1、2.2 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 电介质电介质 波动方程波动方程tBE tDJH D0 B2.2.1 D、E、B、H分别表示电位移矢量、分别表示电位移矢量、 电场强度、电场强度、 磁感应磁感应强度、磁场强度；强度、磁场强度；是自由电荷体密度；是自由电荷体密度； J是电流密度。这种是电流密度。这种微分形式的方程组将任意时刻、空间任一点的电、微分形式的方程组将任意时刻、空间任一点的电、 磁场的时磁场的时空关系与同一时空点的场源联系在一起。空关系与同一时空点的场源联系在一起。 =0r为介电常数，描述介质的电学性质；为介电常数，描述介质的电学性质；=0r为介质磁为介质磁导率，描述介质的磁学性质；导率，
2、描述介质的磁学性质；为电导率，描述介质的导电特为电导率，描述介质的导电特性。性。 sJEJHMHBEPED 000物质方程物质方程1. 电介质的特性电介质的特性2.2.2 电介质电介质 电极化：电极化：形成形成宏观束缚电荷宏观束缚电荷的现象。的现象。 电介质：电介质：能产生电极化的物质。能产生电极化的物质。):(3210 EEEEEEP 介质折射率介质折射率xnr1与与 的关系不同，介质就呈现不同的特性。的关系不同，介质就呈现不同的特性。极化强度：极化强度：PEEP0(1) 线性特性线性特性 与与 是线性关系是线性关系PE(2)均匀性均匀性与与 的关系与位置无关，在任何一处的极化率都是常数的关
3、系与位置无关，在任何一处的极化率都是常数EP(3)各向同性各向同性),(trE与与 的关系与矢量的关系与矢量 的取向无关，的取向无关， 与与 平行平行PEPEEEp 010 2 电介质的分类电介质的分类(1)简单电介质简单电介质线性，均匀，各向同性，非色散。线性，均匀，各向同性，非色散。(2)非均匀介质非均匀介质(3)各向异性介质各向异性介质(4)非线性介质非线性介质 只是非均匀，只是非均匀， 与与 的关系与的关系与 有关。不同有关。不同 处的极化率不处的极化率不同，折射率同，折射率n不同。不同。PErr 与与 的方向不一致。的方向不一致。 与与 的关系与的关系与 的取向有关。的取向有关。不不
4、同方向的极化率不同，折射率不同。同方向的极化率不同，折射率不同。这种介质中某些方向容这种介质中某些方向容易极化些，另一些则较难极化。易极化些，另一些则较难极化。PEPEE 与与 的关系不只与的关系不只与 的一次项有关，也与它的高次项有关。的一次项有关，也与它的高次项有关。PEE2.2.3 波动方程波动方程1. 时域波动方程时域波动方程022222 tEcnE对于对于线性，均匀，各向同性线性，均匀，各向同性的电介质：的电介质：01PxEnx，磁场方程：磁场方程：sJtHtHcnH 022222对于非导电、无磁性介质（大多数属于该情况）：对于非导电、无磁性介质（大多数属于该情况）：波动方程：波动方
5、程：022222 tHcnH电场方程：电场方程：22200221sJnEEEcttt m/s 10012) 000 0.00058 934 (2.997/1800 c jt 222 t2. 频域波动方程频域波动方程在时谐条件下：在时谐条件下：tiezyxEtzyxE ),(),( tiezyxHtzyxH ),(),( 应用：应用：22222200EnEHnH， 对于高频低电导无源材料，得到对于高频低电导无源材料，得到rrcn 折射率表示为：折射率表示为： 除铁磁性介质外，大多数介质的磁性都很弱，可以认为除铁磁性介质外，大多数介质的磁性都很弱，可以认为r1。折射率也描述光在介质中传播的快慢，折
6、射率也描述光在介质中传播的快慢， 是表征介质光是表征介质光学性质的一个很重要的参量。学性质的一个很重要的参量。 此式称为麦克斯韦关系。对于一般介质，此式称为麦克斯韦关系。对于一般介质，r 或或n都是都是频率的频率的函数函数， 具体的函数关系取决于介质的结构。具体的函数关系取决于介质的结构。 为了描述电磁能量的传播，引入为了描述电磁能量的传播，引入能流密度能流密度玻印亭矢量玻印亭矢量S，它定义为单位时间内，通过垂直于传播方向上的单位面积，它定义为单位时间内，通过垂直于传播方向上的单位面积的能量，表达式为的能量，表达式为 2.2.4 光波的能流密度光波的能流密度HES 对于沿对于沿z方向传播的平面
7、光波，光场表示为：方向传播的平面光波，光场表示为： E=exE0cos(t-kz), H=hyH0cos(t-kz) 式中的式中的ex、hy是电场、磁场振动方向上的单位矢量。是电场、磁场振动方向上的单位矢量。)(cos2200kztEcnsSz 00HE rrrrnc ，110000利用利用光波的能流密度光波的能流密度S为为 )(cos200kztHEsSz 因为因为平面光波场平面光波场有：有：S可写为可写为 平面光波的能量沿平面光波的能量沿z方向以波动形式传播。光的频率很高，方向以波动形式传播。光的频率很高，S的大小随时间的变化很快。光探测器的响应时间较慢，例的大小随时间的变化很快。光探测器
8、的响应时间较慢，例如光电二极管仅为如光电二极管仅为10-810-9 s，远远跟不上光能量的瞬时变化，远远跟不上光能量的瞬时变化，只能给出只能给出S的平均值。所以，在实际应用中都利用的平均值。所以，在实际应用中都利用能流密度能流密度的时间平均值的时间平均值S表征光电磁场的能量传播表征光电磁场的能量传播，并称，并称S为为光强光强，以，以I表示。假设光探测器的响应时间为表示。假设光探测器的响应时间为T，则：，则： tSTSTd10 将将S表达式代入，表达式代入， 进行积分，可得：进行积分，可得： 202002002121EEEcnSI 2/200 cn 由此可见，光强与电场强度振幅的平方成正比。由此
9、可见，光强与电场强度振幅的平方成正比。 通过测通过测量光强，便可计算出光波电场的振幅量光强，便可计算出光波电场的振幅E0。相应的光电场强度相应的光电场强度振幅振幅为为 V/m 1087. 0292/100 ncIE 这样强的电场，能够产生极高的温度，足以将目标烧毁。这样强的电场，能够产生极高的温度，足以将目标烧毁。 在有些应用场合，由于只考虑某一种介质中的光强，在有些应用场合，由于只考虑某一种介质中的光强，只关只关心光强的相对值，心光强的相对值，因而往往省略比例系数，把光强写成：因而往往省略比例系数，把光强写成： I=E2=E20 如果考虑的是不同介质中的光强，如果考虑的是不同介质中的光强，
10、比例系数不能省略。比例系数不能省略。 例如，例如，一束一束105 W的激光，用透镜聚焦到的激光，用透镜聚焦到110-10 m2的面积上，的面积上，则在透镜焦平面上的则在透镜焦平面上的光强光强（功率密度）约为（功率密度）约为 215105 W/m101010I 根据光场解的形式的不同，光波可分类为平面光波，根据光场解的形式的不同，光波可分类为平面光波， 球球面光波，柱面光波或高斯光束。面光波，柱面光波或高斯光束。 2.3 光波的表示光波的表示2.3.1 首先说明，光波中包含有电场矢量和磁场矢量，从波的首先说明，光波中包含有电场矢量和磁场矢量，从波的传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质
11、的相传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质的相互作用来看，其作用不同。在通常应用的情况下，互作用来看，其作用不同。在通常应用的情况下，磁场的作磁场的作用远比电场弱，甚至不起作用。用远比电场弱，甚至不起作用。实验证明，使照相底片感光实验证明，使照相底片感光的是电场，不是磁场；对人眼视网膜起作用的也是电场，不的是电场，不是磁场；对人眼视网膜起作用的也是电场，不是磁场。是磁场。 因此，通常把光波中的因此，通常把光波中的电场矢量电场矢量E称为光矢量称为光矢量，把电场，把电场E的振动称为光振动，的振动称为光振动，在讨论光的波动特性时，只考虑电场矢在讨论光的波动特性时，只考虑电场矢量量E即可。即
12、可。 (1) 单色平面光波的三角函数表示单色平面光波的三角函数表示 可以采取不同的具体函数表示。最简单、最普遍采用的是可以采取不同的具体函数表示。最简单、最普遍采用的是三角函数形式，即三角函数形式，即 E=Acos(t-kz)+Bsin(t+kz)若只计沿若只计沿+z方向传播的平面光波，其电场表示式为方向传播的平面光波，其电场表示式为 zTteEvzteEkzteEE2coscos)cos(0001. 平面光波平面光波)cos(0rkteEE 或者： 为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复数形式。为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复数形式。例如例如)(0kztieEE 采用这种形
13、式，可以用简单的指数运算代替比较繁杂的三采用这种形式，可以用简单的指数运算代替比较繁杂的三角函数运算。要确定光强，只需将复数形式的场乘以它的共角函数运算。要确定光强，只需将复数形式的场乘以它的共轭复数即可：轭复数即可： 20)(0)(0*EeEeEEEkztikzti (2) 单色平面光波的复数表示单色平面光波的复数表示 任意描述真实存在的物理量的参量都应当是实数，任意描述真实存在的物理量的参量都应当是实数，采用复数采用复数形式只是数学上运算方便的需要。形式只是数学上运算方便的需要。 对复数形式的量进行线性对复数形式的量进行线性运算，只有取实部后才有物理意义。此外，运算，只有取实部后才有物理意
14、义。此外， 由于对复数函数由于对复数函数exp-i(t-kz)与与expi(t-kz)两种形式取实部得到相同的两种形式取实部得到相同的函数，因而对于平面简谐光波，采用函数，因而对于平面简谐光波，采用exp-i(t-kz)和和expi(t-kz)两种形式完全等效。两种形式完全等效。因此，可以采取其中任意一因此，可以采取其中任意一种形式。种形式。 rk ieEE 0或或 一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面光波，一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面光波， 等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同同心球面。心球面。 由
15、于球面光波的球对称性，其波动方程仅与由于球面光波的球对称性，其波动方程仅与r有关，与坐标有关，与坐标、无关，因而球面光波的振幅只随距离无关，因而球面光波的振幅只随距离r变化。若忽略场的矢量变化。若忽略场的矢量性，可将波动方程表示为：性，可将波动方程表示为：2. 球面光波球面光波球面光波示意图球面光波示意图 )cos(krtrAE )(krtierAE rAEEI2* 如果观察点远离光源，且在小范如果观察点远离光源，且在小范围内，球面波可视为平面波。围内，球面波可视为平面波。 一个各向同性的一个各向同性的无限长线光源无限长线光源，向外发射的波是柱面光，向外发射的波是柱面光波，波， 其等相位面是以
16、线光源为中心轴、随着距离的增大而逐其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的增大而逐渐扩展的渐扩展的同轴圆柱面同轴圆柱面， 如图所示。如图所示。 3. 柱面光波柱面光波柱面光波示意图柱面光波示意图 当当 r 较大较大(远大于波长远大于波长)时，时， 其单色柱面光波场解的表示式其单色柱面光波场解的表示式为为 )(rktierAE 可以看出，柱面光波的振幅与可以看出，柱面光波的振幅与 成反比。式中的成反比。式中的A是离开线光源是离开线光源单位距离处光波的振幅值。单位距离处光波的振幅值。 r2.3.2 高斯光束高斯光束 高斯光束是一种非均匀波，在许多方面类似于平面波。但高斯光束是一种非均匀波，在许多方
17、面类似于平面波。但是它的强度分布不均匀，主要是它的强度分布不均匀，主要集中在传播轴附近集中在传播轴附近。它的等相。它的等相面是弯曲的，等相面上的光场振幅分布是非均匀的高斯分布。面是弯曲的，等相面上的光场振幅分布是非均匀的高斯分布。大部分激光器输出是高斯光束。大部分激光器输出是高斯光束。高斯光束的特点高斯光束的特点(旁轴情况下旁轴情况下)：(1)一种非均匀高斯球面波一种非均匀高斯球面波(2)传播过程中曲率中心不断改变传播过程中曲率中心不断改变(3)振幅分布在横截面内为高斯分布振幅分布在横截面内为高斯分布(4)强度集中在轴线及其附近强度集中在轴线及其附近(5)等相面保持球面等相面保持球面 )()(
18、2exp)(),(2)(0022zjzRjkjkzezwAzEzw 1. 特点及表达式特点及表达式表达式表达式式中，式中，E0为常数，其余符号的意义为：为常数，其余符号的意义为： 222yx 201)(zzzzR2/12001)( zzz 2/100 z 由激光器的结构和参数所决定，由激光器的结构和参数所决定，已知已知 ，就可以求出所有其它参数。，就可以求出所有其它参数。0z0z 2 k这里，这里，w0为基模高斯光束的为基模高斯光束的束腰束腰半径半径； 为高斯光束的为高斯光束的共焦参数共焦参数或或瑞利长度；瑞利长度；R(z) 为与传播轴线相为与传播轴线相交于交于z点的高斯光束点的高斯光束等相位
19、面的曲等相位面的曲率半径率半径； w(z)为与传播轴线相交为与传播轴线相交于于z点的高斯光束等相位面上的点的高斯光束等相位面上的光光斑半径。斑半径。0z图 2-28 高斯光束的扩展 2. 基模高斯光束基本特征：基模高斯光束基本特征： )(2exp)(),(222020zzAzI 1.光强与光功率光强与光功率 任何位置的光强都是径向距离的高斯函数，在轴上光强任何位置的光强都是径向距离的高斯函数，在轴上光强最大，随着离轴距离的增加，光强按指数规律下降。最大，随着离轴距离的增加，光强按指数规律下降。 在在 处，光强下降到轴上的处，光强下降到轴上的 。)(z 2/1 e轴上的光强随着轴上的光强随着z的
20、增加而减小，即的增加而减小，即2)/(1)(), 0(0202020zzAzAzI （2）光束半径与发散角：）光束半径与发散角：光束半径：光束半径：由中心振幅值下降到由中心振幅值下降到1/e点所对应的宽度，定义为点所对应的宽度，定义为光斑半径光斑半径 ：201)( fzwzw1)(22202 fzwzw 可见，基模高斯光束的光斑半径随着坐标可见，基模高斯光束的光斑半径随着坐标z按双曲线的规律按双曲线的规律扩展，光斑半径最小处称为光腰。扩展，光斑半径最小处称为光腰。 光束半径 发散角：发散角：基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的发散度采用远场发
21、散角表征。远场发散角定义为发散度采用远场发散角表征。远场发散角定义为z 时，强时，强度为中心的度为中心的1/e2点所夹角的全宽度，点所夹角的全宽度， 即即 0/1)(lim2wzzwze 发散角（3） 基模高斯光束场的相位与波前半径基模高斯光束场的相位与波前半径 高斯光束的等相位面近似为以高斯光束的等相位面近似为以R(z)为半径的为半径的球面球面，R(z)随随z的变化规律为的变化规律为 zzzzR20)( 当当z=0时，时，R(z)，表明，表明束腰所在处的等相位面为平面束腰所在处的等相位面为平面； 当当z时，时，|R(z)|z，表明，表明离束腰无限远处的等相位面离束腰无限远处的等相位面亦为平面
22、亦为平面； 显然，高斯光束的发散角由束腰半径显然，高斯光束的发散角由束腰半径w0决定。采用透镜对决定。采用透镜对光束聚焦，可以得到较小的光斑，但发散角相应增大。光束聚焦，可以得到较小的光斑，但发散角相应增大。 综上所述，综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近可以看作是一基模高斯光束在其传播轴线附近可以看作是一种非均匀的球面波，其等相位面是曲率中心不断变化的球面，种非均匀的球面波，其等相位面是曲率中心不断变化的球面， 振幅和强度在横截面内保持高斯分布。振幅和强度在横截面内保持高斯分布。 单色光波单色光波：频率为：频率为的单色平面光波的单色平面光波 )cos(00 kztEE 复色光波：复色光波：
23、指某光波由若干单色光波组合而成，或者说它包指某光波由若干单色光波组合而成，或者说它包含有多种频率成分，它在时间上是有限的波列。复色波的电含有多种频率成分，它在时间上是有限的波列。复色波的电场是所含各个单色光波电场的叠加，即场是所含各个单色光波电场的叠加，即 NllllzktEE10)cos( 2.4 复色光波的时域频率谱复色光波的时域频率谱 传播速度传播速度2.4.1 复色光波的频率谱复色光波的频率谱1. 复色光波的表示复色光波的表示2.2.复色光波的频率谱复色光波的频率谱光波场在时间域内的变化光波场在时间域内的变化E(t)可以表示为如下形式：可以表示为如下形式： 严格的单色光波不存在，所能得
24、到的各种光波均为复色波。严格的单色光波不存在，所能得到的各种光波均为复色波。 dvevEvEFtEvti 21)()()( 可将可将exp(-i2t)视为频率为视为频率为的单位振幅简谐振荡。这样，的单位振幅简谐振荡。这样，上式可理解为：上式可理解为：一个随时间变化的光波场振动一个随时间变化的光波场振动E(t)，可以视，可以视为许多单频成分简谐振荡的叠加。为许多单频成分简谐振荡的叠加。 dtetEtEFvEvti 2)()()( 一般情况下一般情况下E()为复数，它就是为复数，它就是频率分量的复振幅，可表频率分量的复振幅，可表示为示为 )(| )(|)(vievEFvE |E()|为光场振幅的大
25、小；为光场振幅的大小； ( () )为相位角。因而，为相位角。因而，|E()|2表表征了征了频率分量的功率，频率分量的功率，称称|E()|2为光波场的功率谱。为光波场的功率谱。 各成分相应的振幅各成分相应的振幅E()称为称为E(t)的频谱分布，或简称频谱，的频谱分布，或简称频谱，并且按下式计算：并且按下式计算： (1) 无限长时间的等幅振荡无限长时间的等幅振荡 其表达式为其表达式为 teEtEtvi020)( 式中，式中，E0、0为常数，且为常数，且E0可以取复数值。它的频谱为可以取复数值。它的频谱为 )()(00)(2022000vvEdteEdteeEvEtvvivtitvi 该式表明，该
26、式表明，等幅振荡光等幅振荡光场对应的频谱只含有一个场对应的频谱只含有一个频率成分频率成分0， 称其为称其为理想理想单 色 振 动单 色 振 动 。 其 功 率 谱 为。 其 功 率 谱 为|E()|2，如图所示。，如图所示。 等幅振荡及其频谱图等幅振荡及其频谱图 (2) 持续有限时间的等幅振荡持续有限时间的等幅振荡 其他其他02/2/e)(02TtTtEtvi )( csin)()(sinde)(0002/2/20vvTTvvTvvTTtvETTtvi 功率谱：功率谱： )(csin)(0222vvTTvE 光场频谱的主要部分集中在光场频谱的主要部分集中在从从1到到2的频率范围之内，的频率范围
27、之内，0是是振荡的表观频率，振荡的表观频率， 或称为中心或称为中心频率。频率。 定义最靠近定义最靠近0的两个强度为的两个强度为零的点所对应的频率零的点所对应的频率2和和1之差之差的一半为这个有限正弦波的频谱的一半为这个有限正弦波的频谱宽度宽度 Tv1振荡持续的时间越长，频谱宽度愈窄。振荡持续的时间越长，频谱宽度愈窄。 图图 有限正弦波及其频谱图有限正弦波及其频谱图 (3) 衰减振荡衰减振荡 000ee)(02tttEtvit 相应的相应的E()为为 ivvidtedteeevEtivvivtitvit )(2)(0)(22200功率谱为功率谱为 22022)(41)(*)(| )(| vvvE
28、vEvE 衰减振荡也可视为无限多个振幅不同、频率连续变化的衰减振荡也可视为无限多个振幅不同、频率连续变化的简谐振荡的叠加，简谐振荡的叠加，0为其中心频率。这时，把最大强度一半为其中心频率。这时，把最大强度一半所对应的两个频率所对应的两个频率2和和2之差之差，定义为这个衰减振荡的，定义为这个衰减振荡的频频谱宽度谱宽度。 )()(100212vvvvvvv图图 衰减振荡及其频谱图衰减振荡及其频谱图强调指出，在上面的有限正弦振荡强调指出，在上面的有限正弦振荡和衰减振荡中，尽管表达式中含有和衰减振荡中，尽管表达式中含有exp(-i20t)的因子，但的因子，但E(t)已不再已不再是单频振荡了。换言之，我
29、们只能是单频振荡了。换言之，我们只能说这种振荡的说这种振荡的表观频率为表观频率为0，而不而不能简单地说振荡频率为能简单地说振荡频率为0 。只有以只有以某一频率作无限长时间的等幅振荡，某一频率作无限长时间的等幅振荡，才可以说是严格的单色光。才可以说是严格的单色光。 实际上能够得到的只是接近于单色光。持续有限时间的等实际上能够得到的只是接近于单色光。持续有限时间的等幅振荡，如果其振荡持续时间很长，以致于幅振荡，如果其振荡持续时间很长，以致于1/T0，可认为，可认为接近于单色光。接近于单色光。tvietEtE020)()( 在光电子技术应用中，经常在光电子技术应用中，经常运用的调制光波均可认为是准运
30、用的调制光波均可认为是准单色光单色光(或称准单色光波或称准单色光波)。 3. 准单色光准单色光 这种振荡的频谱就集中于这种振荡的频谱就集中于0附附近的一个很窄的频段内，可认为近的一个很窄的频段内，可认为是中心频率为是中心频率为0的的准单色光准单色光， 其其场振动表达式为场振动表达式为： 图图 高斯型准单色光波及其频谱图高斯型准单色光波及其频谱图复色光波的光电场是所包含各个单色光波电场的叠加。复色光波的光电场是所包含各个单色光波电场的叠加。 以二色波为例进行说明。以二色波为例进行说明。二色波的光电场二色波的光电场为：为： )cos()cos(22021101zktEzktEE 例子：例子：假设假
31、设E01=E02=E0，且，且|1-2| 1 ，2 ，则，则 )cos(),(zkttzEE 0mmm12121212( , )2cos()1111()()222211()()22mE z tEtk zkkkkkkk， ， 式中：式中：对于上述复色光波，对于上述复色光波，E(z, t)为其光场的振幅为其光场的振幅(包络包络)， 为其光场相位。为其光场相位。zkt 两个单色光波的叠加两个单色光波的叠加 复色光波的传播速度包含两种含义：等相位面的传播速复色光波的传播速度包含两种含义：等相位面的传播速度和等振幅面的传播速度，前者称为度和等振幅面的传播速度，前者称为相速度相速度，后者称为，后者称为群速
32、群速度或包络速度度或包络速度。 复色波的相速度复色波的相速度 某时刻等相位面的位置某时刻等相位面的位置z对时间的变化率对时间的变化率dz/dt即为等相位的即为等相位的传播速度传播速度复色波的相速度，复色波的相速度， 且有且有 )(21/ )(21dd2121kkktzv 复色光波的群速度复色光波的群速度 复色光波的复色光波的振幅是时间和空间的余弦函数振幅是时间和空间的余弦函数，在任一时刻，在任一时刻，满足满足(mt-kmz)=常数的常数的z值，代表了某等振幅面的位置，该等值，代表了某等振幅面的位置，该等振幅面位置对时间的变化率即为等振幅面的传播速度振幅面位置对时间的变化率即为等振幅面的传播速度复复色光波的群速度色光波的群速度， 且有且有dkdkktzvmmg dd dd1nnvvg上式还可表示为上式还可表示为 该式表明，该式表明，在折射率在折射率n 随波长变化的色散介质中，复色光波随波长变化的色散介质中，复色光波的相速度不等于群速度：的相速度不等于群速度：对于正常色散介质对于正常色散介质(dn/d0)，vvg；对于反常色散介质对于反常色散介质(dn/d0)，vvg； 在无色散介质在无色散介质(dn/d=0)中，复色光波的相速度等于群速度，实际上，只有真空才属中，复色光波的相速度等于群速度，实际上，只有真空才属于这种情况。于这种情况。
