1、绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。5考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每
2、小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合，则ABCD2设，其中为实数，则ABCD3已知向量，则A2B3C4D54分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：甲乙615853063753274614218122566664290238101则下列结论中错误的是A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为B乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于C甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于D乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于5若x，y满足约束条件则的最大值是AB4C8D126设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若
3、，则A2BC3D7执行下边的程序框图，输出的A3 B4 C5 D68如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是ABCD9在正方体中，E，F分别为的中点，则A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面10已知等比数列的前3项和为168，则A14B12C6D311函数在区间的最小值、最大值分别为ABCD12已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13记为等差数列的前n项和若，则公差_14从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_15过四点中
4、的三点的一个圆的方程为_16若是奇函数，则_，_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）若，求C；（2）证明：18（12分）如图，四面体中，E为AC的中点（1）证明：平面平面ACD；（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积19（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：)和材积量(
5、单位：)，得到如下数据：样本号12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得，（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到001）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值附：相关系数，20（12分
6、）已知函数（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求a的取值范围21（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足证明：直线HN过定点(二)选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分如果多做，则按所做的第一题计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（1）写出l的直角坐标方程；（
7、2）若l与C有公共点，求m的取值范围23选修4-5：不等式选讲（10分）已知a，b，c都是正数，且，证明：（1）；（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合,，则ABCD 【答案】A【解析】集合，其中满足在区间内的数有和，所以2设,其中，为实数，则A，B，C，D，【答案】A【解析】由题可得，即，则有，解得，选项A正确3已知向量,，则ABCD 【答案】D【解析】由题可得，则，选项D正确4分别统计了甲、乙两位同学周的各周课外体育运动时长（单位：），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为B乙同
8、学周课外体育运动时长的样本平均数大于C甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于D乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于【答案】C【解析】令甲、乙的数据代表符号分别为，则甲同学的样本中位数为，A正确；以为参考值，乙同学的样本平均数为，B正确；由茎叶图中数据可知，所以C错误；，所以D正确5若满足约束条件，则的最大值是A. B. C. D. 【答案】【解析】解法1：作图可知在点处取得最大值解法2：求出可行域的三个顶点坐标，分别求出目标函数值为，比较得的最大值为.6.设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则 A. B. C. D. 【答案】【解析】由题意可得,设，则,所以,所以7.执行右边的
9、程序框图，输出的n= A. B. C. D. 【答案】【解析】第一次循环：,. 第二次循环：,. 第三次循环：,.所以输出的.8.右图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则函数是A. B.C. D.【答案】【解析】由图像可知函数是奇函数，且，,排除.由，排除.由,，排除.故选.9.在正方体中，分别为，的中点，则 A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面【答案】【解析】由题意可知，所以平面,所以平面.10.已知等比数列的前项和为，则 A. B. C. D. 【答案】【解析】设的首项为，公比为.由题意可知：，即,解得，,所以.11.函数在区间的最小值、最大值分别为 ABCD 【答案】
10、D【解析】，当时，；当时，；当时，.所以，;.又，所以;.故选.12.已知球的半径为，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为 ABCD 【答案】C【解析】设底面的四个顶点所在圆的半径为，四棱锥的高为，则.当底面为正方形时，底面面积最大，最大值为.所以，当时，该四棱锥的体积最大.故，选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13记为等差数列的前项和.若，则公差 【答案】【解析】因为，所以，即，所以.14从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_.【答案】310【解析】解法1:设名同学的编号为甲、乙、，从中随机取名的所有
11、结果为：甲乙、甲乙、甲乙、甲、甲、甲、乙、乙、乙、共10种，其中甲、乙都入选的情况为：甲乙、甲乙、甲乙共3三种，故所求概率为.解法2：设“甲、乙都入选”为事件，则解法3：设“甲、乙不都入选”为事件，则，故所求概率为15过四点，中的三点的一个圆的方程为_.【答案】或或或（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为若圆过，三点，则，解得，故圆的方程为；若圆过，三点，则，解得，故圆的方程为；若圆过，三点，则，解得，故圆的方程为；若圆过，三点，则，解得，故圆的方程为.16若是奇函数，则_，_.【答案】 ， 【解析】 因为所以其定义域关于原点对称，故，由得所以，所以，此时，其定义域为;又是奇函数，
12、故，即，所以,此时满足.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）记的内角，的对边分别为，已知.（1）若，求;（2）证明：【答案】（1）；（2）略.【解析】（1）解：因为,所以，所以， 代入中得又，所以，所以，所以（2）证明:因为所以所以所以，又所以由正弦定理得又由余弦定理得，所以由得，所以.证法2：因为所以又同理所以由正弦定理得所以18（12分）如图,四面体中，为中点（1）证明：平面平面；（2）设,，点在上，当面积最小时，求三棱锥的体积【答案】（1
13、）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：由题可知在与中，则，为等腰三角形，为等腰三角形又为中点，平面，平面，平面又平面， 平面平面（2）解：由（1）可知，又，为等边三角形，则由题可知为等腰直角三角形，则又为中点，如图，连结，使于作于平面，平面， 平面， ，此时为异面直线与的公垂线段，线段长度即为到的最短距离，即此时的面积最小，平面，平面平面，线段长度即为三棱锥的以为底面的高， ， 则，则三棱锥的体积19.（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部的横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本
14、号12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得.（1）估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附: 相关系数.解析：（1）这种树木平
15、均一颗的根部横截面积，平均一颗的材积量；（2）由,; 所以 所以 （3）由树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，得，将，即代入可得，即，所以当时，故该林区这种树木的总材积量的估计值为.20（12分）已知函数.（1）当时，求的最大值;（2）若恰有一个零点，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）时，（），由得；由得.所以在上单调递增，在上单调递减所以最大值为.（2）（）当时，由得；由得所以在单调递增，在单调递减所以，无零点，舍去；当时，由得或；由得所以在，单调递增；在单调递减又，取，则所以存在唯一零点；当时，恒成立，所以在单调递增又，所以存在唯一零点；当时，由得或；由得所以在，单调递
16、增；在单调递减又取又所以存在唯一零点.综上可知，若恰有一个零点，则实数的取值范围是.21.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点.（1）求的方程；（2）设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.解析：（1）设椭圆方程为：，将代入方程得，解得，故所求方程为.（2）设点 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为：，即，直线的方程为由消去可得：，所以有，所以过且平行于轴的直线与直线交点，且易求得，又，可得直线方程为，即而 其中 即直线的方程可化简为故直线恒过定点 当不存在时，直线的方程为：，又由线段在第四象限，可得，又由两点可得直线方程为：
17、，所以过且平行于轴的直线与交点又可知，为的中点，可求得，所以直线为：，可知其过定点 综上可知：直线恒过定点 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.(1) 写出的直角坐标方程；(2) 若与有公共点，求的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：（1）由可得，即，故的方程为：.（2）由，得，联立，即 ，即，故的范围是.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知,为正数，且,证明：（1）; （2）.证
18、明：（1）因为,为正数，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，得证.（2）因为，都是正数，且所以当且仅当时取等号所以得证.2022年全国统一考试数学文科试卷全国乙卷试卷分析一、 试卷主干知识和非主干知识分布情况1、主干知识部分：知识点题目分布函数与导数8,16,20数列10,13三角函数11,17解析几何5，6,15,21立体几何9,12,18概率统计4,14,19二选一22,232.非主干知识部分：知识点题目分布集合1复数2向量3程序框图7二、 试题特点分析：1、 突出对数学主干知识的考查，分值130分，占比近87%，体现重点知识重点考查，重复考查的特点。2、 入手点平缓，体现人文关怀，小题前3题都是非主干知识的考查，简单易做，充分考虑到文科生特点。3、 除概率大题19题外，题目没有繁杂的情景，平铺直叙很直接，没有所谓的文化外衣，让学生一下子进入了数学问题。4、 体现能力和核心素养考查。如推理论证能力，数据处理能力，运算求解能力在大题小题中都体现的很清晰。5、 注重思想方法的考查。如数形结合思想，函数方程思想，分类讨论思想在多个题目当中都有所体现。6、 重视通性通法考查，重视数学概念的考查。如16题是建立在奇偶函数概念上一道很好的试题。数学试题第 22 页 （共 22 页）
