1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若z=1+3i，则zzz1=()A. 1+3iB. 13iC. 13+33iD. 1333i2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则()A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正
2、确率的极差3. 设全集U=2,1,0,1,2,3，集合A=1,2,B=xx24x+3=0，则U(AB)=()A. 1,3B. 0,3C. 2,1D. 2,04. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A. 8B. 12C. 16D. 205. 函数y=3x3xcosx在区间2,2的图象大致为()A. B. C. D. 6. 当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值2，则f(2)=()A. 1B. 12C. 12D. 17. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则()A. AB
3、=2ADB. AB与平面AB1C1D所成的角为30C. AC=CB1D. B1D与平面BB1C1C所成的角为458. 沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA.当时，s=()A. 11332B. 11432C. 9332D. 94329. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2，则V甲V乙=()A. 5B. 22C. 10D. 510410. 椭圆
4、C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A. 32B. 22C. 12D. 1311. 设函数f(x)=sinx+3在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是()A. 53,136B. 53,196C. 136,83D. 136,19612. 已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则()A. cbaB. bacC. abcD. acb二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+bb=14. 若双曲线y2x2m2
5、=1(m0)的渐近线与圆x2+y24y+3=0相切，则m=15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为16. 已知ABC中，点D在边BC上，ADB=120,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值18. 在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD,CD/AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BDPA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值19. 甲、乙两个学校
6、进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立 (1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望20. 设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,.当取得最大值时，求直线AB的方程21. 已知函数fx=exxlnx+xa(1)若fx0，
7、求a的取值范围；(2)证明：若fx有两个零点x1,x2，则x1x270 ，所以 A 错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80,4个85，剩下全部大于等于90，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85，所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为10080=20，讲座前问卷答题的正确率的极差为9560=3520，所以错.3.【答案】D【解析】【分析】 本题考查集合的基本运算，属于基础题【解答】 解：由题意， B=xx24x+3=0=1,3 ，所以 AB=1,1,2,3 ，所以 UAB=2,0 4
8、.【答案】B【解析】【分析】 本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题【解答】 解：由三视图还原几何体，如图， 则该直四棱柱的体积V=2+4222=125.【答案】A【解析】【分析】 本题考查函数图象的辨别，是基础题【解答】 解：令 fx=3x3xcosx,x2,2 ， 则fx=3x3xcosx=3x3xcosx=fx，所以fx为奇函数，排除BD；又当x0,2时，3x3x0,cosx0，所以fx0，排除C6.【答案】B【解析】【分析】 本题考查导数的最值问题，属于中档题【解答】 解：因为函数 fx 定义域为 0,+ ，所以依题可知， f1=2 ， f1=0 ，而 fx=axbx2
9、 ，所以 b=2,ab=0 ，即 a=2,b=2 ，所以 fx=2x+2x2 ，因此函数 fx 在 0,1 上递增，在 1,+ 上递减， x=1 时取最大值，满足题意，即有 f2=1+12=12 7.【答案】D【解析】【分析】 本题主要考查线面角的求解，属中档题 作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可【解答】 解：如图所示： 不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题意及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为DB1A，所以sin30=cB1D=bB1D，即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，解得a=2c对于A，AB=a，AD=b，A
10、B=2AD，A错误；对于B，过B作BEAB1于E，易知BE平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE，因为tanBAE=ca=22，所以BAE30，B错误；对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，ACCB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C，sinDB1C=CDB1D=a2c=22，而0DB1C0 ，因为 x0, ，所以 x+33,+3 ， 要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x3,3的图象如下所示：则52+33，解得13683，即136,8312.【答案】A【解析】【分析】 本题考查利用导数比大小，属于拔高题【
11、解答】 解：因为 cb=4tan14 ，因为当 x0,2,sinxx14，即cb1，所以cb；设f(x)=cosx+12x21,x(0,+)，f(x)=sinx+x0，所以f(x)在(0,+)单调递增，则f14f(0)=0，所以cos1431320，所以ba，所以cba，13.【答案】11【解析】【分析】 本题考查向量数量积运算，属基础题【解答】 解：设 a 与 b 的夹角为 ，因为 a 与 b 的夹角的余弦值为 13 ，即 cos=13 ， 又a=1，b=3，所以ab=abcos=1313=1，所以2a+bb=2ab+b2=2ab+b2=21+32=1114.【答案】33【解析】【分析】 本
12、题主要考查双曲线的渐近线，直线与圆的位置关系，属于基础题 根据题意，表示出双曲线的渐近线即圆的切线，再依据圆心到直线的距离等于半径，求解参数【解答】 解：双曲线 y2x2m2=1(m0) 的渐近线为 y=xm ，即 xmy=0 ， 不妨取x+my=0，圆x2+y24y+3=0，即x2+(y2)2=1，所以圆心为0,2，半径r=1，依题意圆心0,2到渐近线x+my=0的距离d=|2m|1+m2=1，解得m=33或m=33(舍去)15.【答案】635【解析】【分析】 本题以正方体为载体考查古典概型，属于基础题【解答】 解：从正方体的 8 个顶点中任取 4 个，有 n=C84=70 个结果，这 4
13、个点在同一个平面的有 m=6+6=12 个，故所求概率 P=mn=1270=635 16.【答案】31(或1+3)【解析】【分析】 本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题【解答】 解：设 CD=2BD=2m0 ， 则在ABD中，AB2=BD2+AD22BDADcosADB=m2+4+2m，在ACD中，AC2=CD2+AD22CDADcosADC=4m2+44m，所以AC2AB2=4m2+44mm2+4+2m=4m2+4+2m121+mm2+4+2m=412m+1+3m+14122m+13m+1=423，当且仅当m+1=3m+1即m=31时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，
14、m=3117.【答案】解：(1)因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n，当n2时，2Sn1+n12=2n1an1+n1，得，2Sn+n22Sn1n12=2nan+n2n1an1n1，即2an+2n1=2nan2n1an1+1，即2n1an2n1an1=2n1，所以anan1=1，n2且nN，所以an是以1为公差的等差数列(2)由(1)可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4a9，即a1+62=a1+3a1+8，解得a1=12，所以an=n13，所以Sn=12n+nn12=12n2252n=12n25226258，所以
15、，当n=12或n=13时Snmin=78【解析】本题考查等差数列的判定与等比数列性质、等差数列前n项和最值问题18.【答案】证明(1)PD底面ABCD，PDBD，取AB中点E，连接DE，可知DE=12AB=1，CD/AB，CD=BE,CD/BE四边形BCDE为平行四边形，DE=CB=1，DE=12AB，ABD为直角三角形，AB为斜边，BDAD，PDAD=DBD平面PAD，BDPA解：(2)由(1)知，PD，AD，BD两两垂直，BD=AB2AD2=3建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0,3)，PD=(0,0,3)，PA=(1,0,3)，A
16、B=(1,3,0)，设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则x3z=0x+3y=0.不妨设y=z=1，则n=(3,1,1)，设PD与平面PAB的所成角为，则sin=|cos|=|PDn|PD|n|=|3|35=55，PD与平面PAB的所成的角的正弦值为55【解析】本题考查线线垂直的判断，用向量法求线面角正弦，属于拔高题19.【答案】解：(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为P=PABC+PABC+PABC+PABC=0.50.40.8+0.50.40.8+0.50.60.8+0.50.40.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6(2)依题
17、可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，PX=0=0.50.40.8=0.16，PX=10=0.50.40.8+0.50.60.8+0.50.40.2=0.44，PX=20=0.50.60.8+0.50.40.2+0.50.60.2=0.34，PX=30=0.50.60.2=0.06即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望EX=00.16+100.44+200.34+300.06=13【解析】本题考查相互独立事件的概率、离散型随机事件的分布列与均值，属中档题20.【答案】解：(1)抛物线的准线为x=p2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时|MF|=p
18、+p2=3，所以p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x；(2)设M(y124,y1),N(y224,y2),A(y324,y3),B(y424,y4)，直线MN:x=my+1，由x=my+1y2=4x可得y24my4=0，由斜率公式可得kMN=y1y2y124y224=4y1+y2，kAB=y3y4y324y424=4y3+y4，直线MD:x=x12y1y+2，代入抛物线方程可得y24(x12)y1y8=0，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1，所以kAB=4y3+y4=42(y1+y2)=kMN2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,，所以kAB=tan=kMN2=tan2，若要使最大，则(
19、0,2)，设kMN=2kAB=2k0，则tan()=tantan1+tantan=k1+2k2=11k+2k121k2k=24，当且仅当1k=2k即k=22时，等号成立，所以当最大时，kAB=22，设直线AB:x=2y+n，代入抛物线方程可得y242y4n=0，所以n=4，所以直线AB:x=2y+4【解析】本题主要考查抛物线的定义与方程，以及直线与抛物线的位置及应用，属于难题(1)利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；(2)解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系21.【答案】解：(1)f(x)定义域为(0,+)，f(x)=ex(x1)x21x+1=(ex
20、+x)(x1)x2，令f(x)=0x=1，所以当0x1时，f(x)1时f(x)0，f(x)单调递增;f(x)min=f(1)=e+1a，要使得f(x)0恒成立，即满足f(x)min=e+1a0ae+1(2)由(1)知要使f(x)有两个零点，则f(x)min=f(1)=e+1a0e+1a，而f(x)=exxlnx+xa=exlnx+xlnxa，令t=xlnx，则f(x)=et+ta有两个零点x1,x2等价于关于x的方程xlnx=t0有两个不相等的实根，再令(x)=xlnx，易知(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，不妨设0x11x2.要证明x1x21，即证明1x21x1，又由于(x)在(1,+)单调递增，即证明(x2)(1x1)(x1)(1x1)在(0,1)上成立下面构造函数F(x)=(x)(1x)(0x0恒成立，F(x)在(0,1)单调递增，而F(1)=f(1)f(1)=0，所以F(x)F(1)=0，即(x)0，b0，c0，由(1)得a+b+2c=a+4c3，即0a+4c3，所以1a+4c13，由权方和不等式知1a+1c=12a+224c1+22a+4c=9a+4c3，当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a+1c3【解析】本题考查不等式的证明，柯西不等式与权方和不等式的应用，为中档题第17页，共17页
