1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 3.2 利用导数研究函数的极值与最值 【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 导 数 及其应用 利用导数研究函数的单调性与极值 【直击考点】 题组一 常识题 1 教材改编 函数 f(x) ex 2x 的单调递增区间是 _ 【解析】 f( x) ex 2，令 f( x)0，解得 xln 2，则函数 f(x) ex 2x 的单调递增区间为 (ln 2， ) 2 教材改编 函数 f(x) x3 12x 的极小值是 _，极大值是 _ 【解析】 由题意得 f( x) 3x2 12，令 f (x) 0，解得 x 2 或 x 2.当 x( ， 2) 时， f
2、(x)0 ，3 教材改编 一条长为 2a 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长分别是 _， _ 【解析】设两段铁丝的长分别为 x， 2a x.则两个正方形的面积之和为 S x216（ 2a x） 216 x28ax4 a24，则 S( x)x4a4，令 S( x) 0得 x a.当 xa时， S( x)0.所以 S 在 x a 处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是 a. 题组 二 常 错 题 4 函数 y 12x2 ln x 的单调递减区间为 _ 【解析】 y 12x2 ln x， y x 1x x2 1x （ x 1）（ x 1）x (x0)
3、令 y 0，得=【 ;精品教育资源文库 】 = 00 时， ex2，所以 00， 得 x1，所以函数 f(x)的单调递增区间为 (1， ) ，所以函数 f(x)在 (2， ) 上是增函数 【知识清单】 考点 1 运用导数求函数的单调性 在 (a， b)内可导函数 f(x)， f( x)在 (a， b)任意子区间内都不恒等于 0. f( x)0 ?f(x)在 (a， b)上为增函数 f( x)0 ?f(x)在 (a， b)上为减函数 考点 2 运用导数求函数的极值 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 考点 3 运用导数求函数的最值 (1)在闭区间 a， b上连续的函数 f(
4、x)在 a， b上必有最大值与最小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若函数 f(x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在 a， b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值 【考点深度剖析】 【重点难点突破】 考点 1 运用导数求函数的单调性 【 1-1】 已知函数 f(x) ln x kex (k 为常数， e 2.718 28 是自然对数的底数 )，曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的 切线与 x 轴平行 (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间 【答案】 (1) k 1. (2)
5、 单调递增区间为 (0,1)，单调递减区间为 (1， ) x (1， ) 时， f( x)0 时， f(x)在 x ln a 处取得极小值 ln a，无极大值 【解析】 (1)由 f(x) x 1 aex，得 f( x) 1 aex. 又曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线平行于 x 轴， 得 f(1) 0，即 1 ae 0，解得 a e. (2)f( x) 1 aex， 当 a0 时， f( x)0， f(x)为 ( ， ) 上的增函数，所以函数 f(x)无极值 当 a0 时，令 f( x) 0，得 ex a，即 x ln a. x ( ， ln a)， f( x)0， =【 ;
6、精品教育资源文库 】 = 所以 f(x)在 ( ， ln a)上单调递减，在 (ln a， ) 上单调递增， 故 f(x)在 x ln a 处取得极小值， 且极小值为 f(ln a) ln a，无极大值 综上，当 a 0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时， f(x)在 x ln a 处取得极小值 ln a，无极大值 【 2-2】 已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x 1 处取极值 10，则 f(2) _. 【答案】 18 【思想方法】 求函数极值的步骤 : (1)确定函数的定义域； (2)求方程 f( x) 0 的根； (3)用方程 f( x) 0 的根顺次将函数的定义
7、域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由 f( x) 0 根的两侧导数的符号来判断 f( x)在这个根处取极值的情况 【 温馨提醒 】 判断函数极值时要注意导数为 0 的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为 0 的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值 考点 3 运用导数求函数的最值 【 3-1】 已知函数 f(x) (x k)ex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间 0,1上的最小值 【答案】 (1) 单调递减区间是 ( ， k 1)；单调递增区间是 (k 1， ) (2) (1 k)e. 【解析】 (1)f( x) (x k 1
8、)ex. 令 f( x) 0，得 x k 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x)与 f( x)的情况如下： x ( ， k 1) k 1 (k 1， ) f( x) 0 f(x) ek 1 所以， f(x)的单调递减区间是 ( ， k 1)；单调递增区间是 (k 1， ) (2)当 k 10 ，即 k1 时，函数 f(x)在 0,1上单调递增，所以 f(x)在区间 0,1上的最小值为 f(0) k； 当 0k 11，即 1k2 时， 由 (1)知 f(x)在 0， k 1)上单调递减，在 (k 1,1上单调递增，所以 f(x)在区间 0,1上的最小值为 f(k 1) ek 1； 当
9、k 11 时，即 k2 时，函数 f(x)在 0,1上单调递减，所以 f(x)在区间 0,1上的最小值为 f(1) (1 k)e. 【 3-2】 设函数 f(x) ln x ax， g(x) ex ax，其中 a 为实数 若 f(x)在 (1， ) 上是单调减函数，且 g(x)在 (1， ) 上有最小值，求 a 的取值范围 【答案】 (e， ) 【思想方法】 求函数 f(x)在 a， b上的最大值和最小值的步骤 (1)求 函数在 (a， b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)， f(b)； (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最
10、小的一个为最小值 【 温馨提醒 】 极值是函数局部性质，最值是函数整体性质 【易错试题常警惕】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1、已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端导函数的符号 如：已知 ? ? 3 2 23f x x a x b x a? ? ? ?在 1x? 时有极值 0 ，求 a ， b 的值 【分析】 ? ? 236f x x ax b? ? ? ?，由题意得 ? ? ?1010ff? ?，即26 3 03 1 0aba a b? ? ? ? ? ? ? ?，解之得13ab? 或 29ab? ，当 1a ? ， 3b? 时， ? ? ? ? 223 6 3 3 1 0f x x x x? ? ? ? ? ? ?恒成立，所以 ?fx在 1x? 处无极值，舍去所以 2a? ， 9b? 【易错点】用导数求极值时容易忽视左右 两端导函数的符号而致误
