1、可可 靠靠 性性 工工 程程第二部分第二部分授课人：杨建国授课人：杨建国浙江工业大学浙江工业大学 化工机械设计研究所化工机械设计研究所第二章第二章 可靠性特征量可靠性特征量2.1可靠性指标可靠性指标 故障概率密度函数和故障分布函数故障概率密度函数和故障分布函数 可靠度可靠度 故障率故障率 平均寿命平均寿命 可靠寿命、中位寿命和特征寿命可靠寿命、中位寿命和特征寿命 寿命方差和寿命均方差寿命方差和寿命均方差 维修性的特征量维修性的特征量 有效性的特征量有效性的特征量 工时工时 系统有效性系统有效性 重要度重要度 经济性指标经济性指标 与人为差错有关的可靠性指标与人为差错有关的可靠性指标2.2可靠性
2、中常用的概率分布可靠性中常用的概率分布 离散型随机变量的常见分布离散型随机变量的常见分布 连续型随机变量的常见分布连续型随机变量的常见分布可靠度可靠度 可靠度（Reliability）：是产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率，常以 R(t)表示。 亦称可靠度分布函数，是累积分布函数，它表示在规定的使用条件下和规定的时间内，无故障地发挥规定功能而工作的产品占全部工作产品的百分率：t0 )()(tTPtR可靠度 假如在 t = 0 时刻有 N 件产品投用，到t时刻时，有 n(t) 件产品发生故障，r(t) 件产品仍能继续工作，则t时刻的可靠度函数值的估计值为：NtrNtnNtR)(
3、)()(1)(0tR可靠度（不可靠度） 可靠度与故障概率分布函数即不可靠度F(t)呈互补关系 可靠度与不可靠度均为时间的函数，都是对一定时间而言的。若所指的时间不同，则同一产品的可靠度也就不同。1)()(tFtR2.2 失效特征量描述随机变量取值规律的函数称为分布，可用概率密度函数 和分布函数 来表示。在可靠性中，称失效或故障概率密度函数和失效或故障分布函数。)(tf)(tF2.2失效特征量（失效概率分布函数失效概率分布函数） 累积失效或故障概率分布函数：指产品在某个时间之前发生失效或故障的比例或频率。 失效或故障概率分布函数：指随机变量小于等于某一规定数值t的函数，可用下式表示： t0 )(
4、)(tTPtF( )F t失效概率分布函数图线失效概率分布函数图线2.2失效特征量（失效概率分布函数失效概率分布函数）2.2失效特征量（失效概率密度函数失效概率密度函数） 失效或故障概率密度函数反映产品在单位时间间隔内发生失效或故障的比例或频率。用N表示开始投用的产品数， 表示单位时间间隔， 为单位时间间隔内发生的故障数，则可用下式表示：/( )iinNnf ttNttin2.2失效特征量（失效概率密度函数失效概率密度函数） 一般概率用频率来解释，将观察数据按取值的顺序间隔分组，作出对应每一间隔的取值的频率数，画出直方图，观察随机变量取值的规律性。当分组间隔越来越密时，直方图将稳定趋近于某条曲
5、线，即概率密度函数 。 )(tf失效概率密度函数图线失效概率密度函数图线2.2失效特征量（失效概率密度函数失效概率密度函数）2.2失效特征量（失效概率密度函数失效概率密度函数）失效概率密度函数的性质： 0( )( )tF tf x dx 0( )1f t dt2.2失效特征量（失效率失效率） 失效率（Failure Rate）又称为故障率，其定义为工作到某时刻时尚未发生故障（失效）的产品，在该时刻以后的下一个单位时间内发生故障（失效）的概率，记为 失效率的观测值即为“在某时刻以后的下一个单位时间内发生故障（失效）的产品数与工作到该时刻尚未发生故障（失效）的产品数之比 。)(t2.2失效特征量（
6、失效率失效率） 设在 t = 0 时有N0件产品投用，到时刻 t 有Nf(t) 件产品故障，尚有Ns(t)=N0-Nf(t) 产品继续工作，在 t 之后的 时间内又有 个产品故障，则 ：( )()( )fffNtNttNt 00( )( )1( )lim( )( )fftssNNtdNttN ttN tdt t( )/fNtt-单位时间内发生失效数；() /()fsNttNt-某时刻t没失效的产品在单位时间内发生失效的概率；例2-1 今有100个产品投入使用，在 t = 100 小时前有2个发生故障，在100到105小时之间有1个发生故障，（1）试计算这批产品工作满100小时时的失效率 和概率
7、密度函数 。 （2）若 t = 1000小时前有51个产品发生故障，而在1000到1005小时内有1个故障，试计算这批产品工作满1000小时时的失效率和概率密度函数。(100)100(f例2-1解：解： 11(100)( )(1002)5490ffNNNtt11(100)1005500fNfNt（1） 11(1000)( )(10051)5245ffNNNtt（2） 11(1000)1005500fNfNt2.2.4 可靠性特征量之间的关系 、 、 和 是可靠性的四个基本函数，它们之间的的相互关系:)(tR)(tF)(tf)(t2.3可靠性寿命特征寿命：指产品能够正常履行规定功能的时间长度。可
8、分为：平均寿命：平均寿命：可靠寿命：可靠寿命：中位寿命：中位寿命：特征寿命：特征寿命： 2.3可靠性寿命特征不可修复产品平均寿命：失效前的工作时间，指该产品从开始使用到失效前的工作时间（或工作次数）的平均值，或称为失效前平均时间，记为MTTF（Mean Time To Failure）。可修复产品平均寿命：一次故障发生后到下一次故障发生之前无故障工作时间的平均值。为平均无故障工作时间或称为平均故障间隔，记为MTBF（Mean Time Between Failures）。2.3.1 平均寿命平均寿命2.3.1 平均寿命平均寿命 MTTF和MTBF的理论意义和数学表达式的实质内容是一样的，故通称
9、为平均寿命。如果从一批产品中任取N个产品进行寿命试验，得到第i个产品的寿命数据为ti，则该产品的平均寿命为:11( )NiiE TtN( )E T 所有产品总的工作时间总的产品数2.3.1 平均寿命平均寿命设产品寿命（或无故障工作时间）T 的故障概率密度函数为 f(t)，则平均寿命数学期望： 0()( )MTTFE Ttf t dt( )( )/f tdR tdt 0 0 0( )( )( )MTTFtdR ttR tR t dt (0)1( )0RR 0( )MTTFR t dt 如果可靠度服从指数分布 ， 则平均寿命MTTF： 当可靠度函数 为指数分布时，平均寿命等于失效率 的倒数。 0
10、001()11()ttMTTFedtedtee )(tR2.3.1 平均寿命平均寿命( )tR te 2.3.2 可靠寿命、中位寿命和特征寿命可靠寿命、中位寿命和特征寿命 可靠寿命（可靠度寿命）：可靠度为定值 R 时的工作寿命 TR 。 可靠度 的可靠寿命称为中位寿命 。 可靠度 的可靠寿命称为特征寿命 。%50R5 . 0T368. 01eR1eT2.4 失效率曲线 故障率函数有三种类型: 即随时间的增长而增长、随时间的增长而下降和与时间无关而保持一定值。 三种故障率函数的形态，故障率曲线可分为递减型故障率DFR（Decreasing Failure Rate）恒定型故障率CFR（Const
11、ant Failure Rate）递增型故障率IFR（Increasing Failure Rate）2.4 失效率曲线2.5 寿命方差和寿命均方差 寿命数据 ti( )为离散型变量离散型变量时，由于产品寿命的偏差 有正有负，所以采用平方差 来反映，所以一批数量为N的产品的寿命方差为 寿命均方差（标准差）为Ni, 2 , 1)(it2)(itNiitNttD1221)()( NiitNt1212.5 连续变量的总体寿命方差 连续型变量连续型变量的总体寿命方差可由失效密度函数 求得： 为寿命均方差或标准差。)(tf 0 22)( dttftttD t 2 0 22)(dttftt2.6 可靠性中
12、常用的概率分布2.6.1 离散型随机变量的分布2.6.2 连续型随机变量的分布2.6.1 离散随机变量的几种常见分布 两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布与负二项分布 超几何分布1. 两点分布两点分布 定义：两点分布又称为(0，1)分布。 两点分布的数字特征为： pqpXE01 pqppppXD122. 二项分布二项分布二项分布又称贝努里（Binomial）分布。二项分布满足以下基本假定： 1 试验次数n是一定的; 2 每次试验的结果只有两种，成功或失败，成功的概率为 p ，失败的概率为 q ; 3 每次试验的成功概率和失败概率相同，即 p 和 q 为常数; 4 所有试验是独立的。2. 二项
13、分布二项分布 (概率公式 ) 在二项分布中，若一次试验中，事件 A 发生的概率为 ，则在 n 次独立地重复试验中，事件 A 恰好发生K次的概率为: 随机变量的分布律为( ) (0, 1, 2, )kkn knnP kC p qkn( ),( )1P ApP Ap () (0, 1, 2, )kkn knP XkC p qkn2. 二项分布二项分布 (特征量 )随机变量 X 取值不大于 k 的累积分布函数为:0( )()krrn rnrF kP XkC p qX的数学期望与方差分别为： nknpkXkPXE0)()( pnpnpqkXPXEkXDnk1)(023. 泊松分布 在二项分布中，如果
14、（常数），则:npnlim() ! (0, 1, 2, , 0)kP Xkekkn3. 泊松分布泊松分布(特征量 )随机变量 取值不大于 次的累积分布函数为：Xk krrerkXPkF0!的期望与方差分别为：X 0kkXkPXE 02kKXPXEkXD2.6.2 连续随机变量的几种常见分布 正态分布截尾正态分布对数正态分布指数分布威布尔分布1. 正态分布正态分布 若故障密度函数 服从正态分布: 其分布函数F(x)、可靠度函数R(x)和故障率函数 分别为:)(xf 221()exp 22xf xt )(x 2 2 1exp22xtF xdt tFxR1 tRtfx 1. 正态分布正态分布(概率密
15、度函数曲线)1. 正态分布正态分布(性质)正态分布的概率密度函数曲线具有以下性质：1. 正态分布正态分布(性质)1. 正态分布正态分布(性质) 定义变量 : 正态分布的密度函数和分布函数分别为 :xz 2exp212zzf zxdzzzF 22exp21)( z2. 截尾正态分布截尾正态分布若x是一个非负的随机变量， 且x的密度函数为:则x称服从截尾正态分布。其中，a0 为常 数， ，它保证 。 221exp21xaxfa 0 1dxxf2.截尾正态分布截尾正态分布(概率密度曲线 )2. 截尾正态分布截尾正态分布 xxF111 xxR11 xxx11截尾正态分布的分布函数、可靠度函数和失效率函
16、数分别是：例例2-3有一批钢轴，规定轴直径不超过15mm的是合格品，已知轴直径的尺寸X服从 ，试判断，该批钢轴的废品率为多少，若要保证95%的合格率，应规定钢轴直径的合格尺寸为多少？205. 0 , 9 .14N解解：根据 ，可知 ， ,所以， 设规定钢轴直径的合格尺寸为x，则有查正态分布表可得， ， 故 所以，该批钢轴的废品率为2.75%，若要保证95%的合格率，应规定钢轴直径的合格尺寸为14.98mm。205. 0 , 9 .14N9 .1405. 01514.91511510.02750.05P XP X 95. 0 xXP95. 005. 09 .1405. 09 .14xXP95.
17、095. 0uuzP64485. 195. 0ummx98.1405. 064485. 19 .143. 对数正态分布对数正态分布对数正态分布的概率密度函数和分布函数分别是 222lnexp21xxxf2 2 0ln1( )exp22xxF xdxx对数正态分布的数学期望和方差分别是对数正态分布的失效率函数为 2exp2XE 222exp22expXD xxxxln1ln3. 对数正态分布对数正态分布3. 对数正态分布对数正态分布（密度函数曲线） 例例2-4 有一零件，其寿命服从对数正态分布 若将零件在使用106次载荷循环后更换，问在其更换前失效的概率。若要保证可靠度为99%，则应在使用多少次
18、前更换？2ln13.9554,0.1035xN解解 ：若要保证99%的可靠度，设应在n次循环前更换，则 若零件在使用次载荷循环106后更换，则其在更换前失效的概率为8.85%，若要保证可靠度为99%，是应在使用 次载荷循环前更换。 0885. 03516. 11035. 09554.1310lnln1066xxPxF 01. 099. 011035. 09554.13lnnnTPtF326. 21035. 09554.13lnn5109904067n51094. 指数分布 密度函数 随机变量X服从参数为 的指数分布。式中 为常数，是指数分布的失效率。 xexf0, 0 x4. 指数分布指数分布
19、 xexF1 x xexR分布函数、失效率函数和可靠度函数 :4. 指数分布指数分布 1xE 21xD指数分布期望和方差指数分布期望和方差:4. 指数分布指数分布指数分布密度函数和分布函数的曲线指数分布密度函数和分布函数的曲线:密度函数密度函数分布函数分布函数例例2-5 某装置的寿命服从指数分布，均值为500h，求该装置至少可靠运行600 h的概率，若有三台同样装置，在开始400 h里至少有一台装置故障的概率。 解解：如果产品的寿命服从指数分布，则其平均寿命为故障率的倒数 如果有三台同样的装置，在前400h内至少有一台装置发生故障的概率为: 1h 50013012. 0600500600eex
20、Rx90928. 01135004003eePx5. 威布尔分布威布尔分布(1) 三参数威布尔分布 若x是一个非负的随机变量，且有密度函数为则称X服从三参数为 的威布尔分布，记为XW 。其中，m为形状参数； 为尺度参数；为位置参数。 1expmmmxxfx0,mrx,m,m三参数威布尔分布的分布函数、可靠度函数和失效率函数为： mxxFexp1 mxxFxRexp1 1mxmxRxfx6. 威布尔分布威布尔分布三参数威布尔分布的期望和方差 mXE11 mmXD1121226. 威布尔分布威布尔分布三参数威布尔分布的概率密度函数曲线 6. 威布尔分布威布尔分布 1expmmmxxfx三参数威布尔
21、分布的可靠度函数曲线 6. 威布尔分布威布尔分布 expmxR x三参数威布尔分布的失效率函数曲线 6. 威布尔分布威布尔分布 1mxmxRxfx(2)两参数威布尔分布 两参数威布尔分布的的密度函数: mmxxmxfexp16. 威布尔分布威布尔分布 1expmmmxxfx0或坐标转换xx两参数威布尔分布的分布函数、可靠度函数和故障率函数: mxxFexp1 mxxRexp 1mxmx6. 威布尔分布威布尔分布两参数威布尔分布的期望和方差 mXE11 mmXD1121226. 威布尔分布威布尔分布例例2-6 已知某零件的疲劳寿命服从威布尔分布，由历次试验可知，m=2， ， r=0, 试求该零件的平均寿命，可靠度为95%时的可靠度寿命。h 200解解：因为r=0h，所以该分布为两参数威布尔分布，查函数表 h 2 .17721120011mxEh 3 .4595. 01ln2001ln211mRx
