1、第第3章章 流体动力学理论基础流体动力学理论基础 实际工程中经常遇到运动状态的流体。流体的运动实际工程中经常遇到运动状态的流体。流体的运动特性可用流速、加速度等一些物理要素来表征。流体动力特性可用流速、加速度等一些物理要素来表征。流体动力学研究运动要素随时空的变化情况，建立它们之间的关系学研究运动要素随时空的变化情况，建立它们之间的关系式，并用这些关系式解决工程上的问题。式，并用这些关系式解决工程上的问题。 经典力学中有质量守恒定律、能量守恒定律及动量守经典力学中有质量守恒定律、能量守恒定律及动量守恒定律。恒定律。 本章先建立流体运动的基本概念，然后依据流束理论本章先建立流体运动的基本概念，然
2、后依据流束理论，从质量守恒定律出发建立流体的连续性方程、从能量守，从质量守恒定律出发建立流体的连续性方程、从能量守恒定律出发建立流体的能量方程，从动量定理出发建立流恒定律出发建立流体的能量方程，从动量定理出发建立流体的动量方程。体的动量方程。本章的主要内容：本章的主要内容： 流体运动的基本概念流体运动的基本概念 流体运动的总流理论流体运动的总流理论 恒定总流连续性方程、能量方程和动量方程恒定总流连续性方程、能量方程和动量方程 流体运动的流场理论流体运动的流场理论 理想流体的运动方程、理想流体的运动方程、N-S方程和恒定平面方程和恒定平面势流势流任务任务：建立描述流体运动的基本方程，并理解其物：
3、建立描述流体运动的基本方程，并理解其物理意义、掌握其实际应用。理意义、掌握其实际应用。本章重点本章重点：恒定总流的：恒定总流的连续性方程连续性方程、能量方程能量方程和和动动量方程量方程及其应用及其应用3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 一、拉格朗日法一、拉格朗日法 (Lagrange Method) 拉格朗日法拉格朗日法以研究个别流体质点的运动为基础，通过以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。所以这种方法又可叫做律性。所以这种方法又可叫做质点系法质点系法。 用用质点起始坐标
4、质点起始坐标(a，b，c)作为质点的标志作为质点的标志,任意时刻任意时刻质点的位置坐标是质点的位置坐标是起始坐标起始坐标和和时间时间变量的连续函数。变量的连续函数。)()()(tcbazztcbayytcbaxx、ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),( 运动轨迹运动轨迹 质点速度质点速度 (1) (a，b，c)=C , t为变数，可以得出某个为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。指定质点在任意时刻所处的位置。 (2) (a，b，c)为变数，为变数，t=C，可以得出某一，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。瞬间不同质点在空间的分布情况。加
5、速度加速度222222tztuatytuatxtuazzyyxx 二、欧拉法二、欧拉法(Euler Method) 欧拉法欧拉法是以考察不同流体质点通过固定空间是以考察不同流体质点通过固定空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做做流场法流场法。通常在同一时刻不同空间点上的流速是不同通常在同一时刻不同空间点上的流速是不同的，同一空间点上不同时刻的速度也不同，即流速是的，同一空间点上不同时刻的速度也不同，即流速是空间坐标（空间坐标（x，y，z）和时间
6、）和时间t的函数的函数：速度速度 )()()(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx、 若令上式中若令上式中x、y、z为常数，为常数，t为变数，为变数，即可求得在某一固定空间点上流体质点在不即可求得在某一固定空间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况。同时刻通过该点的流速的变化情况。 若令若令t为常数，为常数，x、y、z为变数为变数,则可求得则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速的分布情况的流速的分布情况(即流速场即流速场)。)()()(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx、 加速度是速度的全微分。加速度是速度的
7、全微分。对于流体质点，不同时刻对于流体质点，不同时刻位于不同的空间位置。位于不同的空间位置。 故故质点加速度必須按复合函数求导数的法则求导：质点加速度必須按复合函数求导数的法则求导：分量分量 类似地有：类似地有： ay=; az= zuuyuuxuutudtdzzudtdyyudtdxxutudtudazyxzuuyuuxuutuaxzxyxxxx 式中第一项叫式中第一项叫时变加速度时变加速度或或当地加速度当地加速度(Local Acceleration)，流动过程中流体由于速度流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；随时间变化而引起的加速度；第二项叫第二项叫位变速度位变速度，流动过程
8、中流体由于速度随位置变化而引起的流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度加速度(Connective Acceleration)。zuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于是否是恒定流，而要看流体质点自一点转移到另一是否是恒定流，而要看流体质点自一点转移到另一点时流速是否改变。点时流速是否改变。均匀流是迁移加速度为零。均匀流是迁移加速度为零。
9、zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx1、在水位恒定的情况下：、在水位恒定的情况下： (1)AA不存在时变加速度不存在时变加速度和位变加速度。和位变加速度。 (2)BB不存在时变加速度，不存在时变加速度，但存在位变加速度。但存在位变加速度。2、在水位变化的情况下：、在水位变化的情况下： (1) AA存在时变加速度，但不存在位变加速度。存在时变加速度，但不存在位变加速度。 (2) BB既存在时变加速度，又存在位变加速度。既存在时变加速度，又存在位变加速度。问题问题：均匀流是：均匀流是：
10、 A、当地加速度为零、当地加速度为零 C、向心加速度为零、向心加速度为零 D、合加速度为零、合加速度为零 B、迁移加速度为零、迁移加速度为零 在实际工程中，一般都只需要弄清楚在某一在实际工程中，一般都只需要弄清楚在某一些空间位置上流体的运动情况，而并不去追究流些空间位置上流体的运动情况，而并不去追究流体质点的运动轨迹。体质点的运动轨迹。 例如，研究一个隧洞中的水流，只要知道了例如，研究一个隧洞中的水流，只要知道了液体经过隧洞中不同位置时的速度及动压力，这液体经过隧洞中不同位置时的速度及动压力，这样就能满足工程设计的需要。样就能满足工程设计的需要。 所以，欧拉（所以，欧拉（Euler）法对工程流
11、体力学的研）法对工程流体力学的研究具有重要的意义。究具有重要的意义。恒定流恒定流(Steady Flow)：在流场中，任何空间点上所有在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变。的运动要素都不随时间而改变。 运动要素仅仅是空间运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关。坐标的连续函数，而与时间无关。 3-2 研究流体运动的若干基本概念研究流体运动的若干基本概念一、恒定流与非恒定流一、恒定流与非恒定流水位不变水位不变 恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等于零：应等于零： 00tptututuzyx非恒定流非恒定流(unsteady f
12、low) ：流场中任何点上有任何一流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。个运动要素是随时间而变化的。在实际工程中，常把运动参数随时间变化缓慢的流动在实际工程中，常把运动参数随时间变化缓慢的流动按恒定流处理，以求简化。按恒定流处理，以求简化。 流场和运动参数流场和运动参数 流场流场指充满运动流体的空间。指充满运动流体的空间。 运动参数运动参数指表征流体运动特征的物理量。指表征流体运动特征的物理量。二、一元流、二元流、三元流二、一元流、二元流、三元流 凡流体中任一点的运动要素只与凡流体中任一点的运动要素只与一个空间自变量一个空间自变量有关，这种流体称为有关，这种流体称为一元流一元流(O
13、ne-dimensional Flow)。 流场中任何点的运动要素和流场中任何点的运动要素和两个空间自变量两个空间自变量有关有关，此种流体称为，此种流体称为二元流二元流(Two-dimensional Flow) 。 若流体中任一点的流速，与若流体中任一点的流速，与三个空间位置变量三个空间位置变量有有关，这种流体称为关，这种流体称为三元流三元流。 三、迹线与流线三、迹线与流线 拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况，拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况，引出了迹线的概念；引出了迹线的概念； 欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动情欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位
14、置的运动情况引出了流线的概念。况引出了流线的概念。 1、迹线与流线的概念、迹线与流线的概念 迹线迹线(path line) ：某一流体质点在某一流体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空运动过程中，不同时刻所流经的空间点连成的线称为迹线，即流体质间点连成的线称为迹线，即流体质点运动时所走过的轨迹线。图示点运动时所走过的轨迹线。图示烟烟火的轨迹。火的轨迹。 流线流线(Stream Line)：是某一瞬时在流场是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。点的速度向量都与该曲线相切。2、流线的特性、流线的特性 1) 恒定流时，流线的形
15、状和位置不随时间而改变。恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变。 2) 恒定流时流体质点运动的迹线与流线相重合。恒定流时流体质点运动的迹线与流线相重合。 3) 流线不能相交。流线不能相交。(因为根据流线定义，在交点的液因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。点不可能同时有两个速度向量。 ) 4) 流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。(因为因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。 ) 5) 流线簇
16、的疏密反映了速度的大小流线簇的疏密反映了速度的大小(流线密集的地流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小方流速大，稀疏的地方流速小)。(因为对不可压缩流体因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。，元流的流速与其过水断面面积成反比。) 3、流线方程、流线方程设设m为流线上的一点，该点的流速为为流线上的一点，该点的流速为u,从该点沿流线方向取一微元段从该点沿流线方向取一微元段dr，u和和dr在在x、y、z轴上的分量分别为轴上的分量分别为ux、 uy、 uz和和dx、dy、dz，根据流线定，根据流线定义义u与与dr（即该点的切线方向（即该点的切线方向)方向一致，即方向一致，即 流线的微分
17、方程流线的微分方程yuxuyudydxdr流线流线xzyxudzudyudxudrudzudrudyudrudxzyxdrdzuudrdyuudrdxuuzyx迹线方程迹线方程 由运动微分方程由运动微分方程即可推出即可推出迹线的微分方程迹线的微分方程式中，式中，时间时间t是自变量是自变量，而，而x,y,z是是t的因变量。的因变量。dtudzudyudxzyxdtudzdtudydtudxzyx思考题思考题 实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？ 不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的运不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的运动，确定流体
18、流动趋势。动，确定流体流动趋势。解解 (1)流线微分方程：流线微分方程： 积分得：积分得： 流线方程流线方程 不同时刻不同时刻(t=0,1,2)的流线是三组不同斜率的直的流线是三组不同斜率的直 线族。线族。例例 已知速度场已知速度场ux=a，uy=bt，uz=0。试求：。试求： (1)流线方程及流线方程及t=0，t=1，t=2时的流线图；时的流线图； (2)迹线方程及迹线方程及t=0时过时过(0，0)点的迹线。点的迹线。cxabtybtdyadx1cbtxay(2)迹线方程迹线方程 积分得积分得yt0t1t2t3t4C=1C=2C=3C=4C=5xt=0流线流线l=012345yt=2流线流线
19、012345迹线迹线xyt0123450t=1流线流线C=1C=2dtbtdyadxbtdtdyadtdx2212ctbycatx由由t=0,x=0,y=0,确定积分常数，确定积分常数，c1=0,c2=0。得得 再消去再消去t，且过且过(0,0)点的迹线方程点的迹线方程是一抛物线方程。是一抛物线方程。221btyatx222xaby 四、流管、流束、元流、总流、过流断面四、流管、流束、元流、总流、过流断面 1、流管、流管(stream tube) 在流体中任意一微分面积在流体中任意一微分面积dA(如图如图)，通过该面积，通过该面积的周界上的每一个点，均可作一根流线，这样就构成一的周界上的每一个
20、点，均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。个封闭的管状曲面，称为流管。 2、元流、元流 流束：流管内所有流线的集合。流束：流管内所有流线的集合。 充满以流管为边界的一束流体，称为充满以流管为边界的一束流体，称为微元流束微元流束,即就即就是过流断面无限小的流束。是过流断面无限小的流束。 注注：(1)流束表面没有流体穿过；流束表面没有流体穿过； (2)在元流断面上，运动参数各点相同；在元流断面上，运动参数各点相同； (3)元流的极限是流线。元流的极限是流线。流束流束3、总流、总流 任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的
21、实际水流称为有一定大小尺寸的实际水流称为总流总流(total flow )。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。4、过流断面、过流断面(cross section) 与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过流断面。该面积流断面。该面积dA或或A称为过流面积，单位称为过流面积，单位m2。 注意：注意：过流断面可为平面过流断面可为平面也可为曲面。也可为曲面。 判断判断：均匀流过流断面是一平面，：均匀流过流断面是一平面，渐变流过流断面近似平面。渐变流过流断面近似平面。(对对)五、流量与断面平均流速五、流量与断面平
22、均流速 1、流量、流量(discharge) 单位时间内通过某一过流断面的流体体积单位时间内通过某一过流断面的流体体积(质量质量)称为称为流量。流量常用的单位为流量。流量常用的单位为 米米秒（秒（m3/s）、千克秒（）、千克秒（kg/s） ，符号，符号表示。表示。通常所说的流量一般指体积流量，用通常所说的流量一般指体积流量，用qv表示。表示。质量流量用质量流量用qm表示。表示。 对于对于均质不可压缩均质不可压缩流体，密度流体，密度为常数，则质量流量为：为常数，则质量流量为：AmudAqAvudAqvmqq2、断面平均流速、断面平均流速 过流断面各点速度的断面平均值过流断面各点速度的断面平均值，
23、是一个，是一个想象的流速，如果过流断面上各点的流速都相等想象的流速，如果过流断面上各点的流速都相等并等于并等于，此时所通过的流量与实际上流速为不，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则流速均匀分布时所通过的流量相等，则流速就称为就称为断面平均流速。断面平均流速。AAAVvAdAvvdAudAq 由此可见，通过过流断面的流量等于断面平均流由此可见，通过过流断面的流量等于断面平均流速与过流断面面积的乘积，也即过流断面上各点均速与过流断面面积的乘积，也即过流断面上各点均以同一平均流速运动。引入断面平均流速的概念，以同一平均流速运动。引入断面平均流速的概念，可以使流体运动的分析
24、得到简化。可以使流体运动的分析得到简化。六、均匀流与非均匀流、渐变流六、均匀流与非均匀流、渐变流1、均匀流、均匀流 均匀流：均匀流：当流体的流线为相互平行的直线时，该流体当流体的流线为相互平行的直线时，该流体称为均匀流称为均匀流 。 均匀均匀 流具有以下特性：流具有以下特性： 1)均匀流的过流断面为平面，且过流断面的形状和尺均匀流的过流断面为平面，且过流断面的形状和尺寸沿程不变。寸沿程不变。 2)均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。各过流断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。 3)均匀流过流断面
25、上的动压强分布规律与静压强分布均匀流过流断面上的动压强分布规律与静压强分布规律相同，即规律相同，即在同一过流断面上各点测压管水头为一常数在同一过流断面上各点测压管水头为一常数。 0su2、非均匀流、非均匀流 若流体的流线不是相互平行的直线该流体称为非均匀若流体的流线不是相互平行的直线该流体称为非均匀流按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、急变流两流按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、急变流两种类型：种类型： 1) 渐变流渐变流 当流体的流线虽然不是相互平行直线，但几乎近于平当流体的流线虽然不是相互平行直线，但几乎近于平行直线时称为渐变流行直线时称为渐变流(缓变流缓变流)(graduall
26、y varied flow)。渐变。渐变流的极限情况就是均匀流。流的极限情况就是均匀流。 2) 急变流急变流 若流体的流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小若流体的流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，这种流体称为急变流。，这种流体称为急变流。 注意：注意：渐变流动压强服从静压强分布渐变流动压强服从静压强分布；而急变流动压强；而急变流动压强分布特性复杂。分布特性复杂。 通常边界近于平行直线时，流体往往是渐变流。管道转通常边界近于平行直线时，流体往往是渐变流。管道转弯、断面突扩或收缩，为急变流。弯、断面突扩或收缩，为急变流。思考题思考题1. “只有当过流断面上各点的实际流速均相等时，水只有当过
27、流断面上各点的实际流速均相等时，水 流才是均匀流流才是均匀流”，该说法是否正确？为什么？，该说法是否正确？为什么？2. 恒定流、均匀流等各有什么特点？恒定流、均匀流等各有什么特点？ 不对。均匀流是指运动要素沿程不发生改变，而不对。均匀流是指运动要素沿程不发生改变，而不是针对一过流断面。不是针对一过流断面。 恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化，恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化， 恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于0。 均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化，均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化， 均匀流时位变加速度等于均匀流时位变加速度等于0
28、。0sA0tA3-3 3-3 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程一、连续性微分方程一、连续性微分方程在流场中取一空间微分平行在流场中取一空间微分平行六面体如图所示。经一微小六面体如图所示。经一微小时段时段dt自自x流入的流体质量为：流入的流体质量为： 自自x流出的流体质量为流出的流体质量为 dt时段内在时段内在x方向流进与流出方向流进与流出六面体的流体质量之差：六面体的流体质量之差： 同理同理dxdydzdtzuzdxdydzdtyuyzy)()(方向为在方向为在dxdydzdtxux)(dydzdtdxxuuxx2)(dydzdtdxxuuxx2)(CdxOxzADEFGHdyMNOd
29、zyB2)(dxxuuxx2)(dxxuuxx即在即在dt时间内流进与流出六面体总的流体质量的时间内流进与流出六面体总的流体质量的变化为变化为 故经过故经过dt时段内六面体内质量总变化为时段内六面体内质量总变化为 在同一时段内，流进与流出六面体总的流体质在同一时段内，流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等。变化相等。 dxdydzdtzuyuxuzyx)()()(dxdydzdtt dxdydzdtzuyuxudxdydzdttzyx)()()(适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可适用范围：理
30、想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体压缩流体或不可压缩流体。 对不可压缩流体，对不可压缩流体， 常数，因此得连续性方程式为常数，因此得连续性方程式为算一算算一算:不可压缩流体对下面的运动是否满足连续性条件？不可压缩流体对下面的运动是否满足连续性条件？ (1) (2) (3) 0)()()(zuyuxutzyx0zuyuxuzyx不连续不连续连续连续连续连续yyxxuyxuyx2,22322ytxtuyxtuyx2,243222221,2,2yxzxuyzxyzuxzyuzyx例例1 有二种的二元液流，其流速可表示为：有二种的二元液流，其流速可表示为：(1)ux= -2y
31、, uy=3x；(2)ux=0, uy=3xy。试问这两种液流是不可压缩。试问这两种液流是不可压缩流吗？流吗？解解：（：（1） 符合不可压缩流的连续性方程，所以是不符合不可压缩流的连续性方程，所以是不可压缩流。可压缩流。 （2） 不符合不可压缩流的连续性方程，所以不是不符合不可压缩流的连续性方程，所以不是不可压缩流。不可压缩流。00032yxxyzuyuxuzyx03030 xyxyxzuyuxuzyx例例2 已知不可压缩流体运动速度已知不可压缩流体运动速度u在在x、y两个轴方两个轴方向的分量为向的分量为ux=2x2+y，uy=2y2+z且且z=0处，有处，有uz=0。试求试求z轴方向的速度分
32、量轴方向的速度分量uz。解解 对不可压缩流体连续性方程为对不可压缩流体连续性方程为 将已知条件代入上式，有将已知条件代入上式，有4x+4y+ =0 即即 积分可得积分可得 uz=-4(x+y)z+f(x,y) 又由已知条件对任何又由已知条件对任何x、y，当，当z=0时，时， uz=0。 故有故有 f(x,y)=0 因此因此 uz=-4(x+y)z0zuyuxuzyxzuzyxzuz44 流体运动的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊流体运动的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方方式。取恒定流中微小流束，因式。取恒定流中微小流束，因流体为不可压缩的连续介质流体为不可压缩的连续介质,有有 根据质量守
33、恒定律在根据质量守恒定律在dt时段内时段内 流入的质量应与流出的质量流入的质量应与流出的质量 相等。相等。二、恒定不可压缩总流的连续性方程二、恒定不可压缩总流的连续性方程 2211dAudAu21dtdAudtdAu2211 不可压缩流体恒定元流的连续性方程不可压缩流体恒定元流的连续性方程 对总流过流断面积分得对总流过流断面积分得 上式即为恒定总流的连续性方程。上式即为恒定总流的连续性方程。上式表明在不可压缩流体上式表明在不可压缩流体恒定总流中，任意两个过流恒定总流中，任意两个过流断面平均流速的大小与过流断面平均流速的大小与过流断面面积成反比，断面大的断面面积成反比，断面大的地方流速小，断面小
34、的地方地方流速小，断面小的地方流速大。流速大。 2112AAvv连续性方程总结和反映连续性方程总结和反映了总流的过流断面面积了总流的过流断面面积与断面平均流速沿程变与断面平均流速沿程变化的规律。化的规律。 适用范围：固定边界内的不可压缩流体适用范围：固定边界内的不可压缩流体2211dAudAudqv2211AAqv212211AAAvdAudAudq分叉流的总流连续性方程分叉流的总流连续性方程或：或： qv1=qv2+qv3 问题问题：变直径管的直径：变直径管的直径d1=320mm，d2=160mm，流速，流速v1=1.5m/s，v2为：为： A.3m/s B.4m/s D.9m/s C.6m
35、/s332211AVAVAV3-4 3-4 理想流体的运动微分方程及其积分理想流体的运动微分方程及其积分理想流体动压强的特性理想流体动压强的特性 第一，理想流体的动压总第一，理想流体的动压总是沿着作用面的内法线方向。是沿着作用面的内法线方向。 第二，在理想流体中，任第二，在理想流体中，任何点的动压强在各方向上的大何点的动压强在各方向上的大 小均相等。小均相等。 一、理想流体的运动微分方程欧拉方程一、理想流体的运动微分方程欧拉方程 流体平衡微分方程式是表征流体处于平衡状态时流体平衡微分方程式是表征流体处于平衡状态时作用于流体上各种力之间的关系式。作用于流体上各种力之间的关系式。 在运动着的理想流
36、体中任取一微分平行六面体，作用在运动着的理想流体中任取一微分平行六面体，作用于六面体的力有表面力与质量力。于六面体的力有表面力与质量力。 左表面动压强左表面动压强 右表面动压强右表面动压强 2dxxpp2dxxpp 假设单位质量的质量力在各坐标轴方向的投影为假设单位质量的质量力在各坐标轴方向的投影为 ，故所有作用于六面体上的力在，故所有作用于六面体上的力在x轴上的投轴上的投影的代数和应等于六面体的质量与加速度在影的代数和应等于六面体的质量与加速度在x方向的方向的投影之积。有：投影之积。有： 化简之得化简之得 同理同理 dtdudxdydzdydzdxxppdydzdxxppdxdydzfxx2
37、2dtduzpfdtduypfdtduxpfzzyyxx111zyxfff,上式为理想流体运动微分方程式，又称为欧上式为理想流体运动微分方程式，又称为欧拉方程。拉方程。 注：注：(1)方程对方程对未加限制；未加限制；(2)若若 ，方程变成了静平衡微分方程；，方程变成了静平衡微分方程；(3)对恒定流动，方程中对恒定流动，方程中 ；(4)方程未知数方程未知数4个，只有与连续性方程联立才能求解。个，只有与连续性方程联立才能求解。0dtud0tu纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程 对于恒定不可压缩流体来说，对于恒定不可压缩流体来说， ，故故0zuyuxuzyxdtduzuyuxuvzpfdtduzuyu
38、xuvypfdtduzuyuxuvxpfzzzzzyyyyyxxxxx222222222222222222111或或dtduuvzpfdtduuvypfdtduuvxpfzzzyyyxxx222111zuuyuuxuutuuvzpfzuuyuuxuutuuvypfzuuyuuxuutuuvxpfzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx222111上两式就是适用于不可压缩粘性流体的运动微分方上两式就是适用于不可压缩粘性流体的运动微分方程式，一般通称为纳维斯托克斯方程式。如果流体没有程式，一般通称为纳维斯托克斯方程式。如果流体没有粘性粘性(即理想流体即理想流体)则则 ，于是纳维斯托克
39、斯方程式，于是纳维斯托克斯方程式就变成理想流体的欧拉运动方程式。如果没有运动，则就变成理想流体的欧拉运动方程式。如果没有运动，则 均等于零，于是纳维斯托克斯方程式就变均等于零，于是纳维斯托克斯方程式就变成静力学欧拉平衡方程式。所以纳维斯托克斯方程式是成静力学欧拉平衡方程式。所以纳维斯托克斯方程式是不可压缩流体的普遍方程式。方程适用于不可压缩流体的普遍方程式。方程适用于=C及各种流态及各种流态(层流、紊流层流、紊流)的流体；方程实质为四个力的平衡方程。方的流体；方程实质为四个力的平衡方程。方程有四个未知数，三条方程与连续性方程联立可求解，但程有四个未知数，三条方程与连续性方程联立可求解，但很困难
40、。很困难。0vdtdudtdudtduzyx,例例 理想流体速度场为理想流体速度场为 a、b为常为常数。试求：数。试求：(1)流动是否可能（连续？）流动是否可能（连续？）(2)流线方程；流线方程；(3)等压面方程（质量力忽略不计）等压面方程（质量力忽略不计）解解 （1）满足连续性条件，流动可以实现。满足连续性条件，流动可以实现。（2）由）由 得得积分得积分得 当当a、b同号为双曲线同号为双曲线 当当a、b异号为椭圆。异号为椭圆。, 0,zyxubxuayu0, 0zuyuxuzuyuxuzyxzyxyxudyudx0aydybxdxbxdyaydxcaybx22（3）不计质量力）不计质量力fx
41、=fy= fz =0,由欧拉运动微分方程由欧拉运动微分方程得：得： (1)、(2)两边分别乘以两边分别乘以dx、dy并相加得：并相加得：) 1 (1abxyuuxpxy)2(1abyxuuypyxydyxdxabdyypdxxp1ydyxdxabdp1即即积分得积分得令令p=常数，即得等压面常数，即得等压面方程方程分别取分别取C=1、4、9、16，得，得4个等压面，如图所示。个等压面，如图所示。等压面是一组以坐标原点为中心的同心圆柱面。等压面是一组以坐标原点为中心的同心圆柱面。xy等压面等压面1222cyxabpcyx22思思 考考 题题 1. 实际流体区别与理想流体有何不同？理想流体的实际流
42、体区别与理想流体有何不同？理想流体的运动微分方程与实际流体的运动微分方程有何联运动微分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？系？ 2. 连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题？连续性微分方程说明了什么问题？ 实际流体具有粘性，存在切应力；实际流体的运实际流体具有粘性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于粘性而产生的切应力这一项。程增加了由于粘性而产生的切应力这一项。一般形式，恒定不可压缩流；质量守恒。一般形式，恒定不可压缩流；质量守恒。3
43、-5伯努利方程伯努利方程 一、理想流体恒定元流的伯努利方程一、理想流体恒定元流的伯努利方程 欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组(迁移迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积)，因而至今，因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。欧拉运动还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。欧拉运动微分方程组各式分别乘以微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz(流场任意相邻两点间距流场任意相邻两点间距ds的坐标分量的坐标分量)，然后相加得：，然后相加得： 考虑条件考虑条件 1.恒定流：恒定流：
44、 ；dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(0tp2.均质不可压缩流体，即均质不可压缩流体，即=c；3.质量力只有重力，即质量力只有重力，即fx=fy=0，fz=-g；4.流线与迹线重合流线与迹线重合 dx = uxdt, dy = uydt, dz=uzdt；因此因此I II III式中各项为：式中各项为： dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(gdzdzfdyfdxfzyxpddzzpdyypdxxp)(1dzdtdudydtdudxdtduzyx由以上得：由以上得：积
45、分得：积分得：222222uduuudduuduuduudzdtdudydtdudxdtduzyxzzyyxxzyx（基准面）（基准面）P1/gV12/2gV22/2gYP2/gXz1z21222udpdgdzCgugpz22gugpzgugpz2222222111（对于同一流线上的任意两个点）（对于同一流线上的任意两个点）上式即是理想流体恒定元流的伯努利方程。上式即是理想流体恒定元流的伯努利方程。该式表明该式表明：在不可压缩理想流体恒定流情况下，元流内不同的：在不可压缩理想流体恒定流情况下，元流内不同的过流断面上，单位重量流体所具有机械能保持相等过流断面上，单位重量流体所具有机械能保持相等(
46、守恒守恒)。该式是由瑞士科学家。该式是由瑞士科学家伯努利伯努利于于1738年首先推导出来的。年首先推导出来的。 应用条件是：应用条件是：(1)理想液体；理想液体；(2)恒定流动；恒定流动；(3)质量力只有质量力只有重力；重力；(4)沿元流（流线）；沿元流（流线）；(5)不可压缩流体不可压缩流体 。伯努利方程的物理意义伯努利方程的物理意义1.几何意义几何意义 ：位置水头；：位置水头； ：压强水头；：压强水头； ：流速高度：流速高度(速度水头速度水头);理想流体的伯努理想流体的伯努利方程表明沿同一利方程表明沿同一元流上元流上(沿同一流线沿同一流线)各断面的总水头相各断面的总水头相等，总水头线是水等
47、，总水头线是水平线。平线。gpz：测压管水头：测压管水头;gugpz22：总水头。：总水头。总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线gP22.能量意义能量意义：单位重量流体所具有的位置势能单位重量流体所具有的位置势能(位能位能)； ：代表单位重量流体：代表单位重量流体所具有所具有的压强势能的压强势能(压能压能) ：单位重量流体所具有的动能；：单位重量流体所具有的动能； ：单位重量流体所具有的总势能；：单位重量流体所具有的总势能； ：单位重量流体所具有的机械能。：单位重量流体所具有的机械能。沿同一元流（流线），单位重量流体机械能守恒。沿同一元流（流线），单位重量流体机械能守恒。例例 有一贮水装置
48、如图所示，贮水池足够大，当阀有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强个大气压强试求当水管直径试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量。时，通过出口的体积流量。解解 当阀门全开时列当阀门全开时列1-1、2-2截面截面的伯努利方程的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出基本方程求出H值：值：则：则：代入到上式代入到上式 所以管内流量所以管
49、内流量 （m3/s）2222211122whgugpzgugpz二、实际流体恒定元流的伯努利方程二、实际流体恒定元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，流动时，粘性流体克服阻力实际流体具有粘性，流动时，粘性流体克服阻力作功而消耗了一部分流体自身作功而消耗了一部分流体自身的机械能，产生能量损失的机械能，产生能量损失(也也叫水头损失叫水头损失)。设流体由。设流体由1-1断面流到断面流到2-2断面的单位重量断面的单位重量的能量损失为的能量损失为hw，则粘性流，则粘性流体元流的伯努利方程可写为：体元流的伯努利方程可写为：u22/2g1122z1P1/gu12/2gz2P1/g00三、实际流体恒定总流的伯努
50、利方程三、实际流体恒定总流的伯努利方程 1、实际流体恒定总流的伯努利方程的推导、实际流体恒定总流的伯努利方程的推导 不可压缩实际流体恒定元流的能量方程为不可压缩实际流体恒定元流的能量方程为 各项乘以重量流量各项乘以重量流量 ，并分别在总流的两个过，并分别在总流的两个过流断面流断面A1及及A2上积分得：上积分得： 共含有三种类型积分：共含有三种类型积分： 1) 第一类积分第一类积分 若过流断面为渐变流，则在断面上若过流断面为渐变流，则在断面上 积分可积分可得得 2) 第二类积分第二类积分 因因 所以所以 式中式中 为动能修正系数为动能修正系数(流过过流断面真实动能流过过流断面真实动能与以断面平均
