1、10.1.1 有限样本空间与随机事件人教A版2019高中数学必修第二册1010. .1 1 随机事件与概率随机事件与概率 在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念, ,并学习了在试并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率，验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率， 本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质事件概率的性质. .研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从你所在的班级随机选择 10 名学生，
2、观察近视的人数；在一批灯炮中任意抽取一只，测试它的寿命；记录某地区 7 月份的降雨量；等等我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不确定出 现哪个结果可重复性可重复性可预知性可预知性随机性随机性思考 体育彩票摇奖时，将体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同分别标号个质地和大小完全相同分别标号0、1、2、9的球放入摇奖器中的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个经过充
3、分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码球的号码. 这个随机试验这个随机试验共有多少个可能结果共有多少个可能结果？如何表示这些结果如何表示这些结果？ 共有10种可能结果.如果用数字m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，所有可能结果可用集合表示为 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间 一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点在本书中，只讨论为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果1，2，n，则称样本空间 =1，2，n为有限样本空间 样本点：样本点： 随机试验随机试验E E的每的每个可能的基本结果个可能的基
4、本结果样本空间：样本空间：全体样本点的集合全体样本点的集合 有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象，从集合论的角度分析随机试验结果集合论的角度分析随机试验结果. .【例1】抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间【解析】因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果， 所以试验的样本空间可以表示为=正面朝上，反面朝上； 样本空间的表达形式不唯一如果用h表示“正面朝上”， t 表示“反面朝上”，则样本空间可以表示为= =h, ,t如果用1表示“正面朝上”， 0表示“反面朝上”，则样本空间可以表示为= =1, ,0【例2】抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面
5、的点数，写出试验的样本空间【解析】用i表示朝上面的“点数为i”由于落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6，共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为=1，2，3，4，5，6例题3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间. 解:掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是，试验的样本空间正面朝上1反面朝上0画树状图可以帮助我们理解此例的解答过程.=(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0).=(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面).对于只有对于只有两个可能结
6、果的随机试验两个可能结果的随机试验，一般用，一般用1和和0表示这两个结果表示这两个结果. 在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？ “球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件 我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，即 A=1，3，5，7，9 用B表示随机事件“球的号码为3的倍数”则B=0，3，6，9它们都是样本空间的子集 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示 为了描述方便
7、，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件 随机事件一般用大写字母A，B，C，.表示 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件 必然事件与不可能事件不具有随机性 为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形 这样，每个事件都是样本空间的一个子集 而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件随机事件随机事件: :样本空间的子集样本空间的子集 基本事件：基本事件：( (单元素集单元素集) )只
8、包含一个样本点的事件只包含一个样本点的事件必然事件必然事件( (全集全集) ) 不可能事件不可能事件( (空集空集) ) 巩固练习 在12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽出3件，下列事件中： 3件都是正品； 至少有1件是次品； 3件都是次品； 至少有1件是正品 其中随机事件有_，必然事件有_，不可能事件有_【例4】如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常”； N=“电路是通路”； T=“电路是断
9、路”ACB样本空间样本空间=(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1)解：解：分别用分别用x1, x2和和x3表示表示元件元件A、B和和C的可能状态，的可能状态，则这个电路的工作状态可用则这个电路的工作状态可用(x1, x2, x3)表示进一步地，表示进一步地，用用1表示元件的表示元件的“正常正常”状状态，用态，用0表示表示“失效失效”状态：状态：0 01 11 10 01 10 01 10 01 10 00 01 10 01 1“恰好两个元件正常恰好两个元件正常”等价于等价于(x1, x2, x3) ，且，且
10、x1, x2, x3中恰有两个为中恰有两个为1，“电路是通路电路是通路”等价于等价于(x1, x2, x3) ，x1=1，且，且x2, x3中至少有一个是中至少有一个是1，同理，同理，“电路是断路电路是断路”等价于等价于(x1, x2, x3) ，x1=0，或，或x1=1, x2=x3=0用集合表示下列事件：用集合表示下列事件： M =“恰好两个元件正常恰好两个元件正常”； N = “电路是通路电路是通路”； T = “电路是断路电路是断路”样本空间样本空间=(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)所以所以M
11、=(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)所以所以N=(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)所以所以T=(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,0)1.样本空间有关概念：样本空间有关概念：(2)样本空间样本空间： 2.随机事件有关概念：随机事件有关概念：(1)基本事件基本事件:只包含一个样本点的事件只包含一个样本点的事件.随机事件一般用大写字母随机事件一般用大写字母A，B，C，表示表示. 事件事件A发生：发生： 当且仅当当且仅当A中某个样本点出现中某个样本点出现.(3)必然事件：必然事件： 在每次试验中总有一个样本点发生在每次试验中总有一个样本点
12、发生. 为必然事件为必然事件.(4)不可能事件：不可能事件： 在每次试验中都不会发生在每次试验中都不会发生. 为不可能事件为不可能事件.(2)随机事件随机事件(简称事件简称事件)： 样本空间样本空间的子集的子集.随机试验随机试验E的每个可能的基本结果，的每个可能的基本结果，用用表示表示.(1)样本点样本点：全体样本点的集合，全体样本点的集合，用用表示表示.课堂小结1.1.从含有从含有8 8件正品、件正品、2 2件次品的件次品的1010件产品中，任意抽取件产品中，任意抽取3 3件件, ,则必然事件是则必然事件是( )( )A.3A.3件都是正品件都是正品 B.B.至少有至少有1 1件次品件次品C
13、.3C.3件都是次品件都是次品 D.D.至少有至少有1 1件正品件正品D D 当堂检测当堂检测2.2.在在1 1，2 2，3 3，1010这这1010个数字中，任取个数字中，任取3 3个数字，那么个数字，那么下列事件是不可能事件的是下列事件是不可能事件的是( )( )A.3A.3个数字相邻个数字相邻 B.3B.3个数字全是偶数个数字全是偶数C.3C.3个数字的和小于个数字的和小于5 D.35 D.3个数字全两两互质个数字全两两互质C 2 2. .一个盒子中装有标号为一个盒子中装有标号为1 1，2 2，3 3，4 4的的4 4张标签张标签. .写出满足下列条件写出满足下列条件的试验的样本空间的试
14、验的样本空间: :(1)(1)一次任取一次任取2 2张标签；张标签； (2) (2)不放回依次取不放回依次取2 2张标签；张标签； (3) (3)有放回依次取有放回依次取2 2张标签张标签. .)4,3(),4,2(),3,2(),4, 1(),3, 1(),2, 1(.)4 , 4(),3 , 4(),2 , 4(),1 , 4(),4 , 3(),3 , 3(),2 , 3(),1 , 3(),4 , 2(),3 , 2(),2 , 2(),1 , 2(),4 , 1 (),3 , 1 (),2 , 1 (),1 , 1 ()3,4(),2,4(),1 ,4(),4,3(),2,3(),1
15、 ,3()4,2(),3,2(),1 ,2(),4, 1(),3, 1(),2, 1(， 3. 袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 从中随机摸出一个球. (1) 写出试验的样本空间; (2) 用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”.解：(1) 样本空间为= 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 教材229页 ( (2 2) ) 事件事件A A= =1,2,3,41,2,3,4 ； 事件事件B B= =5,6,7,8,95,6,7,8,9 ； 事件事件C C= =2,4,6,8.2,4,6,8.
