1、高一数学下册第八章立体几何初步单元知识达标卷-2020-2021年人教A版（2019）必修第二册一、单选题1一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）ABCD2如图的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）ABCD3三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内
2、径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） ABCD4已知，不在平面内的任意两点，给出以下命题：在内存在直线与直线异面；在内存在直线与直线相交；存在过直线的平面与垂直；在内存在直线与直线平行.其中正确的命题是（ ）ABCD5设、是空间两个不同平面，、是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若直线与相交，则与相交C若，则D若，则6如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题中错误的是（ ） AB与是异面直线C平面平面D平面7如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是（ ）AB平面平面C和与平面所成的角相等D异
3、面直线与所成的角和异面直线与所成的角相等8在三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD二、多选题9给出下列命题，其中是真命题的有（ ）A在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线B有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥C存在每个面都是直角三角形的四面体D半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球10如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A平面B的最小值为C平面平面D异面直线与所成角的最大值是11如图，为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线垂直于圆O所在的平面，点M是线段的中点，下列命题正确的是（
4、）A平面；B平面；C平面D平面平面12如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点为的中点，则下列判断正确的是（ ）A与所成的角为B平面C平面D三、填空题13若长方体的长，宽，高分别为3，5，4，且它的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是_14九章算术把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三梭柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”，其中，当“阳马”即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为_15如图，在三棱锥中，若，是的中点，则下列命题中正确的有_(写出全部正确命题的序号).平面平面；平面平面；平面平面，且平面平面；平面平面，且平面
5、平面.16如图，P是边长为2的正方形ABCD外一点，PAAB，PABC，且PC5，则二面角P-BD-A的余弦值为_四、解答题17如图，长方体的体积是24，E为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分（1）若，求多面体的表面积；（2）求三棱锥的体积18如图，在四棱锥中，底面，点E为棱的中点（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成的角19如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点是的中点（1）求证：平面；（2）已知，求三棱锥的表面积20如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）设，求二面角的余弦值.21在四棱台中，平面，垂足为M（1）证明：平面平面；（2）若
6、二面角正弦值为，求直线与平面所成角的余弦参考答案1B如图所示：因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是故选：B2A如图所示，由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为，所以原来的图形是平行四边形，其在横轴上的边长为1，高为，所以它的面积是故选：A3A由图可知，组合体的体积为：，故选：A4A如图示，在正方体中由，是不在平面内的任意两点，得直线或直线与平面相交，对于，当直线时，取平面为CDD1C1，则DD
7、1与AB异面；当直线与平面相交时，取平面为CBB1C1，则CC1与AB异面；故在内存在直线与直线异面，命题正确；对于，当直线时，直线与平面没有公共点，所以在内不存在直线与直线相交，故错误对于，当直线时，取平面为CDD1C1，则过直线的平面ABCD与垂直；当直线与平面相交时，取平面为CBB1C1，则过直线的平面ABCD与垂直；存在过直线的平面与垂直，命题正确；对于，当直线与平面相交时，在内不存在直线与直线平行，故错误.故选：A.5D对于A选项，若，则或，A选项错误；对于B选项，若直线与相交，则与相交或平行，B选项错误；对于C选项，若，则与的位置关系不确定，C选项错误；对于D选项，若，由面面垂直的
8、性质可得，所以，D选项正确.故选：D.6D连接，对于A，分别为中点，又，A正确；对于B，平面，平面，平面，直线与为异面直线，B正确；对于C，由A知：，又平面，平面，平面，同理可证：平面，平面，平面平面，C正确；对于D，且，平面，与相交，又平面，与平面相交，D错误.故选：D.7D底面为正方形，底面，底面，平面，又平面，故A正确；底面为正方形，底面，平面，平面，平面平面，故B正确；设，连接，平面，即为与平面所成的角，即为与平面所成的角，易得，为中点，故C正确；，异面直线与所成的角，且，又平面，平面，即异面直线与所成的角为，故D错误.综上，只有D选项错误.故选：D.8C如图，取中点，中点，连接，是等
9、边三角形，则因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，过作平面，则，因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，连接，设外接球半径为，由已知，在直角梯形中，所以球表面积为故选：C9CD解：对A：圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，因为圆台所有母线的延长线交于一点，且所有母线长相等，故A选项错误；对B：由棱锥的定义知，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故B选项错误；对C：如图，四面体ABCD的每个面都是直角三角形，故C选项正确；对D：半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体是一个球体，故D选项正确；故选：CD.10ABC正方体中，平面，平面，正方形中，平面
10、，故A正确；是正三角形，且边长为，当为中点时，取的最小值为，故B正确；正方体中，且，故四边形是平行四边形，平面，平面，平面，同理可得平面，平面平面，故C正确；易得，则异面直线与所成角即为与所成角，且当为中点时，与所成角的最大值为，故D错误.故选：ABC.11AD因为为圆O的直径，M是线段的中点，所以；又平面，平面，所以平面；即A正确；又平面，即平面，故B错；因为点C在圆O的圆周上，所以，故不与垂直，所以不可能与平面垂直，即C错；由直线垂直于圆O所在的平面，所以；又，平面、平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即D正确.故选：AD.12BCD对A，底面是正方形，则即为与所成的角，平面，故A错误；
11、对B，连接，底面是正方形，平面，平面，平面，故B正确；对C，设，连接，则是中点，又点为的中点，平面，平面，平面，故C正确；对D，,，故D正确.故选：BCD.13因为长方体的各顶点均在球面上，故球即为长方体的外接球，故长方体的体对角线即为球的直径，而长方体的体对角线的长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故答案为：.14由已知得将三棱柱置于长方体中，如下图所示，此时“塹堵”即三棱柱的外接球的直径为，三棱柱的外接球的体积为.故答案为：15因为，且是的中点，所以，同理有，因为，平面.所以平面.因为在平面内，所以平面平面.又由于平面，所以平面平面，故答案为：.16如图，PAAB，PABC，ABBCB，
12、PA平面ABCD又BD平面ABCD，PABD又四边形ABCD为正方形，BDAC，BD平面PAO(其中O为AC与BD的交点)，BOPO，POA为二面角PBDA的平面角又AB，AC4，AO2又PA，PO=，所以故答案为：17（1）；（2）（1）因为长方体的体积是24，E为的中点，所以，则，所以，因此，因此，所以多面体的表面积为；（2）因为在长方体中，侧棱和底面垂直，所以平面；由（1）可得三棱锥的体积.18（1）底面，平面，平面，平面，平面平面；（2）取中点，连接，分别是中点，且，又，且，且，四边形为平行四边形，则与平面所成的角即为与平面所成的角，底面，平面，平面，取中点，连接，则可得，平面，则即为
13、与平面所成的角，故与平面所成的角为.19（1）如图，连接交于点，连接，则是中点，又是中点，又平面，平面，所以平面；（2）因为，所以,所以平面ABCD，故,又,所以平面所以,所以三棱锥的表面积.20（1）证明：是圆的直径，又平面，平面，平面，平面.又平面，平面平面；（2）平面，平面，所以过作于，连接，,平面，所以平面则，即为二面角的平面角，.21（1）证明：连接，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，,所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）因为，所以，即，因为平面，平面，所以，因为,所以平面，因为平面，所以平面平面，因为二面角正弦值为，所以二面角的余弦值为，因为平面，平面，故，因为，所以为二面角的平面角，因为平面，平面，所以，所以，因为所以，所以，因为平面，所以为直线与平面所成角，所以，所以直线与平面所成角的余弦为
