1、第第3章章 稳态导热的计算与稳态导热的计算与分析分析v作业：作业：3-33-3，3-83-8，3-113-11，3-143-14，3-183-18，3-223-22v导热的理论基础：导热的理论基础：v导热的基本定律导热的基本定律v导热微分方程导热微分方程v工程中的许多问题，直接利用三维、非稳态工程中的许多问题，直接利用三维、非稳态的导热微分方程进行求解是没有必要的的导热微分方程进行求解是没有必要的v可根据具体问题的特点进行简化可根据具体问题的特点进行简化 v分析工程问题时，需要作出分析工程问题时，需要作出适当的简化和假设适当的简化和假设v稳态导热是其中最重要也是最常用的简化之一稳态导热是其中最
2、重要也是最常用的简化之一v处于处于正常运行工况时正常运行工况时的物体，可以看作处的物体，可以看作处于稳定状态于稳定状态v稳态的特征：稳态的特征：物体内各位置处的温度不随时间物体内各位置处的温度不随时间变化，可以去掉方程中的非稳态项变化，可以去掉方程中的非稳态项v根据导热物体的根据导热物体的几何特点几何特点和和物理过程物理过程从空间上从空间上做进一步简化做进一步简化v由于数学上的困难，本节主要阐述工程上由于数学上的困难，本节主要阐述工程上常见常见的典型几何形状物体的典型几何形状物体一维物体内的稳态导一维物体内的稳态导热热v分析目的：得到物体内的分析目的：得到物体内的温度分布温度分布及及热流量的热
3、流量的计算公式计算公式 v分析方法：分析方法：理论分析方法理论分析方法3.1 通过平壁的一维稳态导热通过平壁的一维稳态导热3.1.1 3.1.1 平壁一维稳态导热的数学模型平壁一维稳态导热的数学模型 v（1） 工程背景工程背景v建筑物房间的采暖设计：墙壁、玻璃建筑物房间的采暖设计：墙壁、玻璃v冷库的保冷设计：墙壁冷库的保冷设计：墙壁v油罐的保温设计：罐壁油罐的保温设计：罐壁v（2） 物理模型物理模型v墙壁、玻璃、罐壁等物体墙壁、玻璃、罐壁等物体具有相似具有相似的几何特征的几何特征v某一方向的尺寸远远小于其他某一方向的尺寸远远小于其他两个方向的尺寸两个方向的尺寸 将高度和宽度远远大于厚度将高度和
4、宽度远远大于厚度(810倍倍)的物体称为的物体称为大平大平壁壁，简称，简称平壁。平壁。基本尺寸有平壁厚度基本尺寸有平壁厚度和面积和面积Av平壁一维稳态导热简化的基础：平壁一维稳态导热简化的基础：v平壁的平壁的几何特征几何特征v平壁的平壁的传热特点传热特点：v（1）平壁两侧换热均匀平壁两侧换热均匀（沿高度（沿高度、宽度方向），、宽度方向），忽略边缘效应忽略边缘效应v（2）温度变化发生在平壁的厚度）温度变化发生在平壁的厚度方向上方向上v（3）数学模型）数学模型v平壁一维稳态导热的控制方程可平壁一维稳态导热的控制方程可由导热微分方程简化由导热微分方程简化而来，即而来，即 ztzytyxtxct0dd
5、ddxtx 这是这是平壁一维稳态导热最一般的方程平壁一维稳态导热最一般的方程，可以根据具，可以根据具体问题的物理条件做进一步的简化体问题的物理条件做进一步的简化 v二阶常微分方程，有两个积分常数，二阶常微分方程，有两个积分常数，需要两个边界条需要两个边界条件件v边界条件分别在平壁的两侧给出，两侧的边界条件可边界条件分别在平壁的两侧给出，两侧的边界条件可以分别是以分别是第一类、第二类或第三类边界条件中的任一第一类、第二类或第三类边界条件中的任一个个v研究平壁导热的目的有两个：研究平壁导热的目的有两个：（1）确定平壁内的温）确定平壁内的温度分布；（度分布；（2）计算通过平壁的热流量）计算通过平壁的
6、热流量 0ddddxtxv厚度为厚度为 、侧面积为、侧面积为A的单层平壁的单层平壁v没有内热源，导热系数没有内热源，导热系数为常数为常数v两侧表面分别维持均匀稳定的温两侧表面分别维持均匀稳定的温度度tw1、tw2，且，且tw1tw2 0dxdtdxd3.1.2 3.1.2 第一类边界条件下的常物性、无内热源第一类边界条件下的常物性、无内热源的平壁的平壁v导热问题的数学描述为导热问题的数学描述为 0dd22xt边界条件为：边界条件为： w10ttxw2ttx积分两次，得到积分两次，得到通解为通解为： 21cxct得到平壁内的得到平壁内的温度分布为：温度分布为：w1w12wtxttt21cxct根
7、据傅立叶定律，可求得通过平壁的根据傅立叶定律，可求得通过平壁的热流量和热流密度热流量和热流密度 tAttAxtA2w1wddtttxtq2w1wdd 常物性、无内热源平壁稳态导热的计算公式：常物性、无内热源平壁稳态导热的计算公式： w1w2ttAw 1w 2ttq稳态法测定物质导热系数的基本依据稳态法测定物质导热系数的基本依据 常物性、无内热源的条件下，平壁一维稳态导热的常物性、无内热源的条件下，平壁一维稳态导热的热流量或热流密度为常数热流量或热流密度为常数 由此可以采用另一种方法得到平壁内的温度分布由此可以采用另一种方法得到平壁内的温度分布 ddtqx 对傅里叶定律分离变量积分：对傅里叶定律
8、分离变量积分： txqdd 从从0积分，可以得到热流密度表达式积分，可以得到热流密度表达式 从从0 x积分，可以得到温度分布的表达式积分，可以得到温度分布的表达式cxqtv单层平壁稳态导热的等效热阻网络图单层平壁稳态导热的等效热阻网络图v常物性、无内热源的单层平壁一维稳常物性、无内热源的单层平壁一维稳态导热过程类似于态导热过程类似于渗流力学中单相流渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程体的平面平行流的渗流过程 v考虑考虑导热系数随温度变化导热系数随温度变化是更一般、更符合实际的情形是更一般、更符合实际的情形，无内热源时平壁的导热微分方程可简化为，无内热源时平壁的导热微分方程可简化为 0ddd
9、dxtx边界条件：边界条件： w10ttxw2ttx物理条件：物理条件：bt103.1.3 3.1.3 第一类边界条件下的变物性、无内热源第一类边界条件下的变物性、无内热源的平壁的平壁0ddddxtxbt10分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布： 1w21w01w2wm2022tbtxtttbt式中：式中： btt212w1w0m为平壁为平壁平均温度下的导热系数平均温度下的导热系数 1w21w01w2wm2022tbtxtttbt 这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化时，平壁内的时
10、，平壁内的温度分布是二次曲线方程温度分布是二次曲线方程，该二次曲线的，该二次曲线的凹凸性主要由温度系数凹凸性主要由温度系数b的正负决定的正负决定。 利用傅里叶定律分析表明：利用傅里叶定律分析表明：b0时，温度分布曲时，温度分布曲线的开口向下；线的开口向下；btf2）的流体进行对流传热时，平壁两侧）的流体进行对流传热时，平壁两侧均处均处于第三类边界条件于第三类边界条件v设两侧的表面传热系数分别维持为设两侧的表面传热系数分别维持为h1和和h2，且，且沿各自壁面保持不变沿各自壁面保持不变v第三类边界条件下第三类边界条件下平壁稳态导热的数学模型平壁稳态导热的数学模型为：为：0dd22xt边界条件分别为
11、：边界条件分别为： 01f10|ddxxtthxt2f2|ddtthxtxx 对对微分方程积分两次，并利用边界条件确定积分常微分方程积分两次，并利用边界条件确定积分常数数，可以得到此时平壁内的温度分布为，可以得到此时平壁内的温度分布为 xhhhtttt1211f2f1f111 尽管温度分布表达式较为繁琐，但平壁内的温度尽管温度分布表达式较为繁琐，但平壁内的温度分布分布仍为线性的仍为线性的 利用利用傅立叶定律得到通过平壁的热流密度傅立叶定律得到通过平壁的热流密度为：为： 212f1f11ddhhttxtqv实际上，当无内热源的平壁两侧均为第三类边界条件实际上，当无内热源的平壁两侧均为第三类边界条
12、件时，时，整体而言是典型的整体而言是典型的传热传热过程过程v包括包括三个热量传递环节三个热量传递环节：两侧的对流传热过程和平壁：两侧的对流传热过程和平壁的导热过程的导热过程v通过各环节的热流量或热流密度完全相等，三个过程通过各环节的热流量或热流密度完全相等，三个过程的热阻显然是串联关系，的热阻显然是串联关系，利用热阻串联原理可以直接利用热阻串联原理可以直接写出热流密度的表达式写出热流密度的表达式 v由由热流密度相等热流密度相等可求出两侧壁温可求出两侧壁温tw1和和tw2： 11f1whqtt22f2whqttv工程中经常会遇到由不工程中经常会遇到由不同材料构成的多层平壁同材料构成的多层平壁v采
13、用耐火砖、保温采用耐火砖、保温层和普通砖层叠而成的层和普通砖层叠而成的锅炉炉墙锅炉炉墙v为方便起见，以为方便起见，以由三层由三层平壁为例平壁为例进行分析进行分析 3.1.5 常物性、无内热源的多层平壁常物性、无内热源的多层平壁v对多层平壁，对多层平壁，更关心的是更关心的是通过平壁的热流密度通过平壁的热流密度v三层平壁的稳态导热：三层平壁的稳态导热：v热量由高温侧向低温热量由高温侧向低温侧依次以导热方式通过各侧依次以导热方式通过各平壁，共有平壁，共有三个导热环节三个导热环节，且各环节之间属于，且各环节之间属于串联串联关系关系v根据根据等效热阻网络图，利用等效热阻网络图，利用串联热阻叠加原则串联热
14、阻叠加原则直接写出直接写出此时的热流密度：此时的热流密度： 3322114w1wttqv由热流密度相等的原则可依由热流密度相等的原则可依次求出各层间分界面上的温次求出各层间分界面上的温度，即度，即 334w3w112w1wttttqv对由对由n层平壁组成的多层平层平壁组成的多层平壁，热流密度的计算公式为壁，热流密度的计算公式为 niiinttq1w1w1v对对两侧处于第三类边界条件两侧处于第三类边界条件下的多层平壁下的多层平壁，利用热阻分，利用热阻分析法可以得到热流密度的计析法可以得到热流密度的计算公式为：算公式为： niiihhttq121ff1121v常物性、无内热源的多层平壁常物性、无内
15、热源的多层平壁的稳态导热的稳态导热v温度分布曲线为折线温度分布曲线为折线v各层内各层内直线斜率取决于材直线斜率取决于材料的导热系数值料的导热系数值v每层每层温降与该层的热阻有温降与该层的热阻有关关，热阻越大，温降也就越大，热阻越大，温降也就越大 例题3-4v3.2.1 圆筒壁一维稳态导热的数学模型圆筒壁一维稳态导热的数学模型v（1）工程背景）工程背景v由于由于制造和加工上的便利制造和加工上的便利，圆形通道在工程中的应用，圆形通道在工程中的应用更为广泛，如发电厂中的蒸汽管道、化工厂的各种液更为广泛，如发电厂中的蒸汽管道、化工厂的各种液、气输送管道、供暖热水管道、气输送管道、供暖热水管道v石油工程
16、中的输油管道、注水管道、输气管线、油管石油工程中的输油管道、注水管道、输气管线、油管、套管等、套管等v当圆形通道内、外存在温差时，热量当圆形通道内、外存在温差时，热量以导热的方式通以导热的方式通过管壁过管壁 3.2 通过圆筒壁和球壁的导热通过圆筒壁和球壁的导热v（2）物理模型）物理模型v实际上：管壁内的导热是实际上：管壁内的导热是三维的三维的，温度将沿径向、轴向和周向变化温度将沿径向、轴向和周向变化v物理上：热量传递一般是在管内、物理上：热量传递一般是在管内、外流体之间管内进行的，热量传递外流体之间管内进行的，热量传递沿半径方向沿半径方向v（2）物理模型）物理模型v可将发生在圆形通道管壁内的导
17、热可将发生在圆形通道管壁内的导热简化成一维简化成一维，温度变化仅发生在半温度变化仅发生在半径方向上径方向上v这样的圆形通道称为这样的圆形通道称为长圆筒壁长圆筒壁，简，简称称圆筒壁圆筒壁v只要管长超过圆筒壁外径的只要管长超过圆筒壁外径的5倍，倍，就可认为是长圆筒壁就可认为是长圆筒壁v（3）数学模型）数学模型v采用柱坐标系分析圆筒壁内的导热采用柱坐标系分析圆筒壁内的导热问题更方便。对内、外半径为问题更方便。对内、外半径为r1、r2、长为、长为l的长圆筒壁的长圆筒壁 ztztrrtrrrct211v1 dd0ddtrrrr v需要在圆筒壁的需要在圆筒壁的内、外两个壁面内、外两个壁面处处给出边界条件，
18、可以分别是第给出边界条件，可以分别是第一类、第二类或第三类边界条件一类、第二类或第三类边界条件v内表面：内表面：三类边界条件之一三类边界条件之一v外表面：外表面：三类边界条件之一三类边界条件之一v可根据具体问题的特点可根据具体问题的特点进一步简化进一步简化v分析圆筒壁的目的是分析圆筒壁的目的是计算通过它的导热量计算通过它的导热量v在圆筒壁中遇到的问题类型、在圆筒壁中遇到的问题类型、分析方法与过程与平壁完分析方法与过程与平壁完全相似全相似v这里仅给出几种简单情况下的结果这里仅给出几种简单情况下的结果10ddtrr ddr 3.2.2 第一类边界条件下常物性、无内热源的圆筒第一类边界条件下常物性、
19、无内热源的圆筒壁壁常物性、无内热源圆筒壁的导热微分方程常物性、无内热源圆筒壁的导热微分方程可简化为：可简化为： v1 dd0ddtrrrr dd0ddtrrr 若圆筒壁内、外壁面分别维持均匀的温度若圆筒壁内、外壁面分别维持均匀的温度tw1和和tw2，且，且tw1tw2，则其，则其边界条件边界条件为为1rr w1tt2rr w2tt对方程积分两次，对方程积分两次，可得通解为可得通解为： 21lncrct积分常数积分常数c1和和c2由边界条件确定，由边界条件确定， w1w2121lnttcr r 12w1w1w221lnlnrctttr r圆筒壁的圆筒壁的温度分布为：温度分布为： 1w1w1w22
20、1lnlnr rttttr rddrrdtdr 01w1w1w221lnlnr rttttr r 与平壁内的线性温度分布不同，圆筒壁内的温度与平壁内的线性温度分布不同，圆筒壁内的温度沿沿径向按对数规律变化径向按对数规律变化 利用傅立叶定律利用傅立叶定律可以求得通过圆筒壁的热流量：可以求得通过圆筒壁的热流量： w1w221d2dlntttAlrr r w1w221d2dlntttAlrr r 写成写成温差温差热阻的形式热阻的形式为为w1w2211ln2tttrRlr 为长为为长为l的圆筒壁的导热热阻的圆筒壁的导热热阻 211ln2rRlr必须记住！必须记住！通过圆筒壁内任意位置处的热流密度为通过
21、圆筒壁内任意位置处的热流密度为 w1w2212lnttqArlrr r通过圆筒壁的热流量：通过圆筒壁的热流量： w1w2212lnttlr r 可以发现：在稳态无源的条件下，可以发现：在稳态无源的条件下，通过圆筒壁的热流量通过圆筒壁的热流量是常数是常数，但因圆筒壁内任意位置的导热面积，但因圆筒壁内任意位置的导热面积A为不同，为不同，热流密度却不再是常数热流密度却不再是常数，而是随着半径的增加而减小，而是随着半径的增加而减小 v工程上为了计算方便，通常工程上为了计算方便，通常按单位管长按单位管长来计算通过圆筒来计算通过圆筒壁的热流量，记作壁的热流量，记作ql，单位是，单位是W/m w1w2211
22、ln2lttqrlr211ln2rrr为单位管长圆筒壁的导热热阻为单位管长圆筒壁的导热热阻 v和分析平壁稳态导热一样，在无内热源的条件下，通过和分析平壁稳态导热一样，在无内热源的条件下，通过对傅立叶定律分离变量积分对傅立叶定律分离变量积分，也能够得到和前面完全相，也能够得到和前面完全相同的结果同的结果v通过圆筒壁一维稳态的导热过程类似于通过圆筒壁一维稳态的导热过程类似于渗流力学中单相渗流力学中单相流体平面径向稳定渗流过程流体平面径向稳定渗流过程 v3.2.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的第一类边界条件下变物性、无内热源的圆筒壁圆筒壁 010drdtrbtdrd通过圆筒壁的热流量为：通过圆
23、筒壁的热流量为： w1w22m11ln2ttrlr m为圆筒壁内、外壁面平均温度下的导热系数为圆筒壁内、外壁面平均温度下的导热系数 w1w2m012ttbv3.2.5 通过多层圆筒壁的导热通过多层圆筒壁的导热 v工程中的许多管道需要工程中的许多管道需要敷设保温层或隔热层敷设保温层或隔热层以降以降低管线的热损失低管线的热损失v锅炉管、注水管线运行一段时间后，会沿管壁在锅炉管、注水管线运行一段时间后，会沿管壁在管内形成管内形成水垢层水垢层v采油或输油管线会沿管壁形成采油或输油管线会沿管壁形成蜡沉积层蜡沉积层等等v这时的圆筒壁称为这时的圆筒壁称为多层圆筒壁多层圆筒壁 v以三层圆筒壁为例以三层圆筒壁为
24、例v从内向外各层的半径分别为从内向外各层的半径分别为r1、r2、r3和和r4v导热系数导热系数1、2和和3为常数为常数v最内层和最外层表面维持均匀最内层和最外层表面维持均匀温度温度tw1和和tw4（tw1tw4），各交），各交界面温度分别为界面温度分别为tw2和和tw3（通（通常未知）常未知）w1w4324112233111lnlnln222lttqrrrrrr根据根据热阻串联的原理热阻串联的原理很容易得到：很容易得到：推广到推广到n层圆筒壁，有层圆筒壁，有 w1w1111ln2nlniiiittqrr根据单位长度的热流量相等的原则可以很容易地求出各根据单位长度的热流量相等的原则可以很容易地求
25、出各交界面温度交界面温度 v强化对流传热的途径：强化对流传热的途径：v增大增大t：但受工艺和经济的但受工艺和经济的限制限制v增大增大h：强化传热的主要方法强化传热的主要方法v增加增加A：强化传热的常用方法强化传热的常用方法3.3 通过肋片的稳态导热通过肋片的稳态导热对流传热是工程中最常见的换对流传热是工程中最常见的换热情形热情形v在表面上敷设在表面上敷设延伸体延伸体的方式的方式v从某个基体表面延伸出来的固从某个基体表面延伸出来的固体壁面称为延伸体体壁面称为延伸体v目的：目的：强化传热，提高传热量强化传热，提高传热量v方法：方法：提高换热面积，达到强化换热的目的提高换热面积，达到强化换热的目的v
26、如何实现？如何实现？采用在采用在换热面上敷设延伸体（肋片）的方法换热面上敷设延伸体（肋片）的方法v延伸体延伸体，又称为，又称为肋片肋片、扩展表面扩展表面、延伸表面延伸表面、肋、翅片、肋、翅片v什么是肋片？什么是肋片？从某个基体表面延伸出来的固体表面从某个基体表面延伸出来的固体表面v生活和工程中采用肋片的例子生活和工程中采用肋片的例子:v暖气片暖气片v汽车的散热水箱汽车的散热水箱v摩托车发动机顶盖的散热片摩托车发动机顶盖的散热片v电机的外壳电机的外壳v计算机计算机CPU上的散热结构上的散热结构v用带套管的温度计测量流体温度的套管等用带套管的温度计测量流体温度的套管等v肋片的形式有多种多样的肋片的
27、形式有多种多样的 微细板翅结构微细板翅结构v选用何种形式的肋片取决于选用何种形式的肋片取决于使用空间、重量、制使用空间、重量、制造和费用等多种因素造和费用等多种因素v肋片可由肋片可由管子整体轧制或缠绕管子整体轧制或缠绕、嵌套金属薄片通嵌套金属薄片通过焊接、浸镀或胀管等过焊接、浸镀或胀管等加工方法制成加工方法制成 v研究肋片的目的有两个研究肋片的目的有两个v确定肋片内的温度分布确定肋片内的温度分布v通过肋片的散热量，为肋片的设计、分析提通过肋片的散热量，为肋片的设计、分析提供理论依据供理论依据 v3.3.1 物理模型物理模型v等截面直肋等截面直肋v几何参数：几何参数：肋高肋高L、肋宽、肋宽b和肋
28、厚和肋厚v物理参数：物理参数：导热系数为导热系数为v与环境间作用的参数：与环境间作用的参数：v肋片与基体表面相交处（称为肋片与基体表面相交处（称为肋基或肋根肋基或肋根）的温度为）的温度为t0v环境流体温度环境流体温度为为tv肋片表面与周围流体间的肋片表面与周围流体间的表面传热系数表面传热系数为为hv简化假设：简化假设：v1）肋片处于）肋片处于稳态稳态，肋片内，肋片内无内热源无内热源v2）肋片的）肋片的几何参数几何参数、热物性参数热物性参数、肋基温度肋基温度和和流体流体温度温度以及以及肋片表面与流体间的表面传热系数肋片表面与流体间的表面传热系数均为常数均为常数v3）忽略沿肋厚的温度变化）忽略沿肋
29、厚的温度变化v肋厚度和肋高、肋宽相比很小，肋片通常是由金肋厚度和肋高、肋宽相比很小，肋片通常是由金属材料制成，导热系数较大属材料制成，导热系数较大v4）忽略温度沿宽度方向的变化）忽略温度沿宽度方向的变化v肋基的温度均匀，肋表面沿宽度方向的换热条肋基的温度均匀，肋表面沿宽度方向的换热条件相同而且均匀件相同而且均匀v5）忽略肋端散热）忽略肋端散热v肋端面积很小肋端面积很小v通过上述假设，将通过上述假设，将肋片内的三维导热肋片内的三维导热简化为沿高度方向的简化为沿高度方向的一维一维稳态导热稳态导热肋片温度变化沿着肋的高度方向肋片温度变化沿着肋的高度方向 v物理模型：物理模型：一维肋片的稳态导热一维肋
30、片的稳态导热v3.3.2 数学模型数学模型v以肋基为坐标原点，沿肋高坐标轴正方向以肋基为坐标原点，沿肋高坐标轴正方向v在距肋基在距肋基x处取长为处取长为dx的微元肋片段的微元肋片段v根据能量守恒，有根据能量守恒，有 dcxxx x为为x处处以导热方式进入以导热方式进入微元体的热量；微元体的热量；xdx为为xdx处处以导热方式以导热方式离开离开微元体的热量；微元体的热量；c为由微元体侧面为由微元体侧面以对流传热方式离开以对流传热方式离开微元体的热量微元体的热量 dcxxx ddxtAx ddddddddxxx dxxxtxAxxxx cd ()hP x tt 式中，式中，A为肋片的导热截面面积；
31、为肋片的导热截面面积；P为导热截面的周长为导热截面的周长 将三项能量代入到能量守恒关系式中，整理得到：将三项能量代入到能量守恒关系式中，整理得到：22d0dthPttxA定解条件定解条件 在肋基在肋基x=0处：处： 在肋端在肋端x=L处：处： 0ttd d0tx v3.3.3 求解与分析求解与分析 22d0dthPttxA关于温度的二阶非齐次常微分方程关于温度的二阶非齐次常微分方程 引入过余温度引入过余温度=t- -t ：222d0dmxmhPA为了将方程齐次化为了将方程齐次化0ttd d0tx 000 xttd0dx Lx过余温度过余温度=t- -t齐次化后的齐次化后的数学模型：数学模型：2
32、22d0dmx00 xd0dx Lx二阶线性齐次二阶线性齐次常微分方程常微分方程 mxmxecec21120cc120mLmLc mec me通解：通解：代入边界条件：代入边界条件：肋片内的温度分布为：肋片内的温度分布为： 0cosh()cosh()m LxmL 对散热肋片而言，从肋基到肋端的温度是对散热肋片而言，从肋基到肋端的温度是按双曲余按双曲余弦函数的规律下降弦函数的规律下降的，而且肋片内的的，而且肋片内的温度梯度也是随肋温度梯度也是随肋高的增加而减小高的增加而减小肋片内的温度分布为：肋片内的温度分布为： 0cosh()cosh()m LxmL肋基附近温度变化剧烈肋基附近温度变化剧烈，肋
33、端附近温度变化平缓，肋端附近温度变化平缓，这就，这就是人的耳朵、手容易冻伤的原因是人的耳朵、手容易冻伤的原因原因：肋片表面的对流传热损失使肋片内的导热热流原因：肋片表面的对流传热损失使肋片内的导热热流沿肋高而减小的结果沿肋高而减小的结果 令令x=L就可以得到肋端的温度：就可以得到肋端的温度： 0cosh()LmL0ffcosh()LttttmL0cosh()cosh()m LxmL肋片的散热量：肋片的散热量：（1）直接计算肋片表面的对流散热量）直接计算肋片表面的对流散热量。由于肋片温度。由于肋片温度沿肋高方向不断变化，沿肋高方向积分才能计算出总散沿肋高方向不断变化，沿肋高方向积分才能计算出总散
34、热量热量cdd ()dhP x tthPx （2）根据能量守恒关系和傅里叶定律计算散热量）根据能量守恒关系和傅里叶定律计算散热量 稳态时通过肋片表面散失的热量全部来自肋基，由稳态时通过肋片表面散失的热量全部来自肋基，由傅里叶定律，有傅里叶定律，有 0000dd|tanh()ddxxxtAAmAmLxx v3.3.4 关于肋片导热的进一步说明关于肋片导热的进一步说明 v忽略肋端散热只是一种理想的情况忽略肋端散热只是一种理想的情况v严格地讲，肋端表面与流体之间同样存在着对流传严格地讲，肋端表面与流体之间同样存在着对流传热热v以第三类边界条件代替前面的肋端绝热的边界条件以第三类边界条件代替前面的肋端
35、绝热的边界条件考虑肋端散热的数学模型：考虑肋端散热的数学模型：22d0dthPttxA定解条件：定解条件： 在肋基在肋基x=0处处 在肋端在肋端x=L处处 0ttfd-=-dxxLxthtt采用相同的求解方法求解之采用相同的求解方法求解之 肋片内的温度分布和散热量：肋片内的温度分布和散热量： 0cosh()sinh()cosh()sinhLLhm Lxm LxmhmLmLmL000Ltanh()d|d1tanh()xxhmLmAmAhxmLm v考虑肋端散热的情形考虑肋端散热的情形更接近于实际更接近于实际，但温度分布和散，但温度分布和散热量的热量的表达式过于繁琐表达式过于繁琐，实际应用并不多实
36、际应用并不多v计算表明：计算表明：将肋端简化为绝热的情形在大多数应用中将肋端简化为绝热的情形在大多数应用中都能得到足够精度的结果都能得到足够精度的结果v对于需要考虑肋端绝热的情形，可以采用一种巧妙的对于需要考虑肋端绝热的情形，可以采用一种巧妙的简化处理方法代替上述复杂的结果简化处理方法代替上述复杂的结果 v目的：既考虑肋端散热、又想采用绝热时的计算公式目的：既考虑肋端散热、又想采用绝热时的计算公式v基本思想：基本思想：将肋片端部的散热折算到肋片的侧面将肋片端部的散热折算到肋片的侧面 做法：做法：用假想的肋片高度用假想的肋片高度L Lc c代替实际的肋片高度代替实际的肋片高度L L: Lc=L+
37、L 其中，其中， L是将肋端散热折算到侧面后增加的长度是将肋端散热折算到侧面后增加的长度这样得到的结果这样得到的结果和精确解几乎相同和精确解几乎相同 v对厚为对厚为的等截面直肋，假想肋片高度为：的等截面直肋，假想肋片高度为：c2LL0()th()fcmA ttmL 肋片散热量：肋片散热量：v近似分析：近似分析：忽略了肋片温度沿厚度方向的变化忽略了肋片温度沿厚度方向的变化v实际中的肋片总是具有一定的厚度，在厚度方向上实际中的肋片总是具有一定的厚度，在厚度方向上总是存在着一定的温降总是存在着一定的温降v分析表明，对大多数实际应用的肋片，只要满足分析表明，对大多数实际应用的肋片，只要满足 0.1h
38、A Pv这种近似引起的误差不会超过这种近似引起的误差不会超过1，都可以看作是满，都可以看作是满足一维条件足一维条件 v需要采用数值方法计算的情形：需要采用数值方法计算的情形：v对短而厚的肋片，对短而厚的肋片，必须考虑温度沿肋片厚度方必须考虑温度沿肋片厚度方向的变化，向的变化，肋片内的温度场是二维的，前面计算公肋片内的温度场是二维的，前面计算公式不再适用式不再适用v表面传热系数表面传热系数h在整个肋片表面是变化的，很难在整个肋片表面是变化的，很难保证沿肋高方向上保证沿肋高方向上h为常数为常数v3.3.5 肋片效率肋片效率v采用肋片的目的主要是为了通过增加换热面积而增采用肋片的目的主要是为了通过增
39、加换热面积而增加散热量，工程设计和计算加散热量，工程设计和计算最关心的是肋的散热量最关心的是肋的散热量v对像等截面直肋等的对像等截面直肋等的简单肋片简单肋片，可以采用数学分析，可以采用数学分析的方法得到肋片内温度分布及散热量的的方法得到肋片内温度分布及散热量的解析表达式解析表达式v对于工程中常用的形状复杂的肋片，采用数学分析对于工程中常用的形状复杂的肋片，采用数学分析的方法是困难的的方法是困难的v引入引入肋效率（肋效率（fin efficiency）0cf实际散热量理想散热量0ccc0ctanh()tanh()fmAmLmLhPLmL肋效率定义为：肋效率定义为：式中：肋片的理想散热量指式中：肋
40、片的理想散热量指肋的导热热阻趋于零时的理肋的导热热阻趋于零时的理想散热量想散热量对于等截面直肋，肋片效率可表示为：对于等截面直肋，肋片效率可表示为：v肋效率表征了肋片肋效率表征了肋片散热的有效程度散热的有效程度v根据肋效率，可以很容易地求出根据肋效率，可以很容易地求出肋的实际散热量肋的实际散热量v对于工程中常用的各种形状肋片，如等厚环肋、三角对于工程中常用的各种形状肋片，如等厚环肋、三角形直肋等，都已经得到了肋片效率曲线形直肋等，都已经得到了肋片效率曲线v应用时，通常是应用时，通常是根据肋片型式，查相关手册得到肋片根据肋片型式，查相关手册得到肋片效率，再计算出肋片的实际散热量效率，再计算出肋片
41、的实际散热量v套管内的热量传递：套管内的热量传递：v受散热影响，容器器壁或管壁受散热影响，容器器壁或管壁(也就是套管根部、肋基也就是套管根部、肋基)温度温度t0低于流低于流体温度体温度tfv忽略套管内表面与流体间传热的忽略套管内表面与流体间传热的影响，受高温流体的加热作用，套管影响，受高温流体的加热作用，套管顶端的温度顶端的温度tL必定大于套管根部的温必定大于套管根部的温度度t0v套管内部存在着由端部到根部的导热套管内部存在着由端部到根部的导热 v高温流体以对流传热的方式将热高温流体以对流传热的方式将热量传给套管，然后再由导热导向套管量传给套管，然后再由导热导向套管的根部的根部v套管的热量传递
42、由两个环节组成：套管的热量传递由两个环节组成：v高温流体与套管表面的对流传热高温流体与套管表面的对流传热v套管内部的导热过程套管内部的导热过程v简化分析：简化分析：v套管套管管壁很薄管壁很薄，忽略套管内温，忽略套管内温度沿壁厚方向度沿壁厚方向(即径向即径向)的变化的变化v高温流体与套管表面高温流体与套管表面均匀接触均匀接触并换热并换热，忽略温度沿周向的变化，忽略温度沿周向的变化v这样，套管内的这样，套管内的温度只沿套管轴线温度只沿套管轴线变化变化v简化分析：简化分析：v当温度计读数不再发生变化时，当温度计读数不再发生变化时，可认为过程达到稳态可认为过程达到稳态v将套管内的导热过程简化为沿套管长将套管内的导热过程简化为沿套管长度方向的度方向的一维稳态导热问题一维稳态导热问题 v套管温度计的相关参数：套管温度计的相关参数：v由容器器壁或管壁插入流体中的由容器器壁或管壁插入流体中的套管长为套管长为Lv套管外径为套管外径为d，壁厚为，壁厚为v被测高温流体温度为被测高温流体温度为tf，流体与套管，流体与套管表面的表面传热系数为表面的表面传热系数为hv作业：作业：3-33-3，3-83-8，3-113-11，3-143-14，3-183-18，3-223-22
