1、2022-6-3122.2 第二型曲面积分2022-6-32一、曲面的侧一、曲面的侧观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧2022-6-33n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面0M2022-6-34莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:0M2022-6-35莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:0M2022-6-36典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-37典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比
2、乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-38典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-39典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-310典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-311典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-312典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-313典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-314典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-315典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-316典型
3、典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-317典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-318典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-319典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-320典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带0M2022-6-321曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :面面在在xoyS ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块.0cos00cos)(0cos)()(
4、 时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 为为上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 2022-6-322二、概念的引入二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域A A, ,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量2022-6-323xyzo 2022-6-324xyzo iS ),(iii ivin 把把曲曲面面分
5、分成成n小小块块is ( (is 同同时时也也代代表表第第i小小块块曲曲面面的的面面积积) ), ,在在is 上上任任取取一一点点),(iii , ,1. 分割分割则该点流速为则该点流速为iv法向量为法向量为 in2022-6-325该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiiSnv12022-6-326iiii
6、iiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取极限取极限0 .的的精精确确值值取取极极限限得得到到流流量量 niiiiSnv12022-6-327三、概念及性质三、概念及性质定定义义：.R 设设 是是光光滑滑的的有有向向曲曲面面，函函数数 在在 上上有有界界()iinSS 把把 分分成成 块块小小曲曲面面也也表表示示该该小小块块的的面面积积 ，(),iixySxoyS 在在面面上上的的投投影影为为(,)iiiiS 是是上上任任意意一一点点. . 如如果果当当各各小小块块曲曲面面的
7、的最最大大直直径径0 0时时，01lim(,)()niiiixyiRS 存存在在，( , , )R x y z 则则称称此此极极限限为为函函数数在在有有向向曲曲面面 上上对对坐坐标标,().x y的的曲曲面面积积分分 也也称称为为第第二二型型曲曲面面积积分分2022-6-328记记作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 2022-6-329存在条件存在条件:
8、( , , ),( , , ),( , , )P x y z Q x y z R x y z 当当在在有有向向光光滑滑曲曲面面 上上.连连续续时时，对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在组合形式组合形式:( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 物理意义物理意义:( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy ( ,)vP Q R 2022-6-330性质性质: 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdz
9、dxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 22022-6-331四、计算法四、计算法 设设积积分分曲曲面面 由由方方程程( , )z = z x y 所所给给出出的的xoy 曲曲面面上上侧侧，在在面面.xyD上上的的投投影影区区域域为为若若满满足足：( , , )R x y z 被被积积函函数数在在 上上连连续续；( , ).xyz = z x yD在在上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数 ),(yxfz xyDxyzoxys)( ( , , ) , , ( , ).xyDR x
10、y z dxdyR x y z x y dxdy 则则有有：2022-6-332 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 0011lim( ,)()lim( , ( ,)()nniiiixyiiiiixyiiRSRz ( , , ) , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy 的的证证明明：, cos0, 取取上上侧侧()() ,ixyxyS (,)iiiz 又又 , , ( , )xyDR x y z x y dxdy 2022-6-333,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzy
11、xR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .2022-6-3342221.1xyzdxdyxyz 例例计计算算，其其中中 是是球球面面0,0 xy 在在部部分分并并取取球球面面的的外外侧侧. .12 解解： 把把 分分成成和和两两部部分分2211:1;zxy 2222:1.zxy xyz2 1 21xyzdxdyxyzdx
12、dyxyzdxdy221xyDxyxy dxdy 22(1)xyDxyxydxdy 2022-6-335 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy22221(1)xyxyDDxyxy dxdyxyxydxdy xyDdxdyyxxy2212222sin cos1xyDrr rdrd xyz215 xyD0yx11322002sin cos1drr dr 2022-6-336例例2：计算：计算 dxdyzdxdzydydzxI222.0,0,0:czbyax 其中其中取外侧取外侧解：解：xzy01 2 3 4 5 6 61 考虑考虑 dxdyz2的计算的计算6543, 及及在在 xoy 面
13、上的投影均为面上的投影均为 线段线段而在而在2 上，上，, 0 z取下侧取下侧 22dxdyz xyDdxdy0所以所以0 dxdyz2 12dxdyzabc2022-6-337例例2：计算：计算.0,0,0:czbyax 其中其中取外侧取外侧解：解：61 ,:1cz xzy01 2 3 4 5 6 abc取上侧取上侧byaxDxy 0,0: dxdyz2 xyDdxdyc2bac2 dxdyzdxdzydydzxI222由坐标轮换性可得由坐标轮换性可得 dzdxy2 dydzx2,2bca ,2cba 所以所以 dxdyz2 12dxdyz2022-6-338( , )( ( , ), (
14、, ), ( , )( , )SDx yRdxdyR x u vy u v z u vdudvu v S如如果果光光滑滑曲曲面面 的的方方程程由由参参数数方方程程给给出出：( , ):( , ) ,( , ).( , )xx u vSyy u vu vDzz u v ( , )( , )( , ),0.( , )( , )( , )y zz xx yDu vu vu v且且在在 上上，不不全全为为( , )( ( , ), ( , ), ( , )( , )SDy zPdydzP x u vy u v z u vdudvu v 则则有有：( , )( ( , ), ( , ), ( , )(
15、, )SDz xQdzdxQ x u vy u v z u vdudvu v 2022-6-33933.,Sx dydz 例例计计算算222222.xyzSabc其其中中 为为椭椭球球面面+ + += =1 1的的上上半半部部，并并取取外外侧侧解解：把把曲曲面面表表示示为为参参数数方方程程sincos ,xa sinsin ,yb coszc 3333sincos.SDx dydzaJd d D 其其中中，：02 ,02 ，( , )( , )y zJ cossinsincossin0bbc 2sincos .bc xyzn 2022-6-340240cosd 520sind 325a bc
16、3a bc xyz3333sincos.SDx dydzaJd d 02 ,02 ，( , )( , )y zJ 2sincos .bc 2022-6-341五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyD, , 函函数数),(yxzz 在在xyD上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , ),(zyxR在在上上连连续续. .对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(xyD),(yxfz xyzodsn2022-6-34
17、2xyD),(yxfz xyzodsn22cos,1xxyzzz 22cos,1yxyzzz 221cos.1xyzz 2022-6-343对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的两两侧侧均均成成立立) )dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系2022-6-344向量形式向量形式 dSAsdAdSnASdAn或或其中其中cos,cos,cos, nRQPA为为有向曲面上点有向曲面上
18、点),(zyx处的单位法向量处的单位法向量, ,dxdydzdxdydzdSnSd 称 为称 为 有有 向 曲 面向 曲 面元元, ,nA为向量为向量A在在n上的投影上的投影. .2022-6-345解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dsxz cos)(2 dxdyxz coscos)(22022-6-346 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(2222 22211 () ()()42xyDxyxxxydxdy xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 2022-6-347289 2901(1)(3)(4)P 课课后后作作业业：提示：提示：(1)(3)0 注注意意在在哪哪些些面面上上的的积积分分；.并并利利用用对对称称性性简简化化计计算算(4)利利用用球球坐坐标标变变换换：sincos ,sinsin ,cos .xyz 02 ,02 48谢谢！谢谢！
