1、胡光启2.椭圆离心率的取值范围？离心率变椭圆离心率的取值范围？离心率变化对椭圆的扁平程度有什么影响？化对椭圆的扁平程度有什么影响？e(0，1).1).e越接近于0 0，椭圆越圆；e越接近于1，椭圆越扁. 知识回顾：知识回顾：1.离心率的定义：离心率的定义：cea?3.双曲线离心率的取值范围？离心率的变化对双曲线的扁平程度有什么影响？e(1，+ ).?e越大，双曲线开口越开阔；e越接近于1，双曲线开口越窄.4.焦半径：PFed?知识回顾：1、根据条件先求出 a，c，利用 e=ca求解 例1. 已知椭圆经过原点，且焦点为 F1(1，0)，F2(3，0)，求椭圆离 心率的值。 题型一:求离心率的值：
2、解析：由F1、F2的坐标知 2c=31， c=1，又椭圆过原点，ac=1， a+c=3，a=2，c=1, 所以离心率e=ca=12.故选 C. 例 2：在平面直角坐标系中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦距为 2c，以 O 为圆心，a 为半径的圆，过点(a2c，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e= PBAOyx2.利用已知条件建立a,c的等量关系)0, 0( 12222?babyax例3：已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是直角三角形，求该双曲线离心率的值。2.利用已知条件建立a,c的等量关系：211222222221212
3、bAFF Fcabaccaaceee?解：由有即：例4. 设M点是椭圆上一 点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果F1MF2=900，求此椭圆的离心率的取值范围。XYOMF1F2问题的关键是寻找a、c的不等关系22221(0,0)xyabab?题型二题型二: :求离心率的取值范围：求离心率的取值范围：思路1：巧用图形的几何特性1290F PF?12| 2F Fc?2222cbcbac?由此可得， ）e ?221由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有问题二：椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点 P满足线段AP的垂 直
4、平分线过点F，则椭圆离心 率的取值范围是 xOAFPy分析：分析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段AP的垂直平分线过点 F，即F点到P点与A点的距离相等，即PF FA 如果我们从几何的角度考虑，易知 PF不超过ac，得到一个关于基本量a，b，c，e的不等式，从而求出离心率 e的范围； 解法一：椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即PFFA 而FAa2cc，PFac， 所以a2ccac 又e=ca，所以2e2e10，解得12e1 如果我们通过设椭圆上的点如果我们通过设椭圆上的点 P(x，y)，注意到，注意到椭圆本身的范围，也可以求出离心率椭圆本身的范围，也可以求出离心率 e的范围的
5、范围 解法二：设点P(x，y)由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PFFA 由PF a2cxe，所以PFaex而FAa2cc， 所以aex a2cc，解出x1e(aca2c) 由于axa，所以a1e(aca2c)a， 所以2e2e10，解得12e1 问题三：问题三：已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得F1PF260 0，则椭圆离心率的取值范围是 B2B1F1yxOF2P分析：分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当 M为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时F1PF2最大（需要证明），从而有0F1PF2F1 B1F2根据条件可
6、得F1 B1F260，易得ca12故12e1 证明，在F1PF2中，由余弦定理得，22212121212cos2PFPFF FF PFPFPF? ?2212122121212PFPFF FPFPF?2222aca? 当且仅当PF1PF2时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时F1MF2最大 如果通过设椭圆上的点P(x，y)，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率 e的范围在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点 P的坐标不易表示）因此，在解题过程中要注意方法的选择 212aPFPF?| |2221212222212124|2| |2(| )2|8aPFPFPFPFPFPFF
7、Fc?得ca2212?所以有， ）e ?221思路2：利用基本不等式两边平方后得：由椭圆的定义有：由椭圆的定义有：22212121222222222222222222|224220PFaex PFaexPFPFF Facxe xacxe xccaae xcxP xyexaxa? ?，又由，所以有即，又点（ ， ）在椭圆上，且，则知，即222222012caaee?得， ）思路思路3 3：利用焦半径：利用焦半径由焦半径公式得由焦半径公式得关键：建立离心率与变量X的等量关系?PF FPF F1221?，由正弦定理有1212121212|sinsinsin90| 2| 2112sincos22sin
8、()4PFPFF FF FPFPFaF Fccea?又，则有212e?从而可得思路4：利用三角函数有界性设设| |PFPFaPFPFPFPFa121222122224?222212121222121222290|4| 2()|22()0F PFPFPFF FcPFPFacPFPFuauac?又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此2222221248()022caaceea? ?因此，e ?)221思路5：利用二次方程有实根由椭圆定义知FcFc1200（， ），（ ， ）?121212122222()()900()()0F Pxcy F PxcyF PFF PF PF P F Pxc xc
9、yxyc?， ， 由，知，则，即得2222222122222222229000a ca bxF PFxaaba ca baab?由椭圆范围及知即22222222221,12ccbcaccaeaceea?可得，即，且从而得，且所以， ）思路6：向量法：设P（x，y），又知联立方程得：例4.例例3：设点：设点P在双曲线在双曲线的右支上，双曲线两焦点求双曲线离心率的取值范围。22221(0,0)xyabab?1,212,4,F FPFPF?思路1：三角形三边不等关系。思路2：利用双曲线焦半径的取值范围建立不等关系。思路3：利用双曲线上点的横坐标的取值范围建立不等关系。思路4：利用解三角形建立不等关系
10、。513e?例5.总结：总结： 1圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。 2一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率 3一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式 4离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围 e(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“ 张口” 逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e(1，)；在抛物线中，离心率e1
