1、3.2立体几何中的向量方法- 方向向量与法向量一 立体几何中的向量方法lAPa 直线的方向向量 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量一、方向向量与法向量2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0) 练习练习 如图，在四棱锥如图
2、，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依题题意意得得D DB(1, 1，B(1, 1，0)0)1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)xyz设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是 因为方向向量与法向量可
3、以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系. 用向量方法解决几何问题二、立体几何中的向量方法二、立体几何中的向量方法平行关系平行关系mlab一一. 平行关系：平行关系：au aAC axAByAD v u 例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的中点，的中点，DF:FB=CG:GP=1:
4、2 . 求证：求证：AE/FG.ABCDPGxyzFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)32 AE =FGAE =FGAE/FG证明证明 ：如图所示：如图所示, , 建立空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，则/ A AE EF FG GAE与与FG不共线不共线例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， 求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDPExyzG解解
5、1 立体立体几何法几何法ABCDPExyzG证法证法2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1连结连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依题题意意得得G1 11 1( , ，( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ证法证法3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原为坐标原点，设点，设
6、DC=1，1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn (1,0, 1),PA ABCDP PE EXYZ解解4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2
7、2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)PAxDEyDB 设解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面三、立体几何中的向量方法三、立体几何中的向量方法垂直关系垂直关系(1) lm0aba b 垂直关系：垂直关系：lmab练习练习 棱长为棱长为a 的正方体的正方体 中中, ,E、F分别分别是棱是棱AB, ,OA上的动点，且上的动点，且AF= =BE, ,求证：求证： OCBAOAB CEFzxy解：如图所示，以O为原点
8、建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.则(0,0)Fab(, ,0)E ab aEOFACBAOOABC),(aaaA), 0 , 0(aO),(abaFA),(aabaEOEOFAEOFAEOFA即0例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证 MNCD ,MNAB.证1:几何法证2： 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，设AB=2.则xyZxy(0,0,0)B(0,2,0)D( 3,1,0)C32 6(,1,)33A3 16(,)623M3 3(,0)22N例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证 MNCD ,MNAB.(2)
9、 l lauABCACaABa, /auau ABCDPEFxyz-, ,. (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点 作作交交于于点点求求证证平平面面证法2：如图所示，以点D为原点建立空间直角坐标系，设DC=1.) 1, 1 , 1 (PB021210DEPB故)21,21, 0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以A1D1B1ADBCC1yzEF1111DCBAABCD 练习练习P107 1P107 1，正方体，正方体中，中，E、F
10、分别分别是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F平面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则则1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 则则， 所以所以1D FADE 平平 面面DADE 则则， )0 ,21, 0(),21, 1 , 1 (),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 0(1FEDDx3 （）0uvu v u v 证明：证明：, ,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例3 3 正方
11、体正方体平面平面C1 1BD. 求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系A-xyz，则则又平面又平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBDxyzB1A1C1BACDED1 证明证明2：几何法：几何法, ,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例
12、例4 4 正方体正方体平面平面C1 1BD. 求证：求证：平面平面EBDB1A1C1BACDED1-,:P ABCDABCDPDABCD GPB 练练习习 四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面是是上上的的点点求求证证 平平面面GACGAC平平面面PDBPDBABCDPxyzG证法一：几何法证法二：向量法则设角坐标系为原点建立空间直证明：如图，以,.bDPaDAxyzDD)2,2,2(),0 , 0(),0 , 0 ,(baaGbCaA)2,2,2(),2,2,2(baaCGbaaAGABCDPxyzG则有的法向量为设平面),(zyxnACG0222022200zbyaxazbya
13、xaCGnAGn即)0 , 1 , 1 (, 0, 1, 1nzyx则令BDPACDPACBDAC平面又,)0 ,(aaACBDP的法向量为平面ACnACn, 0而ACGBDP平面平面四立体几何中的向量方法四立体几何中的向量方法夹角问题夹角问题夹角问题：夹角问题：lamb(1) , l m的夹角为 ，coscos, a b lamb xyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B A1AB1BC1C1D1F所以
14、 与 所成角的余弦值为1BD1AF3010.901111111111111所成的角的余弦值与，求、的中点、，取位置，已知的法向量平移到沿平面，现将中，例BDAFFDCABACCCABCCBAABCABCBCAABCRt，则所成的角为与平面设BDAF111cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 3030=.=.1010cos夹角问题：夹角问题：(2) , l的夹角为 ，sincos, a u ula ula . 121111111所成的角的正切值与平面求的棱长为正方体例CABCBDCBAABCDA1xD1B1ADBCC1yzEF解法解法2（向量法）（向量法）:如图所示，以如图所示，以D
15、为原点建立空间直角坐为原点建立空间直角坐标系标系D-xyz.则则 C（1,0,0）A（0,1,0）1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC).1 , 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (11CB)0 , 1, 0(11CB) 1 , 0 , 1 (),0 , 1, 1 (1ABAC则的法向量为设平面),(1zyxnCAB00001zxyxABnACn即) 1, 1 , 1 (. 1, 1, 1nzyx则令A1xD1B1ADBCC1yzEF，则所成的角为与平面设CABCB111.3331010,cossin11nCB.11一个法向量的是平面也实际上CABBD夹角问题：夹角问题：(3)
16、 , 的夹角为 ，u v coscos =cos =cos u v ABCDPEFxyzG例例3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧棱侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的中点，作的中点，作EFPB交交PB于点于点F. 求二面角求二面角C-PB-D的大小的大小.五立体几何中的向量方法五立体几何中的向量方法距离问题距离问题距离问题：距离问题：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则222121212()()()ABxxyyzz 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的
17、二面角的棱上有有A、B两点，两点， 直线直线AC、BD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, , 已知已知AB4,4,AC6 6，BD8 8，求，求CD的长的长. . BACD 68解1：几何法 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A、B两点，两点， 直线直线AC、BD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, , 已知已知AB4,4,AC6 6，BD8 8，求，求CD的长的长. . BA CD 68解1：向量法距离问题：距离问题：asin
18、, dAPAP a (2) 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离. 建立坐标系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, 10AEAB 113sin, 10AEAB 点点E到直线到直线A1B的距离为的距离为1113sin, 24dAEAEAB 距离问题：距离问题：(3) 点点P与平面与平面
19、的距离为的距离为d , 则则 u A P O dABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.u 建立坐标系11111 11 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2设设 =(1,y,z)=(1,y,z)为为面面A BEA BE的法向的法向量量 得 u u= = ( (1 1, ,2 2, ,2 2) ) 1111A B = 0,1,0 ,A B = 0,1,0 , 11
20、111111 B B 到到面面A BEA BE的距的距离离为为A B nA B n2 2 d= d=3 3n n0011BAuEAuABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法1111BA BEE A BBVV解解2ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离. 解解1:D1C面面A1BE D1到面到面A
21、1BE的距离即为的距离即为D1C到面到面A1BE的距离的距离. 仿上例求得仿上例求得D1C到到 面面A1BE的距离为的距离为1113D A udu ABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法1111DA BEB A D EVV解解2距离问题：距离问题：(4) 平面平面与与的距离为的距离为d , 则则 umDCPAlabABCD1A1B1C1Dxyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面
22、A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 解解1:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距离即的距离即 为面为面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离1111( 1,1,1),(1,0,0) 平面的一个法向量为且A BDACD A 111133D AACdAC ABCD1A1B1C1D等体积法等体积法1111DA BDB A DDVV解解2 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离.ABCD1A1B1C1D解解3 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为
23、1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.ABCD1A1B1C1DExyz111(0,0,1), (1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE解: :111,0 ,2AE 11,1, 1D B 11(1, , ),设与都垂直ny zA E D B 110,0,由n A En D B (1,2,3)得n 111,0,0 ,D A 11与的距离为A EBD111414D A ndn 1 . 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求点，求点A1与面与面D1CB1的距离的距离. 2. 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.
