1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 空间几何体的结构及其表面积和体积 1 正六棱柱的高为 6， 底面边长为 4， 则它的全面积为 _ 解析 S 底 6 34 42 24 3， S 侧 646 144， 所以 S 全 S 侧 2S 底 144 48 3 48(3 3) 答案 48(3 3) 2 将一个边长分别为 4 ， 8 的矩形卷成一个圆柱 ， 则这个圆柱的表面积是 _ 解析 当以长度为 4 的边为底面圆时 ， 底面圆的半径 为 2， 两个底面的面积是 8 ；当以长度为 8 的边为底面圆时 ， 底面圆的半径为 4，两个底面圆的面积为 32 .无论哪种方式 ， 侧面积都是矩形的面积 3
2、2 2.故所求的表面积是 32 2 8 或 32 2 32 . 答案 32 2 8 或 32 2 32 3 一个球与一个正方体的各个面均相切 ， 正方体的棱长为 a， 则球的表面积为 _ 解析 由题意知 ， 球的半径 R a2.所以 S 球 4 R2 a2. 答案 a2 4 以下命题： 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱 、圆锥、圆台的底面都是圆； 一个平面截圆锥 ， 得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为 _ 解析 命题 错 ， 因这条腰必须是垂直于两底的腰命题 对命题 错 ， 必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行 答案 1 5 (2018 江苏省重点中学领航高考冲
3、刺卷 (二 )在一次模具制作大赛中 ， 小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥 ， 而小强制作了一个球 ， 经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积 ， 则圆锥和球的体积的比值等于 _ 解析 设圆锥的底面半径为 r， 球的半径为 R， 则圆锥的 母线长为 2r， 高为 3r.由题意可知 r 2r 4 R2， 即 r 2R.所以 V圆锥V球13 r2 3r43 R3 34 ? ?rR3 34 ( 2)3 62 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 62 6 (2018 苏锡常镇四市调研 )如图 ， 四棱锥 PABCD 中 ， PA 底面 ABCD， 底面 ABCD 是矩形 ， AB 2，
4、AD 3， PA 4， 点 E 为棱 CD 上一点 ， 则三棱锥 EPAB 的体积为 _ 解析 因为 VEPAB VPABE 13S ABE PA 13 12AB AD PA 13 12 2 3 4 4. 答案 4 7 (2018 江苏省高考名校联考 (四 )如图 ， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中 ， 上、下底面为平行四边形 ， E 为棱 CD 的中点 ， 设四棱锥 EADD1A1的体积为 V1， 四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积为V2， 则 V1 V2 _ 解析：由题意 ， 将侧面 ADD1A1作为四棱柱的底面 ， 设顶点 C 到平面 ADD1A1的距离为 2h，因为 E为棱
5、CD的中点 ， 所以 E到平面 ADD1A1的距离为 h， 所以 V1 V2 VEADD1A1 VBCC1B1ADD1A1 13S 四边形 ADD1A1h S 四边形 ADD1A1(2h) 16. 答案： 16 8.如图 ， 已知一个多 面体的平面展开图由一边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成 ， 则该多面体的体积是 _ 解析 如图 ， 四棱锥的高 h 1 ? ?222 22 ， 所以 V 13Sh 13 1 22 26 . 答案 26 =【 ;精品教育资源文库 】 = 9 在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB BC， AB 6， BC 8，
6、 AA1 3， 则 V 的最大值是 _ 解析 易知 AC 10.设底面 ABC的内切圆的半径为 r， 则 12 6 8 12 (6 8 10) r，所以 r 2， 因为 2r 4 3， 所以最大球的直径 2R 3， 即 R 32.此时球的体积 V 43 R3 92 . 答案 92 10 (2018 江苏省重点中学领航高考冲刺卷 (八 )中国古代数学名著九章算术中记载： “今有羡除” 刘徽注： “ 羡除 ， 隧道也其所穿地 ， 上平下邪 ” 现有一个羡除如图所示 ， 四边形 ABCD、 ABFE、 CDEF 均为等腰梯形 ， AB CD EF， AB 6， CD 8， EF 10， EF 到平面
7、 ABCD 的距离为 3， CD 与 AB 间的距离为 10， 则这个羡除的体积是 _ 解析 如图 ， 过点 A 作 AP CD， AM EF， 过点 B 作 BQ CD， BN EF， 垂足分别为 P， M，Q， N， 连结 PM， QN， 将一侧的几何体补到另一侧 ， 组成一 个直三棱柱 ，底面积为 12 103 15.棱柱的高为 8， 体积 V 158 120. 答案 120 11 一个正三棱台的两底面的边长分别为 8 cm、 18 cm， 侧棱长是 13 cm， 求它的全面积 解 上底面周长为 c 38 24 cm， 下底面周长 c 318 54 cm， 斜高 h 132 ? ?18
8、822 12 cm， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 S 正棱台侧 12(c c)h 12 (24 54)12 468 cm2， S 上底面 34 82 16 3 cm2， S 下底面 34 182 81 3 cm2， 所以正三棱台的全面积为 S 468 16 3 81 3 (468 97 3) cm2. 12.如图所示 ， 已知 E、 F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 A1A、 CC1的中点 ，求四棱锥 C1B1EDF 的体积 解 法 一：连结 A1C1， B1D1交于点 O1， 连结 B1D， EF， 过 O1作 O1H B1D 于 H. 因为 EF A
9、1C1， 且 A1C1?平面 B1EDF， 所以 A1C1 平面 B1EDF. 所以 C1到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1到平面 B1EDF 的距离 因为平面 B1D1D 平面 B1EDF， 平面 B1D1D 平面 B1EDF B1D， 所以 O1H 平面 B1EDF，即 O1H 为棱锥的高 因为 B1O1H B1DD1， 所以 O1H B1O1 DD1B1D 66 a. 所以 VC1B1EDF 13S 四边形 B1EDF O1H 13 12 EF B1D O1H 13 12 2a 3a 66 a16a3. 法二：连结 EF， B1D. 设 B1到平面 C1EF 的距离为 h1， D
10、到平面 C1EF 的距离为 h2， 则 h1 h2 B1D1 2a. 由题意得 ， VC1B1EDF VB1C1EF VDC1EF 13S C1EF (h1 h2) 16a3. 1 已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形 ， 则过圆锥的高的中点的平面截圆锥所得的圆台的体积为 _ 解析 如 图 ， 在正三角形 SAB 中 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = AB 2， SO 3， OB 1， O1O 32 ， 圆台的体积为 V 13 h(r2 rr r 2) 13 32 ? ?14 121 1 7 324 . 答案 7 324 2 (2018 江苏省高考命题研究专家原创卷 (五 )九章算术第
11、五章商功记载：今有圆堡瑽 ， 周四丈八尺 ， 高一丈一尺 ， 问积几何？此处圆堡瑽即圆柱体 ， 其意思是：有一个圆柱体的底面周长是 4 丈 8 尺 ， 高 1 丈 1 尺 ， 问它的体积是多少？若 的值取 3， 估算该圆堡瑽的体积为 _立方尺 (注：一丈等于十尺 ) 解析：设该圆柱体底面圆的半径为 r 尺 ， 则由题意得 2 r 48， 所 以 r8 ， 又圆柱体的高为 11 尺 ， 故该圆堡 瑽 的体积 V r2h 2 112 立方尺 答案： 2 112 3 已知 A， B 是球 O 的球面上两点 ， AOB 90， C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC体积的最大值为 36， 则球 O 的
12、表面积为 _ 解析：如图 ， 设球的半径为 R， 因为 AOB 90 ， 所以 S AOB 12R2. 因为 VO ABC VCAOB， 而 AOB 面积为定值 ， 所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时 ， VO ABC最大 ， 所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端 点时 ， 体积 VO ABC最大为1312R2 R 36， 所以 R 6， 所以球 O 的表面积为 4 R2 4 62 144 . 答案： 144 4 已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于 2， A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点 ， 则三棱柱的侧面积为 _ 解析 如图所示 ， 设点
13、D 为 BC 的中点 ， 则 A1D 平面 ABC， 因为 BC?平面 ABC， 所以 A1D BC， 因为 ABC 为等边三角形 ， 所以 AD BC， 又 AD A1D D， AD?平面 A1AD， A1D?平面 A1AD， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 BC 平面 A1AD， 因为 A1A?平面 A1AD， 所以 BC A1A. 又因为 A1A B1B， 所以 BC B1B. 又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于 2， 所以四边形 BB1C1C 是正方形 ， 其面积为 4. 作 DE AB 于 E， 连结 A1E， 则 AB A1E， 又因为 AD 22 12 3， DE AD
14、BDAB 32 ， 所以 AE AD2 DE2 32， 所以 A1E AA21 AE2 72 ， 所以 S 四边形 ABB1A1 S 四边形 AA1C1C 7， 所以 S 三棱柱侧 2 7 4. 答案 2 7 4 5 四面体的六条棱中 ， 有五条棱长都等于 a. (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时 ， 求其表面积 解 (1)如图 ， 在四面体 ABCD 中 ， 设 AB BC CD AC BD a， AD x，取 AD 的中点为 P， BC 的中点为 E， 连结 BP、 EP、 CP， 得到 AD 平面 BPC， 所以 VABCD VABPC VDBPC 13 S BPC AP 13S BPC PD 13 S BPC AD1312 a a2 x24a24 x a12 （ 3a2 x2） x2 a12 3a22 18a3 ?当且仅当 x 62 a时取 等号 . 所以该四面体的体积的最大值为 18a3. (2)由 (1)知 ， ABC 和 BCD 都是边长为 a 的正三角形 ， ABD 和 ACD 是全等的等腰三角形 ， 其腰长为 a， 底边长为 62 a， 所以 S 表 2 34 a2 2 12 62 a a2 ? ?64 a2 32 a2 62 a 10a4 32 a2 15a24=
