1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪检测 （ 四十九 ） 直接证明与间接证明 一保高考，全练题型做到高考达标 1 (2018 徐州模拟 )若 P a a 7， Q a 3 a 4(a0) ，则 P， Q 的大小关系是 _ 解析：因为 P2 2a 7 2 a a 7 2a 7 2 a2 7a， Q2 2a 7 2 a 3 a 4 2a 7 2 a2 7a 12，所以 P22 矛盾，故假设不成立，所以 a， b 中至少有一个大于 1， 正确； 中，若 a 2， b 3，则 a2 b2 2 成立，故 不能推出： “ a， b 中至少有一个大于 1” 答案： 4设 f(x)是定义在 R 上的奇函
2、数，且当 x0 时， f(x)单调递减，若 x1 x20，则 f(x1) f(x2)_0(填 “”“0，可知 x1 x2， f(x1)2 ab， a2 b22ab， a b (a2 b2)a(1 a) b(1 b)0，所以 a b 最大 答案： a b 6如果 a a b b a b b a，则 a， b 应满足的条件是 _ 解析： a a b b a b b a，即 ( a b)2( a b) 0，需满足 a0 ， b0 且 a b. 答案： a0 ， b0 且 a b 7已知点 An(n， an)为函数 y x2 1图象上的点， Bn(n， bn)为函数 y x 图象上的点，=【 ;精品教
3、育资源文库 】 = 其中 n N*，设 cn an bn，则 cn与 cn 1的大小关系为 _ 解析：由条件得 cn an bn n2 1 n 1n2 1 n， 所以 cn随 n 的增大而减小，所以 cn 1 cn. 答案： cn 1 cn 8已知 x， y， z 是互不相等的正数，且 x y z 1，求证： ? ?1x 1 ? ?1y 1 ? ?1z 1 8. 证明：因为 x， y， z 是互不相等的正数，且 x y z 1， 所以 1x 1 1 xx y zx 2 yzx ， 1y 11 yy x zy 2 xzy ， 1z 11 zz x yz 2 xyz ， 又 x， y， z 为正数
4、，由 ， 得 ? ?1x 1 ? ?1y 1 ? ?1z 1 8. 9已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a3 5， S8 64. (1)求数列 an的通项公式； (2)求证： 1Sn 1 1Sn 12Sn(n2 ， n N*) 解： (1)设等差数列 an的公差为 d， 则 a3 a1 2d 5， S8 8a1 28d 64， 解得 a1 1， d 2. 故所求的通项公式为 an 2n 1. (2)证明：由 (1)可知 Sn n2， 要证原不等式成立，只需证 1n 2 1n 22n2， 即证 (n 1)2 (n 1)2n22(n2 1)2， 只需证 (n2 1)n2(n2 1)2，
5、即证 3n21. 而 3n21 在 n2 时恒成立， 从而不等式 1Sn 1 1Sn 12Sn(n2 ， n N*)恒成立 10.如图，在四棱锥 PABCD 中， PC 底面 ABCD， ABCD 是直角梯形，AB AD， AB CD， AB 2AD 2CD 2， E 是 PB 的中点 (1)求证： EC 平面 PAD； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)求证：平面 EAC 平面 PBC. 证明： (1)作线段 AB 的中点 F，连结 EF， CF(图略 )，则 AF CD， AF CD， 所以四边形 ADCF 是平行四边形， 则 CF AD. 又 EF AP，且 CF EF F，所以平
6、面 CFE 平面 PAD. 又 EC? 平面 CEF，所以 EC 平面 PAD. (2)因为 PC 底面 ABCD，所以 PC AC. 因为四边形 ABCD 是直角梯形， 且 AB 2AD 2CD 2， 所以 AC 2， BC 2. 所以 AB2 AC2 BC2，所以 AC BC， 因为 PC BC C，所以 AC 平面 PBC， 因为 AC?平面 EAC，所以平面 EAC 平面 PBC. 二上台阶，自主选做志在冲刺名校 1已知数列 an满足 a1 12，且 an 1 an3an 1(n N*) (1)证明：数列 ? ?1an是等差数列，并求数列 an的通项公式 (2)设 bn anan 1(
7、n N*)，数列 bn的前 n 项和记为 Tn，证明： Tn 16. 证明： (1)由已知可得，当 n N*时， an 1 an3an 1， 两边取倒数得， 1an 1 3an 1an 1an 3， 即 1an 1 1an 3，所以数列 ? ?1an是首项为 1a1 2， 公差为 3 的等差数列， 其通项公式为 1an 2 (n 1)3 3n 1， 所以数列 an的通项公式为 an 13n 1. (2)由 (1)知 an 13n 1， 故 bn anan 1 1n n 13? ?13n 1 13n 2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 Tn b1 b2 ? bn 13 ? ?12 15
8、 13 ? ?15 18 ? 13 ? ?13n 1 13n 2 13? ?12 13n 2 16 13 13n 2. 因为 13n 2 0，所以 Tn 16. 2若无穷数列 an满足：只要 ap aq(p， q N*)，必有 ap 1 aq 1，则称 an具有性质P. (1)若 an具有性质 P，且 a1 1， a2 2， a4 3， a5 2， a6 a7 a8 21，求 a3； (2)若无穷数列 bn是等差数列，无穷数列 cn是公比为正数的等比数列， b1 c5 1， b5 c1 81， an bn cn，判断 an是否具有性质 P，并说明理由； (3)设 bn是无穷数列，已知 an 1
9、 bn sin an(n N*)，求证： “ 对任意 a1， an都具有性质 P” 的充要条件为 “ bn是常数列 ” 解： (1)因为 a5 a2，所以 a6 a3， a7 a4 3， a8 a5 2， 于是 a6 a7 a8 a3 3 2. 又因为 a6 a7 a8 21，所以 a3 16. (2)由题意，得数列 bn的公差为 20， cn的公比为 13， 所以 bn 1 20(n 1) 20n 19， cn 81 ? ?13 n 1 35 n， an bn cn 20n 19 35 n. a1 a5 82，但 a2 48， a6 3043 ， a2 a6， 所以 an不具有性质 P. (
10、3)证明：充分性： 当 bn为常数列时， an 1 b1 sin an. 对任意给定的 a1，若 ap aq，则 b1 sin ap b1 sin aq，即 ap 1 aq 1，充分性得证 必要性： 假设 bn不是常数列，则存在 k N*， 使得 b1 b2 ? bk b，而 bk 1 b. 下面证明存在满足 an 1 bn sin an的数列 an，使得 a1 a2 ? ak 1，但 ak 2 ak 1. 设 f(x) x sin x b，取 m N*，使得 m| b|， 则 f(m) m b0， f( m) m b0， 故存在 c 使得 f(c) 0. 取 a1 c，因为 an 1 b sin an(1 n k)， 所以 a2 b sin c c a1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 依此类推，得 a1 a2 ? ak 1 c. 但 ak 2 bk 1 sin ak 1 bk 1 sin c b sin c， 即 ak 2 ak 1. 所以 an不具有性质 P，矛盾 必要性得证 综上， “ 对任意 a1， an都具有性质 P” 的充要条件为 “ bn是常数列 ”
