1、如果线性方程组如果线性方程组) 1 (22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 一、克拉默法则一、克拉默法则.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那
2、么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDx
3、nn 232211,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ; 0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi .jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0 D 2由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价, 2 1故故.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211也是方程组的也是方程组的 解解. 1例例 1.16 解线性方程组解线性方程组32731342273321321321xxxxxxxxx解：解：系数行列式系数行列式196273342731D由于系数行列式不为零，由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，所以可以使用克拉默
4、法则，方程组有唯一解。此时方程组有唯一解。此时542733417321D382333127212D803731422313D492019680,981919638,982719654332211DDxDDxDDx则有则有196273342731D1. 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适
5、用于理论推导. .条件条件(11),kn位于这些行和列交叉处的位于这些行和列交叉处的 个元素，按照原来的顺序个元素，按照原来的顺序2k行标、列标行标、列标. .在在 阶行列式中阶行列式中, ,任意取定任意取定 行行( (列列) )nk构成一个构成一个 阶行列式阶行列式 ，称为，称为 的一个的一个 阶子式阶子式. .MkDk划去这划去这 行行 列，余下的元素按照原来的顺序列，余下的元素按照原来的顺序kk构成一个构成一个 阶行列式，称为阶行列式，称为 的的余子式余子式. .在其前面在其前面nk M1212( 1)kkiiijjj ，称为，称为 的的代数余子式代数余子式. .M冠以符号冠以符号121
6、2,kki iijjj分别为分别为 阶子式在阶子式在 中的中的其中其中Dk44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 从中取第二从中取第二 . 三行，第一三行，第一. 三列，三列，交叉处元组成一个二阶子式，交叉处元组成一个二阶子式，记为记为M;M的余子式记为的余子式记为N，具体，具体写出来就是写出来就是33312321aaaaM 44421412aaaaN M的代数余子式为NN31321(11),kn在在 阶行列式中阶行列式中, , 取定取定 行行( (列列) )nk式的乘积之和等于行列式式的乘积之和等于行列式 . .由这由这 行行( (
7、列列) )组成的所有组成的所有 阶子式与它们的代数阶子式与它们的代数余子余子kkD1122ttDM AM AM A即即例例 1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一. 二行展开二行展开4100131001210011D例例 1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一. 二行展开二行展开4100131001210011D解D中由第一.二行的元组成的二阶子式共有6即24C个00100, 00201, 1120100101, 11101, 32111654321MMMMMM其中，的代数余子式为421,MMM040101
8、440111,1341131322143121221211AAA解D中由第一.二行的元组成的二阶子式共有6即24C个00100, 00201, 1120100101, 11101, 32111654321MMMMMM其中，的代数余子式为421,MMM040101440111,1341131322143121221211AAA4100131001210011D由拉普拉斯定理知由拉普拉斯定理知4341133665544332211AMAMAMAMAMAMD由此可见，当选出的行（列）中所组成的由此可见，当选出的行（列）中所组成的k阶子式阶子式大部分为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值大部分为零时，
9、应用拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单比较简单.求未知数个数和方程个数相等的方程组的解，在求未知数个数和方程个数相等的方程组的解，在方程组的系数行列式不为方程组的系数行列式不为0的时候，有两种方法求解的时候，有两种方法求解1.克莱默法则。克莱默法则。.DDx,DDx,DDx,DDxnn 2322112.用逆矩阵求解。用逆矩阵求解。bAX1其中其中A是系数矩阵是系数矩阵另外，用逆矩阵求解线性方程组的方法，也可以另外，用逆矩阵求解线性方程组的方法，也可以推广到求解含有未知矩阵的矩阵方程。推广到求解含有未知矩阵的矩阵方程。例例1.18计算n阶行列式abaabaD0000000000解：先做n-2次相
10、邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上;再做n2次相邻的列的互换，使最后一列换到第二列的位置上。aaabbaaaabbaDnn0000000000100000000001)2(22由拉普拉斯定理，可得22200baaaaabbaDn方阵与行列式方阵与行列式行列式作为方阵的一个数字特征，具有如下性质（其中A,B为n阶方阵，为数性质性质1.14AATdetdet性质性质1.15AAAAnndetdet即证明：设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211根据行列式的性质，将Adet中每一行的公因子提出，得到AaaaaaaaaaaaaaaaaaaAnnnnnnnnnnnndetdetn212222111211n212222111211性质性质1.16设设A . B为为n阶方阵，则有阶方阵，则有BAAB（行列式的乘法定理）（行列式的乘法定理）行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵相乘的情形相乘的情形k21k21AAAAAA即1.14 行列式行列式
