1、1实验三、理论力学实验、振动基础实验实验三、理论力学实验、振动基础实验4-1-1单自由度弹簧质量系统的刚度和固有频率测定4-1-3 用实验方法求不规则物体重心4-1-4 比较渐加、突加、冲击和振动四种不同类型载荷 4-1-5 用“三线摆”法验证均质圆盘转动惯量理论公式4-3-1 测定梁的各阶固有频率2 周期运动周期运动的最简单形式是简谐振动简谐振动。即用时间t的正弦或余弦函数表示的运动规律。其一般表达式为 sin()1nxAt（） 实验4-1-1中单自由度质量弹簧系统振动和实验4-1-5中三线摆在微小偏转后自然释放都可以看成是简谐振动。 理论力学多功能实验台 3实验原理实验原理 由弹簧质量组成
2、的振动系统，在弹簧的线性变形范围内，系统的变形和所受到的外力的大小成线性关系。据此，施加不同的力，得到不同的变形，由此计算系统的刚度和固有频率fn。式中：m为系统的质量。Fk12nkfm实验目的实验目的1测定单自由度系统的等效刚度k。2计算弹簧质量振动系统的固有频率fn。 4-1-1单自由度弹簧质量系统的刚度和固有频率测定单自由度弹簧质量系统的刚度和固有频率测定4 4-1-5 用“三线摆”法验证均质圆盘转动惯量理论公式实验目的实验目的 1. 了解并掌握用“三线摆”方法测取物体转动惯量的方法。2. 分析“三线摆”摆长对测量的误差。 三线摆示意图 “三线摆”是测取转动惯量的一种常用方法。给摆一个微
3、小偏转，然后自然释放，摆就会产生扭振。同样的摆线长，不同的转动惯量，摆动的周期是不相同的；而同样的转动惯量，不同的摆长，摆动的周期也不相同。因此，“三线摆”的摆动周期不仅与物体的转动惯量有关，而且与摆线的长度也有关。根据摆的线长和摆动周期，可以推算出三线摆在线性振动范围内圆盘转动惯量计算公式为2224cmgr TJl5 式中：Jc为圆盘对质心的转动惯量；m为圆盘质量； l为摆线长；r为悬线到转轴的距离；T为圆盘的摆动周期。 按下式计算圆盘的转动惯量理论值：22th1()/kg.m22DJm注意事项注意事项 1. 不规则物体的轴心应与圆盘中心重合。 2. 摆的初始角应小于或等于5。3. 两个摆的
4、线长应一致。 4. 实际测试时，不应有较大幅度的平动。 2max202max0max2121nkJJE能：圆盘扭转振动时最大动lTmgrJlJmgrTflJmgrlrmgmglEcnnp222020222max2maxmax4211,21)cos1 (因此有：能：圆盘扭转振动时最大势6实验原理实验原理 物体的重心位置是固定不变的。利用柔软细绳的受力特点及两力平衡原理，可以用悬挂的方法确定其重心的位置。利用平面一般力系的平衡条件，测取杆件的重心位置和物体的重量。 实验方法实验方法（1）垂吊法）垂吊法 将型钢片状试件，用细绳将其垂吊在上顶板前端的螺钉上，以此可确定此状态下的一条重力作用线；另换一位
5、置垂吊，又可确定另一条重力作用线。通过两种垂吊状态下的重力作用线，便可确定此物体的重心位置。4-1-3 用实验方法求不规则物体重心用实验方法求不规则物体重心7（2）称重法）称重法 使用连杆、水平仪、积木和台称，利用已学力学知识，用称重法求出连杆的重量，并确定其重心位置。WlFxxWlFMFFWNccNNN22210重心位置：根据：重量：8实验原理实验原理 渐加载荷、突加载荷、冲击载荷和振动载荷是常见的四种载荷。将不同类型的载荷作用在同一台秤上，可以方便地观察到各自的作用力与时间的关系曲线，进行相互比较，可清楚地了解不同类型的载荷对承载体的作用力是不同的。 4-1-4 比较渐加、突加、冲击和振动
6、四种不同类型载荷9 实验装置及仪器框图如图4-12a所示。通过变换支承块可改变梁的支承结构，移动支架的位置可改变梁的长短，因此该装置不仅可作为简支、固支系统，还可作为一端自由的悬臂系统。 4-3-1 测定梁的各阶固有频率10实验目的实验目的 用瞬态激振法确定梁的各阶固有频率。实验原理实验原理 试件是一组矩形截面梁，从理论上说，它应有无限个固有频率。梁的震动是无穷多个主振型的叠加。如果给梁一个大小合适的瞬态力，相当于用所有频率的正弦信号同时激励。使用锤击进行瞬态激励时，要求相应时间 这里的 是感兴趣的频率上限。2/T 梁因敲击产生的振动信号由速度传感器获取并将其转换为与速度信号成正比的电信号，该
7、信号通过测振仪放大后输出给数据采集分析仪。 11 参数设置参数设置 开启各仪器的电源开关，计算机进入W2K平台，点击“uTekSs数据采集处理与分析系统”(参见附4.X)，进入“信号与系统分析”，点击“工程”“新建工程“，进入“设置”菜单或屏幕右端“采集参数”设置测量参数，具体参数选择为：采样频率：5120Hz；电压范围：程控放大自检最佳放大倍数；通道数：2；触发参数：触发方式（正触发），触发电平（20%），触发延迟（-40），触发通道（1）；采集控制：采集方式（监视采集），监视类型（频谱），有无效控制（有）；采样方式：内部，基准通道号（1）；数字滤波：低通，滤波频率：下限（0），上限（500
8、0）； 12数据采集：数据采集：先点击工具栏中的 “示波” 进入示波界面，试敲力锤，检验力度是否合适，合适后进入“采集”，并根据提示进行测试；测试毕，点击工具栏中的“系统分析”“幅值和相位”，查看测得的幅值和相位图形，通过点击工具栏中的“”，“”，或键盘“”，“”，移动光标找出与固有频率理论计算值接近的峰值，即梁的实际固有频率并填入记录表格。实验报告实验报告实验报告内容应包括：实验目的、实验原理、实验装置与仪器框图、实验方法和实验数据处理与结果分析等。13两端简支梁f1 = 26.250 ; f2 = 108.75 ; f3 = 241.2514两端固支梁f1 = 31.250, f2 = 1
9、11.25, f3 = 223.7515 一般的周期振动一般的周期振动可以借助傅里叶级数表示成一系列简谐振动的叠加，该过程称为谐波分析谐波分析。设周期振动 x(t) 的周期是T，则有()1, 2 3xx tnTn， 0111( )(cossin)(2)2nnnax tan tbn t 根据 傅里叶级数理论，任何一个周期函数如果满足狄里赫利条件，则可以展成傅氏级数，即16 式中12T002( )Tax t dtT0,nnaa b102( )cosTnax tntdtT102( )sinTnbx tntdtT02a( )x t 式(2)也可写成011( )=sin()(3)2nnnax tAnt
10、式中22,12,3nnnnnnaAabnb， tg， ， 可见，一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整数倍的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。这些分量依据n=1，2，3，分别称为基频分量、二倍频分量、三倍频分量等等。因此，傅氏展开也称为谐波分析谐波分析。1在一个周期T中的平均值。表示周期振动常数项由下式确定：称为基频；系数0111( )(cossin)(2)2nnnax tan tbn t17 如果函数f(t)的周期T无限增大，则f(t)成为非周期函数。傅氏积分和傅氏变换是研究非周期函数的有力手段。与周期函数不同，非周期函数的频谱是连续曲线。 由数学知，若非周期函数f(t)满足条件：(1)
11、 在任一（- ，+ )1( )( )(4)2j tj tf tf t edt ed 上式称函数( )f t( )( )(5)j tGf t edt则式（4）可写成1( )( )(6)2j tf tGed的傅氏积分公式傅氏积分公式。如令可积，则在f(t)的连续点处有上绝对有限区间满足狄氏条件；(2) 在区间18以上两式表明， 与 可以通过积分互相表达，式（5）叫做 的傅氏变换傅氏变换。( )f t( )f t( )G 在振动力学中， 又称非周期函数 的频谱函数频谱函数。频谱函数的值一般是复数。它的 称非周期函数 的频谱频谱或幅值频谱幅值频谱。与周期函数的频谱不同，非周期函数的频谱是 频率 的连续
12、曲线，故称连续频谱连续频谱。 通常对一个非周期函数 求傅里叶变换 ，即表示对 作频谱分析。( )G( )G( )G( )f t( )f t( )f t( )f t 实验4-3-1测试梁的各阶固有频率实验中梁的振动可以看成是周期振动，其中使用锤击实现瞬态激励可以看成是非周期振动。( )( )(5)j tGf t edt1( )( )(6)2j tf tGed19用用 函数表示冲击力函数表示冲击力 对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。 函数的定义是00()()1ttttdt（1） 定义表明 只在 近旁及其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对积分是有限数1。由上式的积分式可见，如果
13、时间t以(s)记， 函数的单位是1/s。()tt用 函数表示作用在极短时间内冲击力是很方便的。20式中 表示施加冲量的瞬时。 如果在t=0的瞬时施加冲量S，则相应的冲击力F=S(t)当S=1,即施加单位冲量时，冲击力 ，因此有的书中把 函数又称为单位脉冲函数。()Ft 函数的积分表达式，即1( )cos2xxd 上式表明： 函数可以由等振幅的所有频率的正弦波（用余弦函数表示）来合成；换言之， 函数能分解为包含所有频率的等振幅的无数的正弦波包含所有频率的等振幅的无数的正弦波。设此冲量的大小为S，则相应的冲击力 ()FSt21梁的横向振动梁的横向振动 单自由度弹簧质量系统只有一个固有频率，而梁具有
14、连续分布的质量和弹性，因此，称之为弹性系统弹性系统。并符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性、服从胡克定律。 它的振动规律要用时间和空间坐标的函数时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在物理本质上以及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度是相似的。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限个坐标，因此弹性体具有无限多个坐标，因此弹性体是具有无限无限多自由度的系统多自由度的系统。22梁的横向振动微分方程梁的横向振动微分方程 图中的直梁在xy平面内作横向振动。假定梁的各截面的中心惯性主轴在同一平面Oxy内，外载荷也作用在该平面，并且略去剪切变形的影响及截面绕中性轴转动惯量的
15、影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧拉-伯努利梁的模型。 23 在梁上x处取长为dx的微元段。在任意瞬时t，此微元段的横向位移用y(x, t)表示；单位长度梁上分布的外力用 p (x, t)表示；单位长度梁上分布的外力矩用m (x, t)表示。记梁的密度为 ，横截面积为A，材料弹性模量为E，截面对中性轴的惯性矩为J。由牛顿第二定律写出微段沿y向的运动微分方程22( , )yQAdxp x ttx22()( , )(A)yQAdxQQdxp x t dxtx化简后为：24 再由各力对垂直于Oxy平面的轴的力矩平衡方程，得2( , )()( , )()02Mp x tQMdxm x
16、t dxdxMQdx dxxx( , )(B)MQm x tx2222( , )Mmyp x tAxxt22yMEJt222222()( , )( , )yyEJAp x tm x txxtx上式就是欧拉欧拉-伯努利梁伯努利梁的横向振动微分方程横向振动微分方程。由材料力学知识知 。将M式代入上式，得将式(B)代入式(A)，得略去dx后的二次项并简化后，得25 对于等截面梁，E，J为常数，则上式可写成4242( , )( , )yyEJAp x tm x txtx222222()0yyEJAxxt 上式中令外力 p(x,t)=0, 外力矩m(x,t)=0,得到梁的横向自由振动的运动微分方程：二、
17、固有频率和主振型26上式的解可以用x的函数Y(x)与t的谐函数的乘积表示，即 ( , )( )(cossin)y x tY x AptBpt22222( )()( )0dd Y xEJpAY xdxdx 主振型函数主振型函数Y(x)在符合梁的边界条件并具有非零解的条件下，由此方程求解 p2 和振型函数Y(x)的问题，称为梁作横向振动的特征值问题梁作横向振动的特征值问题。其中Y(x)为主振型主振型或振型函数振型函数，即梁上各点按振型Y(x)作同步谐振动。将上式代入上式 中，得222222()0yyEJAxxt梁的横向自由振动的运动微分方程：27444( )( )dY xY xdx242pa2/a
18、EJA( )xxj xj xY xCeDeEeFe1234( )sincos( )Y xCxCxC sh xC ch xc式中： 根据梁的边界条件可以确定B值及振型函数Y(x)中待定常数因子。边界条件要考虑四个量，即挠度、转角、弯矩和剪力梁的每个端点都与其中的两个量有关。常见的简单边界条件有如下几种: 或表示为： 上式的通解为：对于等截面梁，上式又可写成：28 (1)固定端固定端：在梁的固定端，挠度y与转角 等于零， 即 Y(x)=0 x=0或x=L (2)简支端简支端：在梁的简支端，挠度y与弯矩 等 于零，即 Y(x)=0 x=0或x=L (3)自由端自由端：在梁的自由端，弯矩M与剪力 等于
19、零，即 x=0或x=L yx( )0dY xdx22yMEJt22( )0dYxdx33yQEJx22( )0dYxdx33( )0dYxdx下面讨论两端简支情况下梁的固有频率和主振型29代入到通解：0sh l2x 002( )|0|0 xd Y xYdx2x2( )|0|0lx ld Y xYdx2413130sin0sin0CCClC sh lClC sh lsin0l/1,2,iiliili22221,2,iiiEJpailAi对应于 的固有频率：这是简支梁的频率方程简支梁的频率方程。由此式得由于 ，可得C3=0, 因此有两端简支情况下梁的的边界条件为：1234( )sincos( )Y xCxCxC sh xC ch xc可以得到：30可见，各固有频率与梁长的平方成反比。因此主振型函数1( )sin1,2,iiiY xCxil两端简支前三阶主振型 22221,2,iiiEJpailAi对应于 的固有频率
