1、（课后练习）（课后练习）试就质点受变力作用而且做一般试就质点受变力作用而且做一般 曲线运动的情况推导质点的动能定理。并曲线运动的情况推导质点的动能定理。并 说明定理的物理意义。说明定理的物理意义。推导： 方法一：书 P181182方法二：BABAAF dr BAdvmv dtdt ()BxxyyzzAm v dvv dvv dv BABAAmv dv 222111()xyzxyzvvvxxyyzzvvvmv dvv dvv dv22211122mvmv物理意义：物理意义：合外力对质点所做的功等于质点合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量动能的增量作业讲解（作业讲解（P P109109 2.3
2、 2.3）AB1m2m3mgm11Tgm2gm32T2T对地1aBa对2Ba对3对地Ba1m对对地1111amTgm为参照系以、对Bmm21BBamamTgm对对地22222BBamamgmT对对地33332BBaa对对32对地对地Baa1对地1111amTgm1m对以地为参照系、对21mm对地2222amTgm对地3332amgmT对地对对地BBaaa22对地对对地BBaaa22对地对对地BBaaa33对地对对地BBaaa33BBaa对对32对地对地Baa1例例7（0196）一质量为）一质量为m的小球从内壁为半球形的的小球从内壁为半球形的 容器边缘无摩擦地滑下，容器质量为容器边缘无摩擦地滑下
3、，容器质量为M，内，内 壁半径为壁半径为R，放在光滑的水平面上，如图所，放在光滑的水平面上，如图所 示。开始小球与容器都处于静止状态，有人示。开始小球与容器都处于静止状态，有人 为了求出小球自容器边缘为了求出小球自容器边缘B滑至底部滑至底部A处时，处时， 容器对小球的作用力，列出了如下方程容器对小球的作用力，列出了如下方程RmVmgN/21mgRmVMV21222121021 MVmVBAoMm 式中式中 和和 分别为小球到达分别为小球到达A处时小球和处时小球和容器对地的速度。试指出上述方程中哪个是容器对地的速度。试指出上述方程中哪个是错的，错在何处？说明原因并改正之。错的，错在何处？说明原因
4、并改正之。2V1V 第第一一式错。式错。因为小球沿球形内壁滑下时，它相对于容因为小球沿球形内壁滑下时，它相对于容器作圆周运动，由于小球下滑，容器同时器作圆周运动，由于小球下滑，容器同时在桌面上滑动，在桌面上滑动，小球相对桌面小球相对桌面作曲线运动，作曲线运动，轨迹不是圆周轨迹不是圆周。此人列的。此人列的第一式中的第一式中的R应是应是小球的轨迹在小球的轨迹在A A点时的曲率半径，而不是圆点时的曲率半径，而不是圆的半径的半径R R，此式错了。此式错了。 正确解法是：正确解法是：选选容器容器为参照系，小球相对容器作圆周为参照系，小球相对容器作圆周运动，在小球落至运动，在小球落至A处这一时刻，处这一时
5、刻，容器容器无竖直方向（法向）加速度，竖直方向无竖直方向（法向）加速度，竖直方向惯性力等于零。因此惯性力等于零。因此RmVmgN/2 1211VVV021 MVmVmgRmVMV21222121练习（练习（52685268）如图所示，一个质量为如图所示，一个质量为M=4kg 表面光滑的圆弧形凹槽，半径表面光滑的圆弧形凹槽，半径R=0.2m， 静止放在光滑的水平地面上。槽的静止放在光滑的水平地面上。槽的A端端 与圆弧中心与圆弧中心O在同一水平面上，在同一水平面上，B端和端和 O的连线与竖直线夹角为的连线与竖直线夹角为 ，有，有 一质量为一质量为m=1kg的小滑块自的小滑块自A端从静止端从静止 开
6、始沿槽面下滑，求：滑块由开始沿槽面下滑，求：滑块由B端滑出端滑出 时，槽相对地面的速度。时，槽相对地面的速度。 60oAB练习（5268）解答22212121cosmVMVmgR021xxmVMVxxVVV122cos21212 2212)cos2(VVVVV)(cos1cos2cos21MmmRgMmmVsmV/144. 01第五章第五章 刚体的转动刚体的转动一、基本概念一、基本概念 2刚体的刚体的平动平动(Translation) 刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中，刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中， 保持原方向不变。保持原方向不变。1刚体刚体(Rigid Body)（理想模型）
7、（理想模型）动画动画动画动画3刚体的转动刚体的转动(Rotation)4刚体刚体定轴转动定轴转动角坐标角坐标 :刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动 ddt ddt 角速度角速度:角加速度角加速度:vr 2tnarar 动画二、刚体定轴转动二、刚体定轴转动,ooir i iF A 在在A点取质量元点取质量元im 的运动遵循牛顿第二定律的运动遵循牛顿第二定律( ) iiiFm a im ( ) ()tii iiinma ta n 同时叉乘方程两边同时叉乘方程两边ir () ()()iiiitiiiniir Fma r ta r n 2()iiiir Fmr 0 方程两
8、边同时求和方程两边同时求和M 合合外外力力矩矩:JMJ 合合外外力力矩矩2()iiiirFmr 转动惯量转动惯量0M 合合外外三、转动定律三、转动定律第一转动定律：第一转动定律：0 iF 类比有类比有:时时 绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保 持原有的运动状态不变。持原有的运动状态不变。 0va 恒恒量量由牛顿第一定律：由牛顿第一定律： 0恒恒量量 刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所获得的角加速度的乘
9、积。获得的角加速度的乘积。dMJJdt 第二转动定律：第二转动定律： Fma 牛顿第二定律：牛顿第二定律：类比有类比有:四、转动惯量四、转动惯量J 质点质点 质点系质点系 刚体刚体转动惯量与（转动惯量与（a）刚体的质量）刚体的质量m有关；有关； （b）与）与m的分布有关；的分布有关； （c）与转轴的位置有关）与转轴的位置有关常见均匀刚常见均匀刚 体的转动惯量体的转动惯量 见书见书P P2612Jmr 21ni iJm r 2Jr dm 几种常见刚体的转动惯量：几种常见刚体的转动惯量：Lm细棒细棒231mLJ 细棒细棒2121mLJ 薄圆环薄圆环或薄圆筒或薄圆筒2mRJ 圆盘或圆盘或圆柱体圆柱体
10、薄球壳薄球壳221mRJ Rm232mRJ 球体球体252mRJ mLRmRmRm* 平行轴定理平行轴定理 以以 m 表示刚体的质量，表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心表示它通过其质心 c 的轴的轴的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚则此刚体对于后一轴的转动惯量为：体对于后一轴的转动惯量为：2mdJJc mL2121mLJc Lm*垂直轴定理垂直轴定理例：例：22)2()121(LmmLJ 231mL xyzyxzJJJ c 五、五、 转动定律的应用转动定律的应用( )( )( )tttM J用求导的方法用求导的方法积分加初始条件积分加
11、初始条件dMJJdt ( )( )( )Mttt J刚体定轴转动的两类问题：刚体定轴转动的两类问题：例例1. 一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量悬有质量 为为 m1 和和 m2 的物体的物体，m1 m2 ，滑轮的滑轮的 质量为质量为 m ，半径为，半径为 R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩为力矩为 Mr ，绳与滑轮间无相对滑动。，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。试求：物体的加速度和绳的张力。已知：已知： m1，m2 ，m， R ，Mr求：求：21,T T a.1m2mmR动画动画解解: 研究对象
12、研究对象 m1 ，m2 ，m 建立坐标，受力分析建立坐标，受力分析 如图如图ygm11Tgm22Tm1T2T0.1m2mmRrM对各隔离体写出运动方程：对各隔离体写出运动方程：对对m1 ：1111Tm gm a对对m2：2222m gTm a 对对m：211221122, , aaRJmRTTTT 21rT RT RMJ 1a2a又：又：2112()12rMmm gRammm 联立求得：联立求得：121121(2)212rMmmm gRTmmm 212121(2)212rMmmm gRTmmm 注意：注意：当不计滑轮的质量当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：及摩擦阻力时：0, 0rmMgmmmma2
13、112)( gmmmmTT2121212 这便是中学所熟知的结果这便是中学所熟知的结果问：如何求角加速度？问：如何求角加速度？根据根据 可求得可求得taR 例例1 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为绳的两端分别悬有质量为 和和 的的 物体，滑轮质量为物体，滑轮质量为m，半径为，半径为 ，其，其 转动惯量可按转动惯量可按 计算（视为圆计算（视为圆 盘），绳与轮之间无相对滑动，试盘），绳与轮之间无相对滑动，试 求物体的加速度求物体的加速度 和绳的张力。和绳的张力。a212Imr 1m2mr12()mm 解：解： 注意：注意：题中滑轮题中滑轮不是不是
14、轻质滑轮，轻质滑轮，是有质量的刚体。是有质量的刚体。所以，两边所受张力所以，两边所受张力不同不同。2222m gTm a1111Tm gm a 21T rT r 221mrIJ滑轮raaa12滑轮Jygm11Tgm22Tm1T2T0.1m2mmr1a2a例例2 2（01580158）电风扇在开启电源后，经过电风扇在开启电源后，经过 时间达到了额定转速，此时相应时间达到了额定转速，此时相应 的角速度为的角速度为 。当关闭电源后，经。当关闭电源后，经 过过 时间风扇停转。已知风扇转子时间风扇停转。已知风扇转子 的转动惯量为的转动惯量为J，并假定摩擦阻力矩，并假定摩擦阻力矩 和电机的电磁力矩均为常量
15、，试根据和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。已知量推算电机的电磁力矩。 1t0 2t在在 内内解：关闭电源后，关闭电源后，经过经过 时间时间)11(210ttJM电磁 结果：结果：10 t 1 MMJ 电磁电磁摩擦摩擦2t2MJ 摩摩擦擦01 10t02 20t例例3 3（50315031）转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为J， 在在 时角速度为时角速度为 。此后飞轮经。此后飞轮经 历制动过程。阻力矩的大小与角速度历制动过程。阻力矩的大小与角速度 的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为 （ 为为 大于零的常数）。当大于零的常数）。当 时，时， 飞
16、轮的角加速度飞轮的角加速度 。从开始制。从开始制 动到动到 所经历的时间所经历的时间0t 0 kk103 ? 103 ?t 解：（1）当）当 时，飞轮的角加速时，飞轮的角加速 度度103 ? 2Mk 阻阻力力J 103 ， ，209kJ 时时设开始制动的时刻为设开始制动的时刻为（2）从开始制动到）从开始制动到 所经历的时间所经历的时间103 2Mk 阻阻力力J dJdt 2dkdtJ 0t 001320tdkdtJ 02Jtk 例例4 4（01150115）有一半径为有一半径为R的圆形平板平放的圆形平板平放 在水平桌面上，平板与水平桌面的在水平桌面上，平板与水平桌面的 摩擦系数为摩擦系数为 ，
17、若平板绕通过其中，若平板绕通过其中 心且垂直板面的固定轴以角速度心且垂直板面的固定轴以角速度 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？开始旋转，它将在旋转几圈后停止？ 0 OO 解：MJ 摩摩擦擦23dMmgRJdt 摩摩擦擦22132mgRmRdd 210043gdRd 2 n20316Rng 作业：P286 287 5.11 5.12 5.13预习：P266 276复习：P251 266补充作业补充作业（写在作业本上，交上来（写在作业本上，交上来）（01640164）如图所示的大圆盘，质量为如图所示的大圆盘，质量为M，半径为，半径为R，对于，对于过圆心过圆心o o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为点
18、且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 。如如果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为m，半径，半径为为 ，且，且 。已知挖去的小圆盘相对于过。已知挖去的小圆盘相对于过o点且垂直点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为于盘面的转轴的转动惯量为 ，则挖去小圆盘后剩余，则挖去小圆盘后剩余部分对于过部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？r2rR 答案：21(43)2JMm r 232mr212MRoRr当刚体在力矩当刚体在力矩 作用下从作用下从 转到转到时，力矩所做的功为：时，力矩所做的功为：21AMd 六、六、刚体转动的
19、功和能刚体转动的功和能1力矩做功力矩做功r F o dsdr d M 合外力合外力 对对 刚体所作的元功：刚体所作的元功：F cosdAF drFds sin)(rdF（ 与与 互余）互余） sinFrM 合合 外外 力力 矩矩而而dAM d 1 2 2. 刚体转动动能刚体转动动能考虑刚体上第考虑刚体上第 i 个质元，质量为个质元，质量为 的动能的动能im 整个刚体的动能为整个刚体的动能为1m im 221iikivmE kikEE2221iiRm 2221iiRmim iivR 速度为速度为J212kEJ 刚体的转动动能刚体的转动动能212kEmv3.定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理由质
20、点系：由质点系：类比：类比：kabEmvmv 2221210AM d 合合外外力力矩矩2201122kJJE 合外力矩对定轴转动的刚体所作的功，合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚等于刚体转动动能的增量。体转动动能的增量。A内力矩内力矩？baAAF dr 外外力力 力 力内内质心质心质量中心质量中心1.质心的质心的位置矢量位置矢量111NNi ii iiicNiim rm rrmm 1Niiicm xxm 1Niiicm yym 1Niiicm zzm 分量：分量：质点系：质点系：对连续分布的物质，对连续分布的物质，可以将其分为可以将其分为N个小质元：个小质元：mxdmmmxxN1iii
21、c 1Niiicymydmymm 1Niiiczmzdmzmm 质心是相对于质点系本身的一个特定位置质心是相对于质点系本身的一个特定位置,其相对位置不随坐标系选择而变化。其相对位置不随坐标系选择而变化。1Ni iicm rrdmrmm 2.质心运动定理质心运动定理ccdvdPmtFdmadt:F质点系合外力质点系合外力质点系总质量质点系总质量:ca质心加速度质心加速度:m例：例：任意三角形的每个顶点有一质量任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。，求质心。xyo（x1，y1）x2332121xxmmxmxxc 3311ymmyyc 解：解：例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一静止均匀例：水平桌面上
22、拉动纸，纸张上有一静止均匀球，球的质量球，球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为，纸被拉动时与球的摩擦力为 F，求：，求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？秒后球相对桌面移动多少距离？xyo解：解：cFMa MFac 2212ccFxMa ttM4. 刚体的势能刚体的势能一个不太大的刚体的重力势能一个不太大的刚体的重力势能 = = 它的全部质它的全部质量集中在质心时所具有的势能量集中在质心时所具有的势能 刚体重力势能刚体重力势能：刚体：刚体质心质心与重力势能零点（地面）与重力势能零点（地面） 的的 高度差高度差chPcEmgh 重重注意注意：功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚功能原理适应于纯质点
23、系统也适应于纯刚 体系统同时也适应于（体系统同时也适应于（质点质点+ +刚体刚体）的混合）的混合 系统。但计算动能时系统。但计算动能时必须注意必须注意212kEJ 刚体动能刚体动能5.刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理2111nniiAAEE 外外非非 内内6. 刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律2111nniiEE常常量量0AA外外非非 内内若：若：则：则：cmgh常数常数 221J若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒。守恒。例例. 一质量为一质量为 m 长为长为 L 的均匀细棒的均匀细棒 OA 可绕通过其一端的光滑轴可绕通过其
24、一端的光滑轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，今使棒从水平位置开始自面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时由下摆，求细棒摆到竖直位置时（1）质心）质心 C 和端点和端点 A 的线速度的线速度（2）质心）质心 C 的线加速度的线加速度解法一（解法一（1）研究对象：细棒研究对象：细棒受力分析：受力分析：mg （ 不考虑）不考虑）N 力矩力矩sin2LrFmg Cmg OA零势面零势面CAr cos2mgL动能定理：动能定理：0AM d 合合外外力力矩矩)(21202 J20cos2Lmgd 2212 JmgL= 02)31(mLmgLJmgL Lg3 ccRv方向：向左方向：
25、向左OA Cmg 零势面零势面CA AARvca tcaR 0因竖直位置因竖直位置M=0 =0gLLgRacn23232 （2）sincos22LLrFmgmg gLL3212 gLL3 解法二解法二 用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功）用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功） mgL221 J)31(2mLJ 3mgLgJL 解法三解法三 用运动方程用运动方程（转动定律）求解：（转动定律）求解：MJ 21sin23LmgmL研究对象：细棒研究对象：细棒受力分析：受力分析：mg （不考虑（不考虑N）运动方程：运动方程：3cos2gL cos23Lgdtd3cos2ddddgLt OA Cgm零势面
26、零势面CA 200cos23dLgdLg23212 Lg3 2Lmg LJ 七、定轴转动的角动量定理七、定轴转动的角动量定理1冲量矩冲量矩2刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量3刚体刚体系系定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理21ttMdt Pmv （）21212111 nntiitM dtLLJJ 外外MdtdL 微分形式微分形式积分形式积分形式dLMdt 4刚体系刚体系角动量守恒定律角动量守恒定律 0M 合合外外力力矩矩若若21 LLL，恒恒矢矢量量21 JJJ ，恒恒量量计算角动量时计算角动量时注意注意： 质点质点角动量角动量Lrmv 刚体刚体角动量角动量LJ 有刚体时有刚体时切
27、忌切忌用用动量动量守恒，守恒，只能只能用用角动量角动量守恒守恒 注意：刚体注意：刚体系系定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律适应于纯质和角动量守恒定律适应于纯质 点系统也适应于纯刚体系统同点系统也适应于纯刚体系统同 时也适应于（时也适应于（质点质点+ +刚体刚体）的）的 混合系统。混合系统。例例5（0232）空心圆环可绕光滑的竖直空心圆环可绕光滑的竖直 固定轴固定轴AC自由转动，转动惯量为自由转动，转动惯量为J0， 环的半径为环的半径为R，初始时环的角速度，初始时环的角速度 为为 0。质量为。质量为m的小球静止在环内的小球静止在环内 最高处最高处A点，由于某种微小干扰，小
28、点，由于某种微小干扰，小 球沿环向下滑动，问小球滑到与环球沿环向下滑动，问小球滑到与环 心心O在同一高度的在同一高度的B点和环的最低处点和环的最低处 的的C点时，环的角速度及小球相对与点时，环的角速度及小球相对与 环的速度各为多少？环的速度各为多少？（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径视为质点，环截面半径 ）小球受力：小球受力：环受力：环受力：重力、与轴、与小球重力、与轴、与小球之间作用力之间作用力对所有力的力矩分析可知：对所有力的力矩分析可知：两物体所受力两物体所受力关于关于轴轴 的力矩的力矩均等于均等于零零。oo rRoo AmgBC
29、oRNmgN 所以，所以，在在 轴方向轴方向角动量守恒角动量守恒由于它们在运动过程由于它们在运动过程中，中，在在 轴向轴向所受合所受合外力矩为零，外力矩为零，选小球和环为系统，选小球和环为系统，oo oo oo AmgBCoRN对对A、B点有点有:2000()JJmR选（小球选（小球+环环+地球）地球）为系统，为系统， 则系统机械则系统机械能守恒。能守恒。 取过环心的水取过环心的水平面为势能零点。平面为势能零点。o AmgBCoRmgN22222000111()222BJmgRJmRV2200202BJRVgRJmR 对于对于A、C点有点有000JJ 222000111(2 )222CJmgR
30、JmV4CVgR 例例6（0786）一质量均匀分布的圆盘，质一质量均匀分布的圆盘，质 量为量为M，半径为，半径为R，放在一粗糙水平，放在一粗糙水平 面上，圆盘可绕通过其中心面上，圆盘可绕通过其中心O的竖直的竖直 固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止， 一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度V0垂直垂直 于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边 上，求（上，求（1）子弹击中圆盘后，盘所）子弹击中圆盘后，盘所 获得的角速度获得的角速度 （2）经过多少时间后，圆盘）经过多少时间后，圆盘 停止转动停止转动（忽略子弹重力造（忽略子弹重力造
31、 成的摩擦阻力矩）成的摩擦阻力矩）（1）解：解：子弹击中圆盘后，圆盘子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度所获得的角速度R0v m子弹和圆盘在碰撞前子弹和圆盘在碰撞前后后角动量守恒角动量守恒2201()2mv RMRmR 012()mvMm R 23dMmgRJdt 摩摩擦擦（2）经过多少时间后，圆盘停止转动）经过多少时间后，圆盘停止转动解一：解一：根据定轴转动定律根据定轴转动定律MJ dJdt 00023tmgRdtJd 解二：解二：对（圆盘对（圆盘+ +子弹）应用角动量定理子弹）应用角动量定理210ttM dtJ 摩摩221()2MRmR 0fMtJ 0mv R 03 2mvtMg 作业：作业
32、：P287288 5.15 5.16 5.19 5.20例例7（0141）一匀质细棒长为一匀质细棒长为2L，质量，质量 为为m。以与棒长方向相垂直。以与棒长方向相垂直 的速度的速度 V0在光滑水平面内平动时与前方一在光滑水平面内平动时与前方一 固定的光滑支点固定的光滑支点O发生完全非弹性发生完全非弹性 碰撞。碰撞点位于棒碰撞。碰撞点位于棒 中心的一方中心的一方L/2处，处， 如图所示。如图所示。 求棒在碰撞后的瞬时绕求棒在碰撞后的瞬时绕 O点转动时的角速度点转动时的角速度 BA0VoL2L2LL2L2LoAB0V解：解： 碰撞前后碰撞前后角动量角动量守恒守恒 。 计算碰撞计算碰撞前前瞬时，杆瞬
33、时，杆 对点对点o的角动量大小的角动量大小 棒上所有点棒上所有点角速度不同角速度不同 但有相等的但有相等的平动平动速度。速度。 在棒上任意处取质量在棒上任意处取质量 元元dmrdrdrdm总长度总质量特点：特点：dm 质量元质量元 相对相对o点的点的角动量角动量大小大小dmsin)(0dmVrdL dmrV0drLmrV203220000LLLV rdrV rdr 前前20012V LmV L L2L2LoAB0Vrdrdm 棒上所有点棒上所有点平动平动速度速度不不 同同，但有相等的，但有相等的角速度角速度。221 3311()()3 4242LJmLmL 后后 计算碰撞计算碰撞后后瞬时，杆对
34、瞬时，杆对 点的角动量大小点的角动量大小 结论：结论： LV760特点：特点：L2L2LoAB0V rdrdm例例8（0785）如图所示，一半径为如图所示，一半径为R，质，质 量为量为 的水平圆台，正以角速度的水平圆台，正以角速度 绕通过其中心的竖直固定光滑轴转绕通过其中心的竖直固定光滑轴转 动，转动惯量动，转动惯量 。台上原站有。台上原站有 俩人，质量各等于转台质量的一半，俩人，质量各等于转台质量的一半， 一人站于台边一人站于台边A处，另一人站于距台处，另一人站于距台 中心中心 的的B处。今处。今A处的人相对于原处的人相对于原 台以速率台以速率V顺着顺着圆台转向沿圆周走动，圆台转向沿圆周走动
35、， 同时同时B处的人相对于原台以速率处的人相对于原台以速率2V逆逆 圆台转向沿圆周走动。求圆台这时圆台转向沿圆周走动。求圆台这时 的角速度的角速度 。m0212JmR 12RVRoBAV2例例8 8（07850785）解答解答（转台（转台+二人）对转轴二人）对转轴 角动量守恒角动量守恒走动前走动前台台0221mRL 台A处人处人2011()22AAALrm VmR 地地B处人处人20111()()222BBBLrm VmR 地地走动后台221mRL 台A处人1()(2AAALrm VV 台台台台地地）21()2VmRR B处人1()(2BBBLrm VV 台台台台地地）2114() ()22V
36、mRR 结果：0刚体定轴转动与质点一维运动的对比刚体定轴转动与质点一维运动的对比位移位移x 角位移角位移 速度速度dxdtv 角速度角速度ddt 加速度加速度22dtxddtdva 角加速度角加速度22dddtdt 质点一维运动质点一维运动刚体定轴转动刚体定轴转动质量质量m转动惯量转动惯量dmrJ 2力力F 力矩力矩MrF 运动定律运动定律Fma 转动定律转动定律MJ 角动量角动量Lrp 角动量角动量 JLi动量定理动量定理2121ttFdtmvmv 角动量定理角动量定理2121ttMdtJJ 动量守恒定律动量守恒定律0 iF 恒量恒量 iivm角动量守恒定律角动量守恒定律0M ，恒量恒量 J
37、动量动量pmv 动量动量质心质心vmp 质点一维运动质点一维运动刚体定轴转动刚体定轴转动力的功力的功 AFdr 力矩的功力矩的功 AM d 动能动能221mvEk 转动动能转动动能221 JEk动能定理动能定理21222121mvmvA 外外21222121 JJA外外转动动能定理转动动能定理重力势能重力势能mgh重力势能重力势能质心质心mgh机械能守恒定律机械能守恒定律时时非保内非保内外外 0 AA恒量恒量 pkEE时时非保内非保内外外 0 AA机械能守恒定律机械能守恒定律恒量恒量 pkEE2mrJ21inirmJdmrJ2rV刚 体 的 定 轴 转 动 主 要 内 容一、线速度与角速度关系
38、二、转动惯量 质点 质点系 刚体三、转动定律四、力矩的功五. 刚体转动动能六.定轴转动的动能定理dtdJJM21MdA221JEk2112222121JJA外七.定轴转动的功能定理八.定轴转动的角动量定理 质点角动量 niniEEAA1112非内外ninittLLdtM111221外VmrL刚体角动量JL 所有点有相同的角速度所有点有相同的线速度sin)(0dmVrdL sin)(dmVrL（定积分）作业解答P225 227 4.2 RdmgmgANfmgNfmgFF40)sincos(0cos0sin4.3 40sinRdmgAg40cosRdmgAf2126102 . 4hhhsghdhAsdhhghgdmdAsPAT151 4.4 2222121113)0(qVVdtdmdtdEWqVVFPqVVdtdmFVdmFdtk4.9 当以物体的平衡位置为竖直y轴的坐 标原点，且物体的位置坐标为y时2202002121)(21kyEEEmgyEkyyykEkymgPPPPP重弹重弹y0yo原长处
