1、CompanyLOGO 1.2 极限的概念极限的概念 1.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 1.4 极限的运算法则极限的运算法则 1.5两个重要极限两个重要极限 1.1 函数函数 1.7常用的经济函数常用的经济函数 1.6函数的连续性函数的连续性第一节第一节 函函 数数1、 函数的概念函数的概念定义定义1 : 设设x与与y是两个变量，若当变量是两个变量，若当变量x在非空数集在非空数集D内任取内任取一个数值时，变量一个数值时，变量x 按照某种对应法则按照某种对应法则f 总有一个确定的数总有一个确定的数值值y 与之对应，则称变量与之对应，则称变量y为变量为变量x 的函数，记作的函数，记作.
2、)(xfy 称称D为该函数的定义域为该函数的定义域. 称称x为自变量，称为自变量，称y为因变量为因变量.关于该定义应注意关于该定义应注意:当函数的定义域和对应法则确定了以后当函数的定义域和对应法则确定了以后,该该函数便被唯一的确定了函数便被唯一的确定了,因此称因此称函数的定义域和对应法则为确函数的定义域和对应法则为确定函数关系的两大要素定函数关系的两大要素. 例例 判断下列各组函数是否相同判断下列各组函数是否相同00)2(xxxxyxy和和xxyxy2)1(和和 解解 (1)(1) 不同不同. 因为因为 的定义域是的定义域是而而 的定义域为的定义域为 .显然它们的定义域显然它们的定义域xy x
3、xxy2 0 x不同不同. (2)(2) 相同相同. 因为它们的定义域均为全体实数相因为它们的定义域均为全体实数相同同, 且对应法则也相同且对应法则也相同,)1 (1)1 (1)(,31211211)2(, 10101)0(xxxfff22211)(,2) 1(1) 1(1) 1(,111111)1(xxxfxxxxxfxxxxxfxxxf11)()(),1(),1(),(),21(),0(2xfxfxfxfff例例2 2、已知、已知，求：，求：解： 2. 函数的定义域函数的定义域 函数的定义域函数的定义域, 是使函数有意义的自变量的取是使函数有意义的自变量的取值的范围值的范围. 求函数的定义
4、域时应注意求函数的定义域时应注意 (1)(1) 应考虑自变量与因变量有无实际意义应考虑自变量与因变量有无实际意义; (2)(2) 如果一个函数是若干项的代数和如果一个函数是若干项的代数和, 则分别则分别求出每一项的取值范围后求出每一项的取值范围后, 取其交集合即可定义取其交集合即可定义域域; (3)(3) 对于分段函数来说对于分段函数来说, 其定义域就是各区间其定义域就是各区间的并集合的并集合;例例2 2 求下列函数的定义域求下列函数的定义域xxxf253)(2 （1）)34lg()(xxf（3）) 12arcsin()34lg()(xxxf （5）;9)(2xxf （2）xx25320252
5、 xx52x0 x解：（解：（1 1）在分式）在分式中，分母不能为零，所以中，分母不能为零，所以，解得解得而, 00 ,5252,即定义域为即定义域为092 x33x3 , 3 (2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有解得解得，即定义域即定义域 （4）) 12arcsin()(xxf034x,43(3)在对数式中，真数必须大于零，所以有在对数式中，真数必须大于零，所以有解得其定义域解得其定义域1121x10 x1 , 0(4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于l，所以有所以有解得解得 即定义
6、域即定义域(5)陔函数为陔函数为(3)，(4)两例中函数的代数和，此时函两例中函数的代数和，此时函数的定义域应为数的定义域应为(3)，(4)两例中定义域的交集，两例中定义域的交集，1 ,431 , 0,433 3、函数的表示法、函数的表示法 例例2 2 某工厂全年某工厂全年1 16 6月原材料进货数量如下表，月原材料进货数量如下表，这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系 T(月)123456Q(吨)111012111212(1)公式法公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法系，是
7、函数的公式表示法.(2)表格法表格法 自变量自变量x与因变量与因变量y的一些对应值用表格列出的一些对应值用表格列出 解解 王王先先生生离离家家的的距距离离关关于于时时间间的的函函数数图图形形见见左左下下图图 离家距离 时 间 O 时间 O 离家距离 3 1 2 3 4 5 6 9 (3) 图示法图示法 用函数用函数y=f(x)的图形给出自变量的图形给出自变量x与因变量与因变量y之间的关系之间的关系. 分段函数分段函数：用几个式子来表示一个函数为分段函数用几个式子来表示一个函数为分段函数.如：如： 的定义域为的定义域为: 的定义域为的定义域为:分段函数是由几个关系式合起来表示一个函数，而不分段函
8、数是由几个关系式合起来表示一个函数，而不是几个函数，对于自变量在定义域内的某个值，分段是几个函数，对于自变量在定义域内的某个值，分段函数只能确定唯一的值，分段函数的定义域是各段自函数只能确定唯一的值，分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并。变量取值集合的并。 100.xf xxx，, ,0;,0.xxyxxx, 例4 设函数151sin)(xxxf33114xxx)5 . 3(),(ff求 及函数的定义域解：因为 1 , 4所以 0)sin()(f因为 3 , 11所以 1) 1 (f因为 , 35 . 3所以 5 .161)5 . 3(5)5 . 3(f函数 )(xf的定义域为 , 4 1
9、.有界性有界性 设函数设函数 在在 上有定义上有定义, 如果存在正数如果存在正数 ,使得对于任意使得对于任意 ,都有都有 恒成立恒成立. 则称该则称该函数在区间函数在区间 上有界上有界. 否则否则, 称该函数称该函数 在在区间区间 上无界上无界.)(xfy DMDx Mxf )(DD)(xfy 如函数如函数 在区间在区间 上有界上有界, 因在因在该区间上恒有该区间上恒有 成立成立; 在区间在区间 上无上无界界.而函数而函数 在其定义域在其定义域 R有界有界.xy1 11 x,1)1,0(xysin1.1.2 函数的几种特性1sinx2M2sinxM有有，但我们也可以取，但我们也可以取即即总是成
10、立的，实际上总是成立的，实际上可以取任何大于可以取任何大于1 1的数的数)()(xfxf则称该函数为偶函数则称该函数为偶函数. 设函数设函数 在区间在区间 上有定义上有定义, 如如果对于任意果对于任意 , 都有都有 ,则称该函则称该函数为奇函数数为奇函数 ; 若对于任意若对于任意 ,都有都有)(xfy),(ba),(bax)()(xfxf),(bax例例1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性2 奇偶性奇偶性:（1） （2） （3） 753)(24xxxfxxxfsin2)(2)(21)(xxaaxf解：由定义解：由定义（1）因为）因为 )(7537)( 5)( 3)(2424xfxxxx
11、xf所以其为偶函数。所以其为偶函数。 （2）因为）因为 )(sin2)sin()(2)(22xfxxxxxf同样可以得到同样可以得到 )()(xfxf所以函数既非奇函数，也非偶函数。所以函数既非奇函数，也非偶函数。（3）因为）因为 )()(21)()(xfaaxfxx所以其为奇函数。所以其为奇函数。 3. 单调性单调性 设函数设函数 在在 上有定义上有定义,对任意对任意)(xfy DDxx 21,如果如果 ,则必有则必有 ,则称函数则称函数21xx )()(21xfxf )(xfy 在在 上单调递增上单调递增;如果如果 ,则必有则必有 , 则称函数则称函数 在在 上单调递减上单调递减.D21x
12、x )()(21xfxf )(xfy D 注注: 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关偶函数的图象关于于y轴对称轴对称.而单调递减的函数其图象从左到右是下降的而单调递减的函数其图象从左到右是下降的.见下图见下图yyxxoo 例如例如 函数函数 在区间在区间 上单调递上单调递增增,在区间在区间 上单调递减上单调递减; 而函数而函数在定义域在定义域 上均单调递增上均单调递增. 其图象如下其图象如下: 2)(xxf3)(xxf), 0()0,(),(单调递增单调递增 单调递减单调递减2)(xxf yxo3)(xxf yxo 单调性递增开始演示单调性递增开始演示!单调性递
13、减开始演示单调性演示结束单调性演示结束! 注意注意: (1) 说函数递增还是递减时说函数递增还是递减时, 应明确指出在哪一应明确指出在哪一个区间上个区间上. 因同一个函数在不同的区间上单调性可能因同一个函数在不同的区间上单调性可能不同不同.如函数如函数 (2) 当一个函数在其定义域当一个函数在其定义域 上上均单调递增均单调递增(或递减或递减)时时, 才称该函数为单调函数才称该函数为单调函数. 如如 是单调函数是单调函数.2)(xxf 3)(xxf D 证明证明: 在在 内单调递增内单调递增.3yx, 证证 12,xx 332221212121xxxxxx xx当当 1x2x异号时，异号时， 3
14、10 x 320 x故故3321xx故对故对 12,xx 有有 3321xx所以所以 f x在在 , 内单调递增内单调递增. 当当 1x2x同号时，右边二因子均正数，故同号时，右边二因子均正数，故 3321xx4. 周期性周期性 设函数设函数 在在 上有定义上有定义, 如果存在常数如果存在常数 使得对于使得对于 中的任意中的任意 , 都有都有 则称该则称该函数为周期函数函数为周期函数, 且称且称 为该函数的周期为该函数的周期.)(xfy DTDx)()(xfxTf T 如函数如函数 均是周期函数均是周期函数, 其周期分别为其周期分别为xyxyxyxycot,tan,cos,sin 和和2解解
15、设所求的周期为设所求的周期为T，由于，由于()sin ()sin()f tTAtTAtT ()( )f tTf t要要使使 sin()sin(),AtTAt即即成成立立 例例 求函数的周期，其中求函数的周期，其中 为常数为常数( )sin()f tAt 20,1,2,Tn， 使上式成立的最小正数为使上式成立的最小正数为2(1)Tn取取 所以函数所以函数 的周期为的周期为( )sin()f tAt 2. 并注意到并注意到 的周期为的周期为 ,只需只需2tsin,A定义定义3 设函数设函数y=f(x)是定义在是定义在D上的一个函数，其值域为上的一个函数，其值域为Zf , ,对任意对任意y Zf ,
16、 ,如果有唯一确定的满足如果有唯一确定的满足y=f(x)的的x Df与与之对应，则得到一个定义在之对应，则得到一个定义在Zf上以上以y为自变量的函数，我为自变量的函数，我们称它为函数们称它为函数y =f (x)的反函数，记作的反函数，记作1( )xfy 5 5、 反函数反函数习惯上，常用习惯上，常用x来表示自变量，来表示自变量，y 表示因变量，所表示因变量，所以我们可以将反函数改写成以我们可以将反函数改写成1( ) yfx 在直角坐标系中的在直角坐标系中的 图形与图形与y=f(x)的图形是的图形是1( )yfx 关于直线关于直线y = x 对称的对称的. .例例 设函数设函数y=4x1，求它的
17、反函数并画出图形，求它的反函数并画出图形.yx 14 xy41xy解解由由14 xy得到得到41yx于是得反函数于是得反函数41xy1.1.4基本初等函数基本初等函数 1.常函数常函数 cy 2.幂函数幂函数. xy )(为为实实数数 3.指数函数指数函数)1, 0( . aaayx4.对数函数对数函数1)a0,(axlogya cotxytanxycosxysinxy 5.三角函数三角函数6.反三角函数反三角函数xarcyarctanxyarccosxyarcsinxycot ( (几何图形几何图形) )( (几何图形几何图形) )( (几何图形几何图形) )( (几何图形几何图形) )(
18、(几何图形几何图形) )., 0()0 ,(和的定义域为为负整数时，当x)., 0), 0()0 ,(,),(,2135 72 5332的定义域为；和的定义域为；为的定义域，如分数时，情况比较复杂当xxxxx为(1)幂函数幂函数yx ).,(的定义域为为正整数时，当x( 是常数是常数)当当 为无理数时为无理数时,规定规定 的定义域为的定义域为(0,)x x 幂函数幂函数 的定义域随的定义域随 的不同而不同的不同而不同.x 指数函数指数函数 的定义域为的定义域为 .当当a1时，它严时，它严格单调增加；当格单调增加；当0a1时，它严格单调增加；当时，它严格单调增加；当0an)（）原式；（ 0 )0
19、, ba幂函数：幂函数：,0 ,0aQkpak其中 2. 供给函数供给函数 如果如果价格价格是决定是决定供给量供给量的最主要因素，的最主要因素，可以认为可以认为供给量供给量S 是是价格价格p 的函数的函数.记作记作( )SS p则则 S称为称为供给函数供给函数. 一般地，供给函数可以用以下简一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：单函数近似代替：线性函数：线性函数：,0Sapba b其中幂函数：幂函数：指数函数：指数函数：,0 ,0aSkpak其中,0 ,0bpSaeab其中 在同一个坐标系中作出需求曲线在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供给曲线和供给曲线 S ，两条曲线的交点称为两条曲线
20、的交点称为供需平衡点供需平衡点，该点的横坐标称，该点的横坐标称为为供需平衡价格供需平衡价格 .E0p0Q供需平衡点供需平衡点供需平供需平衡价格衡价格例例1 当鸡蛋收购价格为当鸡蛋收购价格为4.5/千克时，某收购千克时，某收购站每月能收购站每月能收购5000kg，若收购价提高，若收购价提高0.1元元/千克，则收购量可增加千克，则收购量可增加400kg，求鸡蛋的，求鸡蛋的线性供给函数。线性供给函数。解：设鸡蛋的线性供给函数为解：设鸡蛋的线性供给函数为 s=-c+dp,由题意得由题意得解得解得d=4000,c=13000,所求供给函数为所求供给函数为 s=-13000+4000p50004.5540
21、04.6cdcd 例2 已知某商品的需求函数和供给函数分别为q=14.5-1.5p, S=-7.5+4p.求该商品的均衡价格解 由供需均衡条件Q=S，可得 14.5-1.5p=-7.5+4p. 因此，均衡价格为 =40p0p3.成本函数成本函数 成本是生产一定数量产品所需要的各种成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成本与可变成本两部分组成.支付固定生产支付固定生产要素的费用要素的费用支付可变生产支付可变生产要素的费用要素的费用产产量量可可变变成成本本固固定定成成本本产产量量总总成成本本平平均均成成
22、本本 12( )( )CC qC qCqq12( )( )C qCC q解解由题意，求产量为由题意，求产量为200时的总成本时的总成本2( )20008qC q 7000(200)35.200C平均成本是例例 3 3 已知某种产品的总成本函数为已知某种产品的总成本函数为 求当生产求当生产200个该产品时的总成本和平均成本个该产品时的总成本和平均成本 2200(200)20007000.8C4.收入函数收入函数如果产品价格如果产品价格 p 保持不变，则保持不变，则 总收入总收入是生产者出售一定数量产品是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入所得到的全部收入.用用 表示表示出售的产品出售的产品数量数量，R 表示表示总收入总收入, 表示表示平均收入平均收入，则，则Rq( )( ) ,R qRR qRq( ),R qpqRp5.利润函数利润函数 利润利润是生产中获得的是生产中获得的总收入与投入的总收入与投入的总成本之差总成本之差.即即( )( )( )L qR qC q解解由题意，求产量为由题意，求产量为200时的总成本时的总成本2( )20008qC q 7000(200)35.200C平均成本是例例 3 3 已知某种产品的总成本函数为已知某种产品的总成本函数为 求当生产求当生产200个该产品时的总成本和平均成本个该产品时的总成本和平均成本 2200(200)20007000.8C
