1、2022年全国新高考I卷数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1若集合M=xx4,N=x3x1，则MN=（）Ax0x2Bx13x2Cx3x16Dx13x0)的最小正周期为T若23T，且y=f(x)的图象关于点(32,2)中心对称，则f(2)=（）A1B32C52D37设a=0.1e0.1,b=19，c=ln0.9，则（）AabcBcbaCcabDac0)上，过点B(0,1)的直线交C于P，Q两点，则（）AC的准线为y=1B直线AB与C相切C|OP|OQ|OA2D|BP|BQ|BA|212已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x)，若f322x，g(2+x
2、)均为偶函数，则（）Af(0)=0Bg12=0Cf(1)=f(4)Dg(1)=g(2)三、填空题131yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为_（用数字作答）14写出与圆x2+y2=1和(x3)2+(y4)2=16都相切的一条直线的方程_15若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_16已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则ADE的周长是_四、解答题17记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列(1)求an的通项公式；(
3、2)证明：1a1+1a2+1an1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0(1)求l的斜率；(2)若tanPAQ=22，求PAQ的面积22已知函数f(x)=exax和g(x)=axlnx有相同的最小值(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列试卷第4页，共4页参考答案：1D【解析】【分析】求出集合M,N后可求MN.【详解】M=x0x16,N=xx13，故MN=x|13x16，故选：D2D【解析】【分析】利用复数的除法可求z，从而可求z+z.【详解】由题设有1z=1i=ii2=i，故
4、z=1+i，故z+z=(1+i)+(1i)=2，故选：D3B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CDCB=2CACD，所以CB= 3CD2CA=3n2m =2m+3n故选：B4C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V棱台上底面积S=140.0km2=140106m2，下底面积S=180.0km2=180106m2，V=13hS+S+SS=139140106+180106+14018010
5、12=3320+60710696+182.65107=1.4371091.4109(m3)故选：C5D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率P=21721=23.故选：D.6A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T，得232，解得21)，因为f(x)=11+x1=x1+x，当x(1,0
6、)时，f(x)0，当x(0,+)时f(x)0，所以函数f(x)=ln(1+x)x在(0,+)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以f(19)f(0)=0，所以ln10919ln109=ln0.9，即bc，所以f(110)f(0)=0，所以ln910+1100，故910e110，所以110e11019，故ab，设g(x)=xex+ln(1x)(0x1)，则g(x)=x+1ex+1x1=x21ex+1x1,令h(x)=ex(x21)+1，h(x)=ex(x2+2x1)，当0x21时，h(x)0，函数h(x)=ex(x21)+1单调递减，当21x0，函数h(x)=ex(x21)+1单调递增，又h(0
7、)=0，所以当0x21时，h(x)0，所以当0x0，函数g(x)=xex+ln(1x)单调递增，所以g(0.1)g(0)=0，即0.1e0.1ln0.9，所以ac故选：C.8C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】 球的体积为36，所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2=2a2+h2，32=2a2+(3h)2,所以6h=l2，2a2=l2h2所以正四棱锥的体积V=13Sh=134a2h=23(l2l436)l26=19l4l636，所以V=194l3l56=19l324l26，当
8、3l26时，V0，当26l33时，V0得x33或x33，令f(x)0得33x0，f(33)=12390，f2=50，即函数fx在33,+上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)=x3x，该函数的定义域为R，hx=x3x=x3+x=hx，则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；令fx=3x21=2，可得x=1，又f(1)=f1=1，当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x1，当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：AC.11BCD【
9、解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=y，故准线方程为y=14，A错误；kAB=1(1)10=2，所以直线AB的方程为y=2x1，联立y=2x1x2=y，可得x22x+1=0，解得x=1，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立y=kx1x2=y，得x2kx+1=0，所以=k240x1+x2=kx1x2=1，所以k2或k2=|OA|2
10、，故C正确；因为|BP|=1+k2|x1|，|BQ|=1+k2|x2|，所以|BP|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k25，而|BA|2=5，故D正确.故选：BCD12BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为f(322x)，g(2+x)均为偶函数，所以f(322x)=f(32+2x)即f(32x)=f(32+x)，g(2+x)=g(2x)，所以f(3x)=f(x)，g(4x)=g(x)，则f(1)=f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32,x=2对称，又g(x)=f(x)，且函数
11、f(x)可导，所以g(32)=0,g(3x)=g(x)，所以g(4x)=g(x)=g(3x)，所以g(x+2)=g(x+1)=g(x)，所以g(12)=g(32)=0，g(1)=g(1)=g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.13-28【解析】【分析】1yxx+y8可化为x+y8yxx+y8，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因
12、为1yxx+y8=x+y8yxx+y8，所以1yxx+y8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6yxC85x3y5=28x2y6，1yxx+y8的展开式中x2y6的系数为-28故答案为：-2814y=34x+54或y=724x2524或x=1【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆x2+y2=1的圆心为O0,0，半径为1，圆(x3)2+(y4)2=16的圆心O1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为kOO1=43，所以kl=34，设方程为y=34x+t(t0)O到l的距离d=|t|1+916=1，解得t
13、=54，所以l的方程为y=34x+54，当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p0，k0,解得a0,a的取值范围是,40,+,故答案为：,40,+1613【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y212c2=0，根据离心率得到直线AF2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：x=3yc，代入椭圆方程3x2+4y212c2=0，整理化简得到：13y263cy9c2=0，利用弦长公式求得c=138，得a=2c=134，根据对称性将ADE的周长转化为F2DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.【详解】椭圆的离心
14、率为e=ca=12，a=2c，b2=a2c2=3c2，椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y212c2=0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，AF2=a，OF2=c，a=2c，AF2O=3，AF1F2为正三角形，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，直线DE的斜率为33，斜率倒数为3， 直线DE的方程：x=3yc，代入椭圆方程3x2+4y212c2=0，整理化简得到：13y263cy9c2=0，判别式=63c2+4139c2=6216c2，CD=1+32y1y2=213=264c13=6， c=138， 得a=2c=134， DE
15、为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2，AE=EF2，ADE的周长等于F2DE的周长，利用椭圆的定义得到F2DE周长为DF2+EF2+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=DF1+DF2+EF1+EF2=2a+2a=4a=13.故答案为：13.17(1)an=nn+12(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得Snan=1+13n-1=n+23，得到Sn=n+2an3，利用和与项的关系得到当n2时，an=Sn-Sn-1=n+2an3-n+1an-13,进而得：anan-1=n+1n-1，利用累乘法求得an=nn+12，检验对于n=1也成立，得到an的通项公式an=
16、nn+12；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a1+1a2+1an=211n+1，进而证得.(1)a1=1，S1=a1=1,S1a1=1,又Snan是公差为13的等差数列，Snan=1+13n-1=n+23,Sn=n+2an3,当n2时，Sn-1=n+1an-13，an=Sn-Sn-1=n+2an3-n+1an-13,整理得：n-1an=n+1an-1,即anan-1=n+1n-1,an=a1a2a1a3a2an-1an-2anan-1=13243nn-2n+1n-1=nn+12，显然对于n=1也成立，an的通项公式an=nn+12；(2)1an=2nn+1=21n-1n+1, 1a1
17、+1a2+1an =2112+1213+1n1n+1=211n+1218(1)6；(2)425【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cosA+B=sinB，再结合0B2，即可求出；（2）由（1）知，C=2+B，A=22B，再利用正弦定理以及二倍角公式将a2+b2c2化成4cos2B+2cos2B5，然后利用基本不等式即可解出(1)因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosBsinAsinB=cosA+B=cosC=12，而0B0，所以2C
18、,0B6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为R=P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(A)P(AB)P(AB)P(A)P(A)P(AB)，所以R=P(AB)P(B)P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(B)P(AB)所以R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)，(ii) 由已知P(A|B)=40100，P(A|B)=10100，又P(A|B)=60100，P(A|B)=90100，所以R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)=621(1)1；(2)1629【解析】【分析】（1）
19、由点A(2,1)在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，Px1,y1,Qx2,y2，再根据kAP+kBP=0，即可解出l的斜率；（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据tanPAQ=22即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出PAQ的面积(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2y2a21=1(a1)上，所以4a21a21=1，解得a2=2，即双曲线C:x22y2=1易知直线l的斜率存在，设l:y=k
20、x+m，Px1,y1,Qx2,y2，联立y=kx+mx22y2=1可得，12k2x24mkx2m22=0，所以，x1+x2=4mk2k21,x1x2=2m2+22k21，=16m2k2+42m2+22k210m21+2k20所以由kAP+kBP=0可得，y21x22+y11x12=0，即x12kx2+m1+x22kx1+m1=0，即2kx1x2+m12kx1+x24m1=0，所以2k2m2+22k21+m12k4mk2k214m1=0，化简得，8k2+4k4+4mk+1=0，即k+12k1+m=0，所以k=1或m=12k，当m=12k时，直线l:y=kx+m=kx2+1过点A2,1，与题意不符
21、，舍去，故k=1(2)不妨设直线PA,PB的倾斜角为,1时， exx=b的解的个数、xlnx=b的解的个数均为2，构建新函数h(x)=ex+lnx2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得f(x),g(x)的大小关系，根据存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)f(x)=exax的定义域为R，而f(x)=exa，若a0，则f(x)0，此时f(x)无最小值，故a0.g(x)=axlnx的定义域为(0,+)，而g(x)=a1x=ax1x.当xlna时，f(x)lna时，f(x)0，故f(x)在(lna,+)上为
22、增函数，故f(x)min=f(lna)=aalna.当0x1a时，g(x)1a时，g(x)0，故g(x)在(1a,+)上为增函数，故g(x)min=g(1a)=1ln1a.因为f(x)=exax和g(x)=axlnx有相同的最小值，故1ln1a=aalna，整理得到a11+a=lna，其中a0，设g(a)=a11+alna,a0，则g(a)=2(1+a)21a=a21a(1+a)20，故g(a)为(0,+)上的减函数，而g(1)=0，故g(a)=0的唯一解为a=1，故1a1+a=lna的解为a=1.综上，a=1.(2)由（1）可得f(x)=exx和g(x)=xlnx的最小值为1ln1=1ln1
23、1=1.当b1时，考虑exx=b的解的个数、xlnx=b的解的个数.设S(x)=exxb，S(x)=ex1，当x0时，S(x)0时，S(x)0，故S(x)在(,0)上为减函数，在(0,+)上为增函数，所以S(x)min=S(0)=1b0，S(b)=eb2b，设u(b)=eb2b，其中b1，则u(b)=eb20，故u(b)在(1,+)上为增函数，故u(b)u(1)=e20，故S(b)0，故S(x)=exxb有两个不同的零点，即exx=b的解的个数为2.设T(x)=xlnxb，T(x)=x1x，当0x1时，T(x)1时，T(x)0，故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+)上为增函数，所以T(
24、x)min=T(1)=1b0，T(eb)=eb2b0，T(x)=xlnxb有两个不同的零点即xlnx=b的解的个数为2.当b=1，由（1）讨论可得xlnx=b、exx=b仅有一个零点，当b1.设h(x)=ex+lnx2x，其中x0，故h(x)=ex+1x2，设s(x)=exx1，x0，则s(x)=ex10，故s(x)在(0,+)上为增函数，故s(x)s(0)=0即exx+1，所以h(x)x+1x1210，所以h(x)在(0,+)上为增函数，而h(1)=e20，h(1e3)=e1e332e3e32e30，故h(x)在(0,+)上有且只有一个零点x0，1e3x01且：当0xx0时，h(x)0即exxxlnx即f(x)x0时，h(x)0即exxxlnx即f(x)g(x)，因此若存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点，故b=f(x0)=g(x0)1，此时exx=b有两个不同的零点x1,x0(x10x0)，此时xlnx=b有两个不同的零点x0,x4(0x011，故x0=x4bx1=x0b即x1+x4=2x0.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.答案第18页，共18页
