1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 1 讲 平面向量的概念与线性运算 1 下列等式： 0 a a； ( a) a； a ( a) 0； a 0 a； a b a ( b) 正确的个数是 _个 解析 a ( a) 0， 故 错 答案 4 2 (2018 盐城模拟 )给出以下命题： 对于实数 p 和向量 a， b， 恒有 p(a b) pa pb； 对于实数 p， q 和向量 a， 恒有 (p q)a pa qa； 若 pa pb(p R)， 则 a b； 若 pa qa(p， q R， a 0)， 则 p q. 其中正确命题的序号为 _ 解析 根据实数与向量乘积的定义及其运 算律可知 ， 正确
2、；不一定成立 ，因为当 p 0 时 ， pa pb 0， 而不一定有 a b. 答案 3 如图 ， 已知 AB a， AC b， BD 3DC ， 用 a， b 表示 AD ， 则 AD _ 解析 因为 CB AB AC a b， 又 BD 3DC ， 所以 CD 14CB 14(a b)， 所以 AD AC CD b 14(a b) 14a 34b. 答案 14a 34b 4 已知 D， E， F 分别为 ABC 的边 BC， CA， AB 的中点 ， 且 BC a， CA b， 给出下列命题： AD 12a b； BE a 12b； CF 12a 12b； AD BE CF 0. 其中正确
3、命题的个数为 _ 解析 BC a， CA b， AD 12CB AC 12a b， 故 错； BE BC 12CA a 12b， 故 正确； CF 12(CB CA ) 12( a b) 12a 12b， 故 正 确； 所以 AD BE CF b 12a a 12b 12b 12a 0. 所以正确命题为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 3 5 若 |AB | |AC | |AB AC | 2， 则 |AB AC | _ 解析 因为 |AB | |AC | |AB AC | 2， 所以 ABC 是边长为 2 的正三角形 ， 所以 |AB AC |为 ABC 的边 BC 上的高的 2
4、倍 ， 所以 |AB AC | 2 3. 答案 2 3 6 在 ?ABCD 中 ， AB a， AD b， AN 3NC ， M 为 BC 的中点 ， 则 MN _(用 a， b表示 ) 解析 由 AN 3NC 得 4AN 3AC 3(a b)， AM a 12b， 所以 MN 34(a b) ? ?a 12b 14a 14b. 答案 14a 14b 7 (2018 河北省冀州中学高三月考改编 )若 O 是 ABC 所在平面内一点 ， 且满足 |OB OC | |OB OC 2OA |， 则 ABC 的形状为 _ 解析 根据题意有 |OB OC | |OB OA OC OA |， 即 |AB
5、AC | |AB AC |， 从而得到 AB AC ， 所以三角形为直角三角形 答案 直角三角形 8 已知 a， b 是两个不共线的非零向量 ， 且 a 与 b 起点相同，若 a， tb， 13(a b)三向量的终点在同一直线上 ， 则 t _ 解析 因为 a， tb， 13(a b)三向量的终点在同一条直线上 ， 且 a 与 b 起点相同 所以 a tb 与 a 13(a b)共线 即 a tb 与 23a 13b 共线 所以存在实数 ， 使 a tb ? ?23a 13b ， 所以?1 23 ，t 13 ，解得 32， t 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 t 12时 ， a，
6、 tb， 13(a b)三向量的终点在同一条直线上 答案 12 9 已知点 P 在 ABC 所在的平面内 ， 若 2PA 3PB 4PC 3AB ， 则 PAB 与 PBC 的面积的比值为 _ 解析 由 2PA 3PB 4PC 3AB ， 得 2PA 4PC 3AB 3BP ， 所以 2PA 4PC 3AP ， 即 4PC 5AP .所以 AP 45PC ， P 点在边 AC 上 ， 且 |AP |PC | 45， 设 ABC 中 ， AC 边上的高为 h， 则 S PABS PBC12|AP | h12|PC | h|AP |PC | 45. 答案 45 10 在直角梯形 ABCD 中 ，
7、A 90， B 30， AB 2 3， BC 2， 点 E 在线段 CD上 ， 若 AE AD AB ， 则 的取值范围是 _ 解析 由题意可求得 AD 1， CD 3， 所以 AB 2DC . 因为点 E 在线段 CD 上 ， 所以 DE DC (0 1) 因为 AE AD DE ， 又 AE AD AB AD 2 DC AD 2 DE ， 所以 2 1， 即 2.因为 0 1 ， 所以 0 12. 答案 ? ?0， 12 11 设 i， j 分别是平面直角坐标系 Ox， Oy 正方向上的单位向量 ， 且 OA 2i mj， OB n i j， OC 5i j， 若点 A， B， C 在同一
8、条直线上 ， 且 m 2n， 求实数 m， n 的值 解 AB OB OA (n 2)i (1 m)j， =【 ;精品教育资源文库 】 = BC OC OB (5 n)i 2j. 因为点 A， B， C 在同一条直线上 ， 所以 AB BC ， 从而存在实数 使得 AB BC . 即 (n 2)i (1 m)j (5 n)i 2j 所以?n 2 （ 5 n） ，1 m 2 ，m 2n，解得?m 6，n 3 或 ?m 3，n 32. 12 已知 O， A， B 是不共线的三点 ， 且 OP mOA nOB (m， n R) (1)若 m n 1， 求证： A， P， B 三点共线； (2)若 A
9、， P， B 三点共线 ， 求证： m n 1. 证明 (1)若 m n 1， 则 OP mOA (1 m)OB OB m(OA OB )， 所以 OP OB m(OA OB )， 即 BP mBA ， 所以 BP 与 BA 共线 又因为 BP 与 BA 有公共点 B， 所以 A， P， B 三点共线 (2)若 A， P， B 三点共线 ， 则 BP 与 BA 共线 ， 故存在实数 ， 使 BP BA ， 所以 OP OB (OA OB ) 又 OP mOA nOB ， 故有 mOA (n 1)OB OA OB ， 即 (m )OA (n 1)OB 0. 因为 O， A， B 不共线 ， 所以 OA ， OB 不共线 ， 所以?m 0，n 1 0， 所以 m n 1.
