1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 39 讲 不等关系与不等式 考试要求 不等关系的概念 (A 级要求 ). 诊 断 自 测 1.思考辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)两个实数 a， b 之间 ， 有且只有 ab， a b， a1， 则 ab.( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数 ， 不等号方向不变 .( ) (4)一个非零实数越大 ， 则其倒数就越小 .( ) (5)ab0， cd0?adbc.( ) (6)若 ab0， 则 ab?1a0” 是 “ a2 b20” 的 _条件 . 解析 a b0? a b ?ab?a2b2， 但由 a2 b20 a b0. 答案
2、充分不必要 3.(2018 南京模拟 )若 a， b R， 且 a |b|0； a3 b30； a2 b2|b|， 当 b0 时 ， a b 1， a1 且 2a1 12 12， 即 a2 b212， a2 b2 b (1 b)2 b2 b (2b 1)(b 1)， 又 2b 10， b 10?ab，a b 0?a b，a b1?ab，ab 1?a b，ab0)， 2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 ab?bb， bc?ac ? 可加性 ab?a cb c ? 可乘性 ?abc0 ?acbc 注意 c 的符号 =【 ;精品教育资源文库 】 = ?abcbcd ?a cb d
3、 ? 同向同正可乘性 ?ab0cd0 ?acbd ? 可乘方性 ab0?anbn(n N， n 1) a， b 同为正数 可开方性 ab0?n an b(n N， n 2) 3.不等式的一些 常用性质 (1)倒数的性质 ab， ab0?1ab0， 0bd. 0b0， m0， 则 bab ma m(b m0). aba mb m； ab0). 考点一 比较两个数 (式 )的大小 【例 1】 (1)(一题多解 )若 a ln 33 ， b ln 44 ， c ln 55 ， 则 a， b， c 的大小关 系为 _. (2)(2018 无锡期中 )若 1a|b|； a2 中 ， 其中正确的不等式是
4、_(填序号 ). 解析 (1)法一 易知 a， b， c 都是正数 ， ba 3ln 44ln 3 log8164b； =【 ;精品教育资源文库 】 = bc5ln 44ln 5 log6251 0241， 所以 bc.即 ce 时 ， 函数 f(x)单调递减 . 因为 ef(4)f(5)， 即 c0.经逐一分析 ， 得 正确 . 答案 (1)c0， 16180， 1816ac; c(b a)0. (2)设 a， b 为正实数 .现有下列命题： 若 a2 b2 1， 则 a b0. 由 bc 得 abac 一定成立 . (2) 中 ， a2 b2 (a b)(a b) 1， a， b 为正实数
5、 ， 若 a b1 ， 则必有 a b1， 又 a b 1a b， 不合题意 ， 故 正确 . 中 ， 1b 1a a bab 1， 只需 a b ab 即可 .如取 a 2， b 23满足上式 ， 但 a b 431， 故 错 . 中 ， a， b 为正实数 ， 所以 a b| a b| 1， 且 |a b| |( a b)( a b)| a b|1， 故 错 . 中 ， |a3 b3| |(a b)(a2 ab b2)| |a b|(a2 ab b2) 1. 若 |a b|1 ， 不妨设 ab1， 则必有 a2 ab b21， 不合题意 ， 故 正确 . 答案 (1) (2) 规律方法 解
6、决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证； 二是利用特殊值法排除错误答案 .利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 . 【训练 2】 (一题多解 )若 a0b a， cbc； ad bcb d； a(d c)b(d c)中成立的个数是 _. 解析 法一 a0b， c0， ad0b a， a b0， c d0， a( c)( b)( d)， =【 ;精品教育资源文库 】 = ac bd d， ab， a ( c)b ( d)， a cb d， 故 正确 . ab， d c0， a(d c)b(d c)， 故 正确 . 法二 取特殊值 . 答案 3 考点三 不等式性
7、质的应用 【例 3 1】 (一题多解 )已知 ab0，给出下列四个不等式： a2b2； 2 a2b 1； a b a b； a3 b32a2b. 其中一定成立的不等式为 _(填序号 ). 解析 法一 由 ab0 可得 a2b2， 成立； 由 ab0 可得 ab 1， 而函数 f(x) 2x在 R 上是增函数 ， f(a)f(b 1)， 即 2a2b 1， 成立； ab0， a b， ( a b)2 ( a b)2 2 ab 2b 2 b( a b)0， a b a b， 成立； 若 a 3， b 2， 则 a3 b3 35， 2a2b 36， a3 b3b2， 2a2b 1， a b a b均
8、成立 ， 而 a3 b32a2b 不成立 . 答案 【例 3 2】 已知 11b； a2bn. (2)设 ab1， ccb； acloga(b c). 其中所有正确结论的序号是 _. 解析 (1)(特值法 )取 a 2， b 1， 逐个检验 ， 可知 ， ， 均不正确； 中 ， |b|a|b1 知 1acb， 正确； 构造函数 y xc， cb1， acb1， cb c1， logb(a c)loga(a c)loga(b c)， 正确 . 答案 (1) (2) 一、必做题 1.当 x 1 时 ， x3与 x2 x 1 的大小关系为 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 x3 (x2
9、x 1) x3 x2 x 1 x2(x 1) (x 1) (x 1)(x2 1). 又 x 1， 故 (x 1)(x2 1) 0， x3 (x2 x 1) 0， 即 x3 x2 x 1. 答案 x3 x2 x 1 2.(2018 镇江模拟 )若 6yz， x y z 0， 则下列不等式成立的是 _(填序号 ). xyyz; xzyz； xyxz; x|y|z|y|. 解析 xyz 且 x y z 0， x0， zz， xyxz. 答案 4.设 a， b R， 则 “( a b) a2b， 则 ac2bc2； =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 acbc， 则 ab； 若 a3b3且 ab1b
10、； 若 a2b2且 ab0， 则 1ab3且 ab0 且 b1b成立 ， 正确； 当 ab0， 则下列不等式中一定成立的是 _(填序号 ). a 1bb 1a； bab 1a 1； a 1bb 1a； 2a ba 2bab. 解析 取 a 2， b 1， 排除 与 ；另外 ， 函数 f(x) x 1x是 (0， ) 上的增函数 ， 但函数 g(x) x 1x在 (0， 1上递 减 ，在 1， ) 上递增 ， 所以 ， 当 ab0 时 ， f(a)f(b)必定成立 ， 即 a 1ab 1b?a 1bb 1a， 但 g(a)g(b)未必成立 . 答案 8.若 ab0， 则下列不等式一定不成立的是
11、_(填序号 ). 1alog2b； a2 b2 2a 2b 2； b0(由 ab0， a， b 不能同时为 1)， a2 b2 2a 2b 20， a2 b22a 2b 2， 一定不成立 . 答案 9.若不等式 ( 2)na 3n 1 ( 2)n12.当 n 为偶数时 ， 2n(a 1)1?2x2 ?2x 11. 答案 (1， ) 11.已知 1 x y4 ， 且 2 x y3 ， 则 z 2x 3y 的取 值范围是 _(用区间表示 ). 解析 z 12(x y) 52(x y)， 3 12(x y) 52(x y)8 ， z 的取值范围是 3， 8. 答案 3， 8 12.已知 m R， ab1， f(x) mxx 1， 试比较 f(a)与 f(b)的大小 . 解 f(x) m? ?1 1x 1 ， f(a) m? ?1 1a 1 ， f(b) m? ?1 1b 1 . 由 ab1， 知 a 1b 10. 1a 10 时 ， m(1 1a 1)m(1 1b 1)， f(a)f(b). 综上所述 ， 当 m0 时 ， f(a)f(b).
