值
20、的Z变换 若x(n)为因果序列 )()(zXzmnxm 移入m个值，但移入的m个值都是0， x(n) 为因果序列 )()()()(10mkkmzkxzXznumnx移出m个值三.序列线性加权（Z域微分）)()(zXnx)()(zXdzdznnx则)()(zXdzdznxnmmmdzdz)(zxdzdzdzdzdzdzdzdz其中表示共求导m次四四. .序列指数加权（序列指数加权（Z Z域尺度变换）域尺度变换） )()(zXnx21xxRzR)()(azXnxan则21xxRazR )()(zXnx因果序列)(lim)0( zXxz则五五. .初值定理初值定理 )()(zXnx因果序列)() 1
21、(lim)()(lim1zxzxnxzz则六六. .终值定理终值定理 注意：注意：x(nx(n) )序列的终值要存在，即当序列的终值要存在，即当n x(nn x(n) )收敛收敛x(zx(z) )的极点必须处在单位圆内，稳定在单位圆上只能位于的极点必须处在单位圆内，稳定在单位圆上只能位于z=z=1 1点且是一阶极点，临界稳定点且是一阶极点，临界稳定七七. .时域卷积时域卷积)()(zXnx21xxRzR)()(zHnh21xxRzR)()()()(zHzXnhnx则)()(zXnx21xxRzR)()(zHnh21hhRzR1111)()(21)()(21)()( ccdvvvzHvXjdvv
22、vHvzXjnhnx则八.序列相乘（Z域卷积） 注：（1）1C2C)(vzx)(vH)(vx)(vzH分别为与或与（2）计算围线积分可应用留数定理收敛与重叠部分内逆时针旋转的围线7.6 Z7.6 Z变换与拉普拉斯变换关系变换与拉普拉斯变换关系nnTsnTtnTxnTttxttxtxtx)()()()()()()()(nsnTstnsenTxdtenTtnTxsx)( )()()(nnezznxzXsT)()(、Z Z平面与平面与S S平面映射关系平面映射关系 jsTsezzsT则ln1jjsTeeez)( 22sTTees则 （两坐标系的对应关系）（两坐标系的对应关系） 在讨论拉时变换时，若函
23、数极点落在S平面左半面、右半面、虚轴上，直接影响系统稳定性，因此分几个区来讨论1.S平面虚轴映射到Z平面上012se:2s:2s2s22ss)( 对应任意角变化一周足，在S平面上时结论：S平面虚轴映射到Z平面是单位圆，只要变化范围为即只从，对应至Z平面是单位圆， 时对应无数重叠圆变化一圈102se2)(s对应任意角 结论：结论：S S平面左半面对应平面左半面对应Z Z平面单位圆内部分平面单位圆内部分2 2、S S平面左半面映射到平面左半面映射到Z Z平面上平面上结论：结论：S S平面右半面对应平面右半面对应Z Z平面单位圆外部分平面单位圆外部分 3 3、S S平面右半面映射到平面右半面映射到Z
24、 Z平面上平面上0s02se02s4. S4. S平面实轴映射到平面实轴映射到Z Z平面平面上上结论：S平面实轴映射到Z平面是正实轴二、二、Z Z变换与拉氏变换表达式对应关系变换与拉氏变换表达式对应关系NiiipsAsXtx1)()(NiTpiTnTtzeAnxnTxtxnxi1111)()()()(astueat1)( 的拉氏变换例：已知变换的求：抽样序列ZnTueaaT)()()(tuetxat解：assX1)(111)(zezXaT7.77.7利用利用Z Z变换解差分方程变换解差分方程)() 1()()() 1()(1010mnxbnxbnxbNnyanyanyamNNrrNkkrnxa
25、knya00)()(线性时不变系统的差分方程一般形式：线性时不变系统的差分方程一般形式： （1）求差分方程方法：)()()()()()()(),(nhnxnynynynynynyzszszizszi求界条件求系数求齐次解、特解、代边时域经典法（2）Z变换求差分方程（1）(3)求)()(1zYZny一. Z变换求差分方程步骤： (1)对差分方程进行Z变换，差分方程变成代数方程 (2)解方程得Y(z)MrrmmkrNkkllkkzmxzXzbzlyzYza0101)()()()(MrrmmmrrrkrkllNkNkkkkkzmxzbzXzbzlyzazYza010100)()()()(Nkkkkl
26、lNkkrNkkkmrrrzazlyzazXzazbzY01000)()()(1.对（1）式进行Z变换 零状态零输入)() 1()(nxnbyny)()(nuanxn2) 1(y)() 1()()(1zXzyzYbzzY) 1()()()1 (1byzXzYbz2) 1()(1) 1(1)()(11yazzzXbzbybzzXzYbzbzbzazzzY2)()(2)()(21bzazzzYbzAazAzzY211)(baazzYazAaz)()(11babzzYbzAbz)()(12bzbzbzzbabazzbaazY2)(111212)(nnnnnnbbababbbbababaany1n二.
27、例：已知一LTI离散系统满足差分方程 求响应 解： 起始状态：进行Z变换时，方程中出现的各时刻的y(i)值即为起始状态)(ny例：已知一LTI离散系统满足差分方程 )()(1)2(2) 1(0)() 1()2()() 1(3)2(2nunxyynnxnxnxnynyny由Z域求系统零输入响应、零状态响应和完全响应)2() 1()()2() 1(3)(2nxnxnxnynyny)()()()2() 1()()1()( 3)(221121zXzzXzzXyzyzYzyzYzzY)(32132)2() 1() 1(3)(2121211zXzzzzzzyzyyzY112112115 . 015 . 0
28、13322532)2() 1() 1(3)(zzzzzzzyzyyzYzi)()5 . 0)(5 . 0() 1(3)()5 . 0() 1(3)()(111nunuzYZnynnnnzizi1111212121215 . 016515 . 016111321)(321)(zzzzzzzzzXzzzzzYzs)()5 . 0(65) 1(5 . 061)(nunynnzs)()5 . 0(34) 1(5 . 361)()()(nunynynynnzszi解：解：令令n=n-2n=n-2，对差分方程两边进行，对差分方程两边进行Z Z变换变换 零输入 零状态7.87.8离散系统的系统函数离散系统的
29、系统函数一一. .定义系统函数定义系统函数1. 变换激励变换系统零状态响应的ZzXzYzHZ)()()(2. H(z)=Zh(n) :系统单位样值响应h(n)的Z变换例：例：求求y(n)-ay(n-1)=bx(ny(n)-ay(n-1)=bx(n) )所描述系统的系统函数和单位样值响应。所描述系统的系统函数和单位样值响应。 )() 1()()(1zbXzyzYzazY) 1()()1)(1ayzbXazzYazbzazbzXzYzH11)()()()()()(1nubazHZnhn解：解： 二.系统函数对系统特性的影响 1.由极点分布决定系统单位样值响应 2.由极点分布决定系统稳定性 3.由零
30、点分布决定系统的频率特性1ip系统不稳定波形发散)(nh1ip系统稳定波形收敛)(nh1ip系统临界稳定等幅振荡)(nh三.由系统函数零极点分布确定单位样值响应 H(z)与h(n)是一个Z变换对，可以从H(z)的零极点分布 情况确定h(n)的特性 H(z)的极点决定h(n)的收敛域，影响系统的稳定性 H(z)的零点影响h(n)的幅度和相位 极点落在单位圆外， 极点落在单位圆内， 极点落在单位圆上，四.判断离散时间系统的稳定性、因果性az 收敛域 的系统是因果系统az 1. 因果性 （1）输入输出关系：输出不领先于输入（定义） Y(n)=x(n+1) 非因果 （2）由h(n)判断：h(n)=0
31、h0 （3）由H(z)的收敛域判断 因果序列的收敛域 包括在内定两类把系统分成稳定和不稳绝对可和充分必要条件：有界输入产生有界输出-)(:SISOnh不稳定平面单位圆外极点位于临界稳定平面单位圆上极点位于稳定平面单位圆内极点位于的极点位置判断由ZZZ)(zHnznnnhznhnhZzH)()()()(12. 2. 稳定性稳定性 （2） （3）H(z)的收敛域判定：收敛域包含单位圆在内系统稳定-)(nh令z=1要使系统稳定应有 也即稳定系统收敛域肯定包括单位圆在内 （1）-)(nh 则一定成立1z此时收敛域肯定包括 在内，收敛域的求法收敛域的求法: :1.1.根据典型序列：有限长、右边、左边、双
32、边序列先确定收敛域的一般形式根据典型序列：有限长、右边、左边、双边序列先确定收敛域的一般形式 双边左边右边、因果bzaazazz02.2.再由再由Z Z变换极点来确定变换极点来确定a a、b b值值 收敛域特点：以极点为边界，且在收敛域内不能包括极点收敛域特点：以极点为边界，且在收敛域内不能包括极点)2321)(2321() 1()(jzjzzzzH23211jp23212jp12, 1p解：解： 临界稳定21111)(zzzzH例：例：已知已知 判断是否稳定)10)(5 . 0(5 . 9)(zzzzH z10102z12z)()10()5 . 0()(11nunhnn105 . 0 z)
33、1()10()()5 . 0()(11nununhnn例：已知系统函数如下，试说明分别在（1），（2）两种情 况下系统的稳定性、因果性 z10 （1）105 . 0 z （2）解：1. 收敛域包含在内，是因果系统，右边序列 极点落在单位圆外，不稳定 2. 双边序列：非因果系统 系统稳定) 1()()2(24. 0) 1(2 . 0)(nxnxnynyny)()()(24. 0)(2 . 0)(121zXzzXzYzzYzzY)6 . 0)(4 . 0() 1(24. 02 . 011)()()(211zzzzzzzzXzYzH6 . 0z6 . 04 . 04 . 04 . 1)(zzzzzH
34、6 . 0z)()6 . 0(4 . 0)4 . 0(4 . 1 )(nunhnn6 . 015. 04 . 093. 0108. 2)6 . 0)(4 . 0)(1() 1()()()(2zzzzzzzzzzzzXzHzY例：差分方程表示的某离散系统 求：(1)H(z) (2)讨论H(z)的收敛域和稳定性 (3)求h(n)(4)当激励x(n)为单位阶跃序列时，x(n)=u(n)求yzs(n) 6 . 0z 对此因果系统的收敛域为包含时稳定因果系统 )()(nunx1)(zzzX1z(4) 则解：(1)4 . 01p6 . 02p(2)极点都在单位圆内，系统稳定(3)sin()(nAne0n五
35、.由H(s)的零极点决定离散时间系统的频率响应特性)sin()()(neHAnyjss则)()()()(jjezjeeHzHeHj其中jezjzHeH)()(3.频率响应函数 具有周期性，Ts2je为重复周期 为周期函数以2.正弦稳态响应1.离散时间系统的频率响应特性：离散时间系统在正弦序列的 激励下所引起的稳态响应随频率变化情况，分为幅频特性和相频 特性)()()()()(2121NMpzpzpzzzzzzzzH)()()()()(2121NjjjMjjjjpepepezezezeeHrjrrjeAzerjrrjeBpeNMjNjjjMjjjeBeBeBeAeAeAeH21212121)(N
36、MjBBBAAAeH2121)()()(2121NM4.频响特性的几何确定法如果单位圆上的点D不断移动，就可以得到全部频率响应。由于离散系统频响是周期性的，因此只要D点转一周就可以了。利用这种方法可以比较方便的由H(z)的零极点位置求出系统的频率响应。Re(z)121j I m(z)D（1）求（2）求频响函数（3）写成矢量形式，令1)()()(azzzXzYzH1az sin)cos1 (1sincos1111)(11111jaajaeaaeeeHjjjjcos211)(121aaeHjcos1sinarctan)(11aa101 a011a01a111)(aeHj0)(2111)(aeHj1arctan)(a2s111)(aeHj0)(例：求图示系统一阶离散系统的频率响应)()()(11zXzYzazY系统函数： 频响函数：系统是低通特性 系统是高通特性全通 )() 1()(1nxnyany解：差分方程：z-1x(n)y(n)a10
