1、第八讲第八讲 曲线曲面参数表示的基础知识曲线曲面参数表示的基础知识1 1 显式、隐式和参数表示显式、隐式和参数表示 在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线，以观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线，以描述事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶的等产品的外描述事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶的等产品的外形设计中，要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。形设计中，要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。 表示曲线和曲面的基本方法有两种：参数法和非参数表示曲线和曲面的基本方法有两种：参数法和非参
2、数法。法。 （1）非参数法）非参数法 y=f(x) 显函数显函数(不能表示封闭或多值的曲线）不能表示封闭或多值的曲线） f(x，y)=0 隐函数（方程的根很难求）隐函数（方程的根很难求） （2）参数法参数法 x=f(t) y=g(t) 求导很方便，不会出现计算上的困难求导很方便，不会出现计算上的困难 对于非参数表示形式方式（无论是显式还是隐式）存对于非参数表示形式方式（无论是显式还是隐式）存在下述问题：在下述问题： 与坐标轴相关；与坐标轴相关； 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表对于非平面曲线、曲面，难以
3、用常系数的非参数化函数表示；示； 不便于计算机编程。不便于计算机编程。 值得一提的是值得一提的是,隐式方程的优点也很明显隐式方程的优点也很明显.通过将某一点通过将某一点的坐标代入隐式方程的坐标代入隐式方程,计算其值是否大于、等于、小于零，计算其值是否大于、等于、小于零，能够容易判断出该点是落在隐式方程所表示的曲线（曲面）能够容易判断出该点是落在隐式方程所表示的曲线（曲面）上还是某一侧。利用这个性质，在曲线曲面求交时将会带来上还是某一侧。利用这个性质，在曲线曲面求交时将会带来莫大的方便。莫大的方便。 在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，即
4、曲线上任一点的坐标均表示成给定数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。参数的函数。 假定用假定用t表示参数，平面曲线上任一点表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：可表示为： P(t)=x(t), y(t)； 空间曲线上任一三维点空间曲线上任一三维点P可表示为：可表示为： P(t)=x(t), y(t), z(t)； 最简单的参数曲线是直线段，端点为最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的的直线段参数方程可表示为：直线段参数方程可表示为： P(t)=P1+(P2-P1)t t0, 1; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位
5、圆弧的非参数显式表示为：象限内的单位圆弧的非参数显式表示为： 其参数形式可表示为：其参数形式可表示为： 在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性，主要表现在：隐式方程有更多的优越性，主要表现在： （1）可以满足几何不变性的要求。）可以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：二维三次曲线的显式表示为： 只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：数表达式为： 有有8个系数可用
6、来控制此曲线的形状。个系数可用来控制此曲线的形状。 （3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空全分离的，而且
7、对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。使我们可以用数学公式处理几何分量。 （6）规格化的参数变量）规格化的参数变量t0, 1，使其相应的几何分量，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 有一空间点A，从原点O到A点的连线表示一个矢量，此矢量称为位置矢量。 空间一点的位置矢量有三个坐标分量，而空间曲线是空间动点运动
8、的轨迹，也就是空间矢量端点运动形成的矢端曲线，其矢量方程为：)(),(),()(uzuyuxuCC2 2 参数曲线的定义及其参数曲线的定义及其 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 此式也称为单参数的矢函数。它的参数方程为：)(),()(uzzuyyuxx,0nuuu规范化区间若t的区间：a,b，如果把它转换为0,1，如何做？方法（相似性，比例不变）： t=(t-a)/(b-a) , 则 t 0,1 型值点指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点。 控制点指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点，曲线曲面本身不一定通过控制点。3 拟合、逼近、
9、插值和光顺拟合、逼近、插值和光顺 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。图8-1 曲线的拟合 曲线曲面的逼近曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列图8-2 曲线的逼近 求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值曲线的插值。 将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形控制多边形或特征多边形特征多边形图8-2 曲线的逼近4 连续性条件连续性条件假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：t ,t t)(i1i0tppii 参数连续性参数
10、连续性 几何连续性几何连续性1.1.参数连续性参数连续性0 0阶参数连续性，记作阶参数连续性，记作C C0 0连续性，是指曲线的连续性，是指曲线的几何位置连接，即几何位置连接，即)()(0)1()1(1iiiitptp1阶参数连续性阶参数连续性记作记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：交点处有相同的一阶导数：)()()()(0)1()1(10)1()1(1iiiiiiiitptptptp且2阶参数连续性阶参数连续性，记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。 (a)0阶连续性(b)1阶连续性(c)2阶连续性2.几何连续性几何连续性0阶几何连续性阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足： 1阶几何连续性阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例2阶几何连续性阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。)()(0)1()1(1iiiitptp
