1、导数的几何意义导数的几何意义苏教版苏教版普通高中课程标准试验教科书普通高中课程标准试验教科书 数学数学（选修（选修2-22-2）深圳外国语学校深圳外国语学校 袁袁 扬扬1.1.平均变化率：平均变化率：复习回顾复习回顾设函数设函数y y= =f f( (x x) )在区间在区间( (a a，b b) )上有定义，上有定义，x x0 0 ( (a a，b b) )，则称则称f f( (x x) )在点在点x x= =x x0 0处可导，并称该常数处可导，并称该常数A A为函数为函数f f( (x x) )在在点点x x= =x x0 0处的导数，记作处的导数，记作ff( (x x0 0) )f(x
2、)122121一般地,函数在区间 x ,x上的f(x )-f(x )平均变化率为 x -x2.2.导数的概念：导数的概念：时，时，如果当如果当0 x00()()f xxf xyAxx.P放大放大.P放大放大.P 事实上，如果继续放大，可以发现点事实上，如果继续放大，可以发现点P P附近的曲线将附近的曲线将接近（接近（逼近逼近）一条确定的直线）一条确定的直线L L，该直线，该直线L L是经过点是经过点P P的的所有直线中所有直线中最逼近曲线最逼近曲线的一条直线的一条直线 平均变化率近似地刻画了曲线在平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上某区间上的变化趋势，的变化趋势， 那么如何精确地刻画曲线上那么
3、如何精确地刻画曲线上某点处某点处的变化趋势呢？的变化趋势呢？问题情境问题情境 如果将点如果将点P附近的图形放大再放大，我们发现点附近的图形放大再放大，我们发现点P附近附近的曲线看上去几乎成了直线的曲线看上去几乎成了直线 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附近的曲线！附近的曲线！ 也就是说：在点也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线附近，曲线可以看作直线（即在很小范围即在很小范围内以直代曲内以直代曲）P放大放大再放大再放大PPP放大放大再放大再放大PP该直线该直线L的的斜率斜率便量化了曲线经过点便量化了曲线经过点P时上升或下降的时上升或下降的“变化趋变化趋势势”
4、该直线该直线L L就叫做：曲线在点就叫做：曲线在点P P处的切线！处的切线！如何求？如何求？PQoxyy=f(x)割线割线PQ切线切线L1.1.概念概念: :曲线的割线和切线曲线的割线和切线数学建构数学建构割线割线PQ：曲线上不同两点：曲线上不同两点P，Q的连线；的连线；点点P处的切线处的切线L：点：点Q无限逼近点无限逼近点P时的直线时的直线L。2.2.割线的斜率割线的斜率3.3.切线的斜率切线的斜率4.4.导数的几何意义导数的几何意义由此，可以得到由此，可以得到导数导数f(x )的几何意义：的几何意义：曲线在点（曲线在点（x , f (x)）处的切线的斜率！）处的切线的斜率！0()( )xf
5、 xxf xx依据前面的推导： 当无限趋近于 时，割线的斜率无限趋近于切线的斜率.0()( )( ).xyf xxf xfxxx同时，依据导数的定义：当无限趋近于 时，无限趋近于导数例例1:1:已知已知 ，求曲线，求曲线y=f(xy=f(x) )在在x=2x=2处的切线的斜率。处的切线的斜率。2)(xxf22:(2,4),(2,(2) ),(2)44(2)20,4(2,4)4PQPQPQxxxkxxxkP解 设则当无限趋近于 时无限趋近于常数所以点处的切线斜率为 。例题讲解例题讲解变式练习：变式练习：求曲线求曲线f(xf(x)=x)=x2 2+1+1在点在点P(1,2)P(1,2)处的切线方程
6、。处的切线方程。因此,切线方程为y-2=2(x-1),即：y=2x.2)4 , 2(2,021)1 (21)1 (),1)1 ( ,1 (),2 , 1 (:22处的切线斜率为所以点无限趋近于常数时无限趋近于当则解PkxxxxkxxQPPQPQ反思小结：反思小结：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：1.求出割线求出割线PQ的斜率；的斜率；2.求出当求出当x趋近于趋近于0时切线的斜率；时切线的斜率；3.利用点斜式求切线方程。利用点斜式求切线方程。拓展练习拓展练习1、体会在曲线上某点附近很小范围、体会在曲线上某点附近很小范围内以直代曲的思想；内以直代曲的思想；2、体会割线逼近切线的过程（割线、体会割线逼近切线的过程（割线斜率逼近切线斜率）；斜率逼近切线斜率）；3、导数的几何意义及其应用。、导数的几何意义及其应用。课堂小结课堂小结1.1.课本课本 P16-17 P16-17 习题习题 9 9，1010；2.2.课课练课课练 第第2 2课时课时
