1、数学建模方法与范例数学建模方法与范例理学院数学系 赫孝良理科楼-310Email: 数学建模的一些方法数学建模的一些方法1.提问题法提问题法1）这个问题与什么问题相类似？2）改变问题的某些条件会怎样？3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？4）重新组合又会怎样？5）我们还可以做些什么工作？6) 还有没有需要进一步完善的内容？7）可否换一种数学工具来解决问题？ 抓住问题的关键词，然后不受约束的浮想联翩； 把联想到的内容记在卡片上。 通过对卡片上的内容琢磨，激发产生新的主意。 通过对这些卡片的整理，形成解决问题的初步思路。2. 关键词联想法关键词联想法3. 整体把握问题法整体把握问题法 将问题分为“
2、三要素”，既初态、目标态和过程。 初态：察觉到的现在状态。 “有什么”：如已知的条件、数据等。 目标态：察觉到的希望目标。 希望什么、避免什么。 过程：在初态和目标态之间发生作用的行动。 “做什么” 形成研究对象的一个整体机构。形成研究对象的一个整体机构。 一一.问题问题 1.1 背景 在通信工程中，信号的可靠性是至关重要的，在信号的传输过程中，往往遇到噪声干扰，干扰可能来自系统的外部，也可能有系统本身的非线性输出过程产生。例如有一非线性系统：其输入与输出的关系是 (其中t是时间)，那么当输入是包含频率 的信号 时，输出y(t)中不仅包含输入信号而且还会出现 等新的频率成分,这些新的频率称为交
3、调,如果交调的频率出现在原有频率 的附近，就会产生干扰。2(t)u(t)u (t)y12,ff12u(t)cos(2)cos(2)f tf t( ,1,2)ijffi j12,ff非线性交调的频率设计非线性交调的频率设计1.21.2、 具体问题具体问题 现有一SCS(非线性)系统,其输入输出关系由如下一组数据给出：其中A1=25，A2=10，A3=45式输入信号的振幅，对输入信号频率的设计要求为：112233( )cos(2)cos(2)cos(2)u tAf tAf tAf t1233640,4150,4655fff(1)(2) 输出中的交调均不得出现在 的范围内(i=1,2,3), 此范围
4、称为 的接受带（如下图）5if if输入信号为:输入u0510203040506080输出y02.256.8020.15 35.7056.4075.1087.8598.50(4) 不得出现在的 接收带内（ i,j=1，2，3，ij)(5)为简单起见， 只取整数值，且交调只考虑2阶类型 （即 ，i,j=1，2，3）和3阶类型（即 ，i ，j，k=1，2，3）。(3) 定义输出的信噪比 （单位:dB），其中Bi是 输出中对应于频率为 的信号的振幅，Cn是某一频率为 的交调的振幅。若 出现在处 （i=1,2,3）,则 对应的SNR应大于10 分贝 。2210lginBSNRCifnfnf6niff
5、ifjfijffifijkfff二二. 数据拟合数据拟合2.12.1概念概念 在生产和科研等实际问题当中,常常通过实验测量得到一批离散数据.这些数据是问题内在规律的反映.这种规律用数学语言来描述就是函数关系。数据拟合就是通过已知数据,去寻找某个近似函数,使所得的函数与已知数据有较小的误差。求求60600C时的电阻时的电阻R。2040608010070080090010001100 设设 R=at+ba,b为待定系数为待定系数例例1. 1. 已知热敏电阻数据：已知热敏电阻数据：温度温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R( ) 765 826 873 942 1
6、032 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c ( g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一快速静脉注射下的血药浓度数据已知一快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射注射300mg)求血药浓度随时间的变化规律求血药浓度随时间的变化规律c(t).作半对数坐标系作半对数坐标系(semilogy)下的图形下的图形为待定系数kcectckt,)(0002468100101102例例2.2.+xyy=f(x)(xi,yi)i数据拟合的一般提法为数据拟合的一般提法为: : 已知某函数y=f(x)的一组测量数
7、据 (xi,yi)(i=1,2,n),要寻求一个函数g(x),使g(x)与上述测量数据在某种准则下最为接近。 即g(xi)yi,则可以用g(x)近似代替f(x)。221111,. ,( ) ()()iiinnmiiiikkiiiiixywing xsw g xywa gxy 给定一组数据（ ， ），权系数 ，求一广义多项式，使达到极小。2.2.2.2.线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合00( )( )( ),mkkmkkkgxg xa gx设是 线 性 无 关 的 函 数 系称 为 广 义 多 项 式 问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2, am 使使 s 最小。最小。 因为因为a1,a2,
8、 am 都以线性形式出现,故称此方法为线性最小二乘拟合。权系数wi根据需要可灵活选择。111110(1,2,. )()()0()()(),(1,2,. )knmijjiikiijmnnijikijiikijiikmawa gxy gxw gx gxaw y gxkm s由 得整理得0( )mkkgx 上方程称为正规方程组. 对于给定的测量数据,只要函数系 选得合适,就可以从正规方程组中解出a1,a2, am .2.3.2.3.多项式插值拟合：多项式插值拟合：101,. ,( )( )iinkkkiixying xa xg xy给定一组数据（ ， ），求一多项式，使2.4.2.4.样条函数拟合样
9、条函数拟合( (略略) )g(x)=a1g1(x)+ +amgm(x)中函数中函数gg1 1(x), (x), g gm m(x)(x)的选取的选取 1. 1. 通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 g(x)g(x)；+g=a1+a2xg=a1+a2x+a3x2g=a1+a2x+a3x2g=a1+a2/xg=aebxg=ae-bx 2. 2. 将数据将数据 (xi,yi) i=1, n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 g(x)： 3. 3. 取取g(x)为为x 的多项式函数的多项式函数 函数形式函数形式 功能功能 Fitdate，funs，vars 用变量
10、为vars,函数类为funs,按 最小二乘法拟合一组数据dateInterpolatingPolynomialf1,f2,x 求点i,fi,i=1,2的插值多项式InterpolatingPolynomialx1,f1,x2,f2,x 求点xi,fi,i=1,2的插值多项式Interpolationx1,f1,x2,f2, 求点xi,fi,i=1,2的近似函数 (分段多项式插值)Mathematica的的拟合函数：拟合函数：三.非线性交调的频率设计参考解答 1. 1. 问题分析问题分析交调交调什么是交调?交调是如何产生的?输入输出关系交调的阶?避免交调的影响选择频率确定信噪比交调及其阶交调及其
11、阶)(2cos)(2cos21) 122cos21()(2cos2cos2cos)(2121211212332211tkktkkAAtkAtutkAtkAtkAtuuk(t)可能产生可能产生k阶类型的交调阶类型的交调;1).不考虑系统外部的干扰。2).拟合出的输入输出关系，对输入信号 自变量u(t)为负的部分也是成立的。注注: 假设是论文研究中要用到的, 不要硬凑. 不要写题目明确给出的条件. 假设个数不要太多(不超过7、8条). 在研究过程中对假设进行修改。2.模型假设模型假设3.3.模型建立与求解模型建立与求解确定输入输出关系配置频率确定信噪比数据拟合理论分析、计算机计算系数的确定 (1)
12、.输入输出关系的确立输入输出关系的确立 根据题目给出的数据条件,首先要确定输入 输出的函数关系.这是一个曲线拟合问题。 由于交调是因为输入u(t)的乘方产生的.故此处用多项式拟合输入输出关系是恰当的。输入u0510203040506080输出y02.256.8020.15 35.7056.4075.1087.8598.50用什么函数拟合？ 那么,我们试用不同次数的多项式进行拟合来比较,结果发现: 用4次的多项式进行拟合时,拟合出的多项式,其次数4的项的系数非常小(10),以致不会对结果产生影响。 故用三次多项式进行拟合已达到精度了。 uk(t)可能产生k阶类型的交调; 题目要求考虑二阶和三阶类
13、型的交调; 故最高次数必定3。拟合多项式的最高次数是多少? 注注: 拟合函数一般只对内插有效拟合函数一般只对内插有效, 外推一般不可靠。外推一般不可靠。设拟合多项式为:230123 y(t)=a( )( )( )a u ta uta u t 在所给的数据中有u=0时,y=0.故选取a0=0较好。于是拟合多项式化为:23123 y(t)=( )( )( )a u ta uta u t(3.1)(3.2)112233 y= xxxaaa 用线性最小二乘拟合，对y(t)进行三元回归确定系数。记23123,xu xuxu(3.3)则(3.2)式变为 2i11i22i33i1 (y xxx) ,9niS
14、aaan令123,a a a求 使S为最小。由 ，得正规方程组:0,1,2,3iSia211212313111112121223232111121312323331111,nnnniiiiiiiiiiinnnniiiiiiiiiiinnnniiiiiiiiiiiaxax xax xx yax xaxax xx yax xax xaxx y1230.24409 0.045383 -0.00041327aaa解得： 高阶误差为2.6716e-007，故三阶拟合是比较精确的。得输入输出关系式为： 01020304050607080010203040506070809010023( )0.24409
15、( )0.045383( )0.00041327( ) y tu tu tu t拟合曲线如图：(3.4)也可以用也可以用Mathematica求出求出拟合函数：拟合函数： 函数形式函数形式 功能功能 Fitdate，funs，vars 用变量为vars,函数类为funs,按 最小二乘法拟合一组数据date程序：程序：date = 0, 0, 5, 2.25, 10, 6.80, 20, 20.15, 30, 35.70, 40, 56.40, 50, 75.10, 60, 87.85, 80, 98.50Fitdate, u, u2, u3, u结果：结果：0.244091 u + 0.045
16、3829 u2 - 0.000413273 u3假设： 输入输出关系(3.4)对u(t)为负的部分也是成立。1,1,2,32, ,1,2,33, , ,1,2,3iijijkf iffi jfffi j k阶:阶:阶:(2) (2) 频率约束条件下的初步配置频率约束条件下的初步配置 将输入代入(3.4)式，经整理得到输出y(t)的频率成分有以下几种:31( )cos(2)kkku tAf t(3.5)输入1223640,4150,46556, ,1,2,36, , ,1,2,36 ,1,2,3ijkijkmijffffffi j kffffi j k mffi j 由约束条件（1），（2）,（
17、4）得如下不等式组：(3.6) 直接用计算机求解满足上述条件的频率组，计算量较大。先化简。因为：333776,1,2,3196 ,1,2,36, ,1,2,3ijijijkfffi jfffi jffffi j k 故约束条件只剩下3阶交调一部分：1223640,4150,4655( , )2( , , ) ijijkfffd i jffijg i j kfffijk (3.7) 用计算机求解满足（3.7）的频率组。具体作法是: 采用穷举法,逐一选出满足（3.7）式的频率组(在计算过程中,不妨设f1f210 (B)。因此,需从上述6组解中,进一步求出满足SNR要求的解。123123333331
18、1133331113(33, ,1 , ,1(cos )(cos )(cos )()()()222()2jjikkijkiijjkkijkIIIIII iijkijkI vvvijkv v vi j kyaAAAeeeeeeaAAAaAAAe 将y3表为复数形式3y1 12233123123(33,3()2i nnnnnnnnnayCe y3为周期函数，可将其展为Fourier级数：3 31 12 2123,31231 1 12 2 2InInInn n nCyeeed d d 于是y3中对应于单频率成份i的系数是)(,)(,)(,31, 0, 01 , 0, 020, 1, 00, 1 ,
19、010, 0, 10, 0, 1fCCfCCfCC对应对应对应归纳为一般形式： y3中对应于单频率成份i的系数C n1, n2 , n3满足 n1+ n2 + n3 1,且|n1|+| n2| +| n3| 1类似地得,y3中对应于频率成份2i-j,i+j-k的系数C n1, n2 , n3满足 n1+ n2 + n3 1,且|n1|+| n2| +| n3| 3.0, 0, 10, 0, 12312213133123)(1,31,330, 0, 1)663(22)2(11321321CCAAAAAadddeeAAAaCIvvvIvvvkjikjikji 故y3中对应于1的系数是：)663(4
20、22312213130, 0, 10, 0, 1AAAAAaCD得对应于频率f1的振幅为:)663(4231221313111AAAAAaAaB计算信噪比中所需频率的振幅。22133123)2()(1,31,330, 1, 2322)2(121321321AAadddeeAAAaCIvvvIvvvkjikjikji 22130, 1, 20, 1, 2432AAaCD得对应于频率2f1-f2的振幅为:类似得对应于频率f1+f2-f3的振幅为:32131, 1 , 143AAAaD归纳得y(t)中有关频率的振幅为:1对应于频率fi的振幅Bi(i=1,2,3)为)()663(422331ikjAA
21、AAAaAaBkijiiii2对应于频率2fi-fj的振幅(i=1,2,3.ji)为jiAAa23433对应于频率fi+fj-fk(i,j,k=1,2,3.ijk)的振幅为：321323AAAa 将上述各种频率的振幅用于(2)中求出的满足频率约束条件的6组配置,分别计算出有关的信噪比SNR,检验是否SNR10(dB).最终求出满足条件的解有二组: (36,42,55), (35,49,55)4.稳定性分析稳定性分析(1) 解关于拟合多项式系数的稳定性 由前可以看出，拟和多项式的系数不会影响交调频率的改变，但各种频率的振幅将随拟和多项式的系数发生变化。故须讨论拟合多项式系数变化时对信噪比的影响，
22、即当拟和多项式的系数在什么范围变化时，设计频率的解具有不变性(原解仍为解,非解仍为非解)。33221)()()()(tuatuatuaty设另一个拟和多项式为：类似得 中有关频率的振幅为:1对应于频率fi的振幅Bi(i=1,2,3)为)()663(422331ikjAAAAAaAaBkijiiii2对应于频率2fi-fj的振幅(i=1,2,3.ji)为jiAAa23433对应于频率fi+fj-fk(i,j,k=1,2,3.ijk)的振幅为：321323AAAa)(ty 计算有关的信噪比,并使1,2组频率仍为解,36组频率仍为非解。即可得 的变化范围, 在此范围内解是稳定的。321,aaa223
23、23232322322232132322213222221321)4(10)4(10)23(10)4(10)4(10AAaBAAaBAAAaBAAaBAAaB(2) 高阶拟合多项式高阶拟合多项式(4阶阶)对解的影响对解的影响前面在拟合输出函数时,采用的是三阶多项式.实际上大于等于4次的函数亦能够产生一阶、二阶、三阶的交调。但由于4次及4次以上的项其系数非常小(10-5)。故其产生的交调的振幅相对3次项产生的该交调的振幅的变化在的解的稳定范围之内。故用三次多项式作拟合函数是足够精确的。5.推广与改进推广与改进 两个有意义的推广是:(1) 将输入信号由3项改为n项。(2) 讨论输入输出曲线的拟合在负部进行其它假定下解的情况。作业 在网上搜索2篇论文，然后对这些论文给出一个综述。
