1、lAPa 直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量APta 一、方向向量与法向量2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_(1)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)例例2 练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-AB
2、CD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依题题意意得得D DB(1, 1，B(1, 1，0)0)1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是 因为方向向量与法向量可以确定因为
3、方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系.用向量方法解决几何问题mlab一一. 平行关系：平行关系：au aAC axAByAD v u 例例1 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的中点，的中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6
4、,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), A AE E = =( (- -3 3, ,3 3, ,3 3) ), ,F FG G = =( (- -2 2, ,2 2, ,2 2) )32 AE =FGAE =FGAE/FG 证证 ：如图所示：如图所示, , 建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系. ./ AEFGAEFGAEAE与与FGFG不共线不共线几何法呢？几何法呢？ 例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的中点，的中点， (1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE
5、EXYZG解解1 立体立体几何法几何法ABCDP PE EXYZG解解2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依题题意意得得G1 11 1( , ，( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，
6、点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn ABCDP PE EXYZ解解4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：
7、1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)PAxDEyDB 设解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面练习练习如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，点，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：2133DCDE MNMDDEEN 证明2
8、233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面几何法呢？几何法呢？(1) lm0aba b 二、垂直关系：二、垂直关系：lmab(2) l /auau lauABC3 （）0uvu v u v 例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.证1 几何法例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.证2 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy(0,0,0)B(0,2,0)D( 3,1,0)
9、C32 6(,1,)33A3 16(,)623M3 3(,0)22N例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.证3MAADDN 1122ABADDC 11()22ABADACAD 111222ABACAD 111()0222MN ABABACADAB MNAB, 同理 MNCD. 练习练习 棱长为棱长为a a 的正方体的正方体 中中,E,E、F F分别是棱分别是棱AB,OAAB,OA上的动点，且上的动点，且AF=BE,AF=BE,求证：求证： CBAOOABC OCBAOAB CEFZ11A FO Exy 解：如图所示建立空间直角坐标系，设A
10、F=BE=b.1( , , )A a a a(0,0)Fab1(0,0, )Oa(, ,0)E ab a1(,)A Faba 1(, ,)O Eab aa 110A F O E 11A FO E 1A FO EABCDPEFXYZ-, ,. (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点 作作交交于于点点求求证证平平面面 证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.)1,1 ,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已
11、知EFDPB平面所以例例2ABCDPEFXYZ-, ,:.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱锥锥中中底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点作作交交于于点点求求证证平平面面 证2：例例2A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 练习练习 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,
12、0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 则则 ， 所以所以1D FADE 平平面面DADE 则则， A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 练习练习 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE. 证明证明2：,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0
13、,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBD 证明证明2：E,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 求证：求证：平面平面EBD-,:P ABCDABCDPDABCD GPB 练练习习 四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面是是上上的的点点求求证证 平平面面GACGAC平平面面PDBPDBABCDPX
14、YZG练习：练习：夹角问题：夹角问题：lamb(1) , l m的夹角为 ，coscos, a b lamb 夹角问题：夹角问题：(2) , l的夹角为 ，sincos, a u u cos(-cos(- )= cos )= cos 2 2u cos(+cos(+ )= cos )= cos 2 2 ula ula 夹角问题：夹角问题：(3) , 的夹角为 ，u v coscos =cos =cos u v 夹角问题：夹角问题：(3) , 的夹角为 ，u v coscos =cos =cos u v xyz 解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：Cxyz11CC (1,0
15、,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F3030=.=.1010所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF30100111111111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、 ，求与所成的角的余弦值.例例10111111111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，
16、现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、 ，求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解3、补形：例例1解2补成长方体补成长方体重一个同样的三重一个同样的三棱柱棱柱 练习练习 空间四边形空间四边形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB与与CD成成600角，求角，求AD与与BC所成的角大小所成的角大小.1AB 解 设ADABBCCD 2222 222ADABBCCDAB BCBC CDAB CD 1 1 100 14 2AD ()1AD BCABBCCD BC cos,1/ 2AD BC 例： 的棱长为 1.111.B CAB C求与平面所成的角的正弦值解解1
17、建立直角坐标系建立直角坐标系.11(010)则，- ， ，BC B 11 平面AB C的一个法向量为D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF例例2例：的棱长为 1.111.B CAB C求与平面所成的角的正弦值解解2 A1xD1B1ADBCC1yzEF例例2 例例3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形，侧棱形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的中点，作的中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大
18、小。的大小。ABCDP PE EF F例例3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一个法向量为的一个法向量为解1如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一个法向量为的一个法向量为G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC cos1/ 2, 60,2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角
19、的平面角。) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0131)1 ,() 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1.)323131(，的坐标为点F)21,21, 0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为60 ,60.EFDCPB D所以即二面角 的大小为 112(,)333FD
20、例例3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F解3设DC=1., 2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。练习练习 的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面PBD1的一个法向量为的一个法向量为1(0,1,1)DA 平面平面CBD1的一个法向量为的一个法向量为1(1
21、,0,1)DC 11cos,1/2DA DC cos1/ 2, 120 10 .BD二 面 角 A-C的 大 小 为 12的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解2A1D1B1ADBCC1距离问题：距离问题：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则222121212()()()ABxxyyzz距离问题：距离问题：asin, dAPAP a (2) 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则距离问题：距离问题：(3) 点点P与平面与平面的距离为的距离为d , 则则 u A P O d距离问题：距离问题：(4) 平面平面与与的距离为的距离为d , 则则 umDC
22、PAlab 例例1 如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解：解：如图如图1，1111 60ABAAADBADBAADAA 设，11AAADABAC 2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1
23、AC答答: 这个晶体的对角线这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。6 例例1 如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解解2：如图如图1，1111 60ABAAADBADBAADAA 设， 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱
24、上有有A A、B B两点，两点， 直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 68解1 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B B两点，两点， 直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . B
25、ACD 68解2ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离. 建立坐标系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, 10AEAB 113sin, 10AEAB 点点E到直线到直线A1B的距离为的距离为1113sin, 24dAEAEAB ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中
26、，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离.解解2ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.u 建立坐标系1 11 11 11 1 解解: :. . A A E E = = ( (- -1 1, , ,0 0) ), ,A A B B = = ( (0 0, ,1 1, ,- -1 1) )2 2设设 = = ( (1 1, ,y y, ,z z) )为为面面A A B BE E的的法法向向量量uu 1 11 1
27、A E = 0,A E = 0,由由A B = 0,A B = 0, 得 u u = = ( (1 1, ,2 2, ,2 2) ) 1 11 1A A B B = = 0 0, ,1 1, ,0 0 , , 1 11 11 11 1 B B 到到面面A A B BE E的的距距离离为为A A B B n n2 2 d d = = =3 3n nABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法1111BA BEE A BBVV解解2ABCD1A1B
28、1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离. 解解1:D1C面面A1BE D1到面到面A1BE的距离即为的距离即为D1C到面到面A1BE的距离的距离. 仿上例求得仿上例求得D1C到到 面面A1BE的距离为的距离为1113D A udu ABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法1111DA BEB A D EVV解
29、解2ABCD1A1B1C1Dxyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 解解1:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距离即的距离即 为面为面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离1111( 1,1,1),(1,0,0) 平面的一个法向量为且A BDACD A 111133D AACdAC ABCD1A1B1C1D 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离.等体积法等体积法1111DA BDB A
30、 DDVV解解2ABCD1A1B1C1D 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离.解解3 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.ABCD1A1B1C1DExyz111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE解: :111,0 ,2AE 11,1, 1D B 11(1, , ),设与都垂直ny zA E D B 110,0,由n A En D B (1,
31、2,3)得n 111,0,0 ,D A 11与的距离为A EBD111414D A ndn 作作 业业P111 2 P112 512. ,A EAF 提示:= 或 - .5(2). ,AO AD 用重心公式 或计算A1E作作 业业 1 . 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 2. 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离. 例例 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD底面底面A
32、BCD，PD=DC=6, E是是PB的的中点，中点，PF=FG=GC . 求证：面求证：面AEF/面面BDG.ABCDP PG GXYZF FE E作业作业 三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点求证:BC1面AB1D.选做题选做题11ABABAA 112ADACAA11BCABAAAC 12BCABAD 练习 设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交
