1、Lyapunov稳定性的基本定理稳定性的基本定理q 主要研究主要研究Lyapunov意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。讨论的主要问题有讨论的主要问题有:基本概念基本概念: 矩阵和函数的定号性矩阵和函数的定号性 (正定性、负定性等正定性、负定性等)基本方法基本方法: 非线性系统线性化方法非线性系统线性化方法Lyapunov第一法第一法 Lyapunovs first method矩阵符号矩阵符号(正定性、负定性等正定性、负定性等)检验方法检验方法Lyapunov第二法第二法 Lyapunovs second method重点、难点重点、难点!11.2 L
2、yapunov第一方法第一方法qq Lyapunov第一法又称第一法又称间接法间接法（indirect method）, 它是研究它是研究动态系统的一次近似数学模型动态系统的一次近似数学模型(线性化模型线性化模型)稳定性的方法。稳定性的方法。它的基本思路是它的基本思路是: 首先，对于非线性系统，可先将非线性状态方程首先，对于非线性系统，可先将非线性状态方程在平衡在平衡态附近进行线性化态附近进行线性化, 即在平衡态求其一次即在平衡态求其一次Taylor展开式展开式 (Taylor expansion) 然后，利用这一次展开式表示的线性化方程去分析然后，利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系统稳
3、定性。系统稳定性。 其次，解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征其次，解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值，然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定值，然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性。系统在零输入情况下的稳定性。q 下面将讨论下面将讨论Lyapunov第一法的结论以及在判定系统的状态稳第一法的结论以及在判定系统的状态稳定性中的应用。定性中的应用。q 设所讨论的非线性动态系统的状态方程为设所讨论的非线性动态系统的状态方程为x=f(x) 其中其中 f(x) 为与状态向量为与状态向量 x 同维的关于同维的关于 x 的非线性向量函数的非线性向量函
4、数, 其各元素对其各元素对x有连续的偏导数。有连续的偏导数。q 欲讨论系统在平衡态欲讨论系统在平衡态xe的稳定性，先必须将非线性向量函数的稳定性，先必须将非线性向量函数f(x)在平衡态附近展开成在平衡态附近展开成Taylor级数，即有级数，即有 其中其中A为为n n维的向量函数维的向量函数f(x)与与x间的雅可比矩阵间的雅可比矩阵; R(x-xe)为为Taylor展开式中包含展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。的二次及二次以上的余项。雅可比矩阵雅可比矩阵(Jacobian matrix) A 定义为定义为eeeee( )()( -)( -)( -)( -)RAR eexxxxf xxf
5、 xx xx xxx xx x1111/./( )././nnnnfxfxAfxfxeexxxxf xxq 上述线性化方程的右边第一项上述线性化方程的右边第一项A(x-xe)代表原非线性状态方程代表原非线性状态方程的一次近似式，如果用该一次近似式来表达原非线性方程的的一次近似式，如果用该一次近似式来表达原非线性方程的近似动态方程，即可得如下线性化的状态方程近似动态方程，即可得如下线性化的状态方程:x=A(x-xe) 由于对如上式所示的状态方程总可以通过由于对如上式所示的状态方程总可以通过n维状态空间维状态空间中的坐标平移，将平衡态中的坐标平移，将平衡态xe移到原点。移到原点。 因此因此, 上式
6、又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程上式又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程:x=Axq 判别非线性系统平衡态判别非线性系统平衡态xe稳定性的稳定性的Lyapunov第一法的第一法的思想思想为为: 通过通过线性化线性化，将讨论非线性系统平衡态稳定性问题转换，将讨论非线性系统平衡态稳定性问题转换到讨论线性系统到讨论线性系统 x=Ax 的稳定性问题。的稳定性问题。qq Lyapunov第一法的基本结论是第一法的基本结论是:1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡态具有负实部，则原非线性系统的平衡态xe渐
7、近稳定，而渐近稳定，而且系统的稳定性与高阶项且系统的稳定性与高阶项R(x)无关。无关。2. 若线性化系统的系统矩阵若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有的特征值中至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡态正实部，则原非线性系统的平衡态xe不稳定，而且该平不稳定，而且该平衡态的稳定性与高阶项衡态的稳定性与高阶项R(x)无关。无关。3. 若线性化系统的系统矩阵若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外，除有实部为零的特征值外，其余特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡态其余特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡态xe的稳定性由高阶项的稳定性由高阶项R(x)决定。决定。q 由上述
8、由上述Lyapunov第一法的结论可知第一法的结论可知, 该方法与经典控制理论该方法与经典控制理论中稳定性判据的思路一致中稳定性判据的思路一致, 需求解线性化状态方程或线性状需求解线性化状态方程或线性状态方程的特征值态方程的特征值, 根据根据特征值在复平面的分布特征值在复平面的分布来分析稳定性。来分析稳定性。 值得指出的区别是值得指出的区别是: 经典控制理论讨论在有界输入下的经典控制理论讨论在有界输入下的输出稳定性输出稳定性问题问题,而而Lyapunov方法讨论方法讨论状态稳定性状态稳定性问题。问题。 由于由于Lyapunov第一法需要求解线性化后系统的特征值第一法需要求解线性化后系统的特征值
9、,因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统，但是统，但是不能推广用于时变系统不能推广用于时变系统。 试确定系统在原点处的稳定性。试确定系统在原点处的稳定性。0,) 1(21122211221KKxKxxKxxxq 例例11-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:2. 由由Lyapunov第一法知，原非线性系统的原点为渐近稳定第一法知，原非线性系统的原点为渐近稳定的充分条件为的充分条件为: K10 和和 K20.q 解解 1： 由状态方程知，原点为该系统的平衡态。由状态方程知，原点为该系
10、统的平衡态。将系统在原点处线性化，则系统矩阵为将系统在原点处线性化，则系统矩阵为1210)(KKAexxxxf因此，系统的特征方程为因此，系统的特征方程为| I-A|= 2+K1 +K2=011.3 Lyapunov第二方法第二方法q由由Lyapunov第一法的结论可知，该方法能解决部分第一法的结论可知，该方法能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题，但对强非线性系弱非线性系统的稳定性判定问题，但对强非线性系统的稳定性判定则无能为力，而且该方法不易推广统的稳定性判定则无能为力，而且该方法不易推广到时变系统。到时变系统。 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳下面我们讨论对所有动态系统的状态方程
11、的稳定性分析都适用的定性分析都适用的Lyapunov第二法。第二法。 Lyapunovs second methodqq Lyapunov第二法又称为第二法又称为直接法直接法(direct method) 。 它是在用它是在用能量观点能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其储存若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其储存的能量将随着时间推移而的能量将随着时间推移而衰减衰减。当趋于平衡态时，。当趋于平衡态时，其能量达到最小值。其能量达到最小值。 反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从
12、外界吸收能量，其储存的能量将越来越大。收能量，其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统的的n维状态的某种形式的维状态的某种形式的能量正性函数能量正性函数，通过考察该函，通过考察该函数随时间推移是否数随时间推移是否衰减衰减，就可判断系统平衡态的稳定性。，就可判断系统平衡态的稳定性。q在给出在给出Lyapunov稳定性定理之前，下面先介绍稳定性定理之前，下面先介绍 数学预备知识数学预备知识然后介绍然后介绍 Lyapunov稳定性定理的直观意义稳定性定理的直观意义最后给出最后给出 Lyapunov稳定性定理稳定性定理1
13、. 数学预备知识数学预备知识 preliminary knowledgeq下面介绍在下面介绍在Lyapunov稳定性分析中需应用到的如下稳定性分析中需应用到的如下数学预备知识数学预备知识: 函数的正定性函数的正定性 positive definiteness 二次型函数和对称矩阵的正定性二次型函数和对称矩阵的正定性 quadratic function and symmetric matrix 矩阵正定性的判别方法矩阵正定性的判别方法(1) 实函数的正定性实函数的正定性q 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正，什么
14、条件它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正，什么条件下恒为负的。下恒为负的。 下面先给出下面先给出n维向量维向量x的标量实函数的标量实函数V(x)的正定性定义。的正定性定义。q 定义定义11-5 设设x Rn， 是是 Rn 中包含原点的一个区域，若实函中包含原点的一个区域，若实函数数V(x) 对任意对任意 n 维非零向量维非零向量 x 都有都有V(x)0；当且仅当；当且仅当 x=0 时，才有时，才有V(x)=0, 则称函数则称函数V(x)为区域为区域 上的上的正定函数正定函数。Positive definite function q 从定义可知，所谓从定义可知，所谓正定函数正定函数，即指除零点
15、外恒为正值的标量，即指除零点外恒为正值的标量函数。由正定函数的定义，相应地可定义函数。由正定函数的定义，相应地可定义 负定函数负定函数 negative definite function 非负定非负定(又称半正定或正半定又称半正定或正半定)函数函数 non-negative definite function; positive semi-definite function 非正定函数非正定函数(又称半负定或负半定又称半负定或负半定) non-positive definite function; negative semi-definite function 不定函数。不定函数。 inde
16、finite functionq 定义定义11-6 设设x Rn, 是是Rn中包含原点的一个区域，若实函数中包含原点的一个区域，若实函数V(x)对任意对任意n维非零向量维非零向量x，都有，都有V(x)0, P0，和下述条件，和下述条件:1) 如果如果V(x,t)为为负定负定的的, 则该系统在原点处的平衡态是则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定一致渐近稳定的的;2) 更进一步，若随着更进一步，若随着|x| , 有有V(x,t) (V is radially unbounded), 那么该系统在原点处的平衡态是那么该系统在原点处的平衡态是大范大范围一致渐近稳定围一致渐近稳定的。的。 q Lyap
17、unov定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论。定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论。 它不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统；既适用它不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统；既适用于定常系统，也适用于时变系统。于定常系统，也适用于时变系统。 因此，因此，Lyapunov第二法是判别系统稳定性的第二法是判别系统稳定性的具有普具有普遍性遍性的方法。的方法。 Lyapunov稳定性理论对控制理论中其他分支理论的发展稳定性理论对控制理论中其他分支理论的发展也起着重要的作用，是进行现代系统分析和设计的基础也起着重要的作用，是进行现代系统分析和设计的基础工具。工具。q 对上述对上述Lyapuno
18、v稳定性定理的使用有如下说明稳定性定理的使用有如下说明:1) 此定理只为判别系统一致渐近稳定的此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件充分条件，而，而非必非必要条件要条件。 也就是说也就是说, 若找到满足上述条件的一个若找到满足上述条件的一个Lyapunov函函数，则系统一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定。数，则系统一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定。 但是但是, 如果我们一时找不到这样的如果我们一时找不到这样的Lyapunov函数，函数，也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。v 此时，或者此时，或者o 继续寻找满足条件的继续寻找满足条件的Lyapunov函数函数
19、o 或者，可利用后续定理的结论来判别平衡或者，可利用后续定理的结论来判别平衡态的渐近稳定性。态的渐近稳定性。2) 对于渐近稳定的平衡态，满足条件的对于渐近稳定的平衡态，满足条件的Lyapunov函数总是函数总是存在的存在的 (Lyapunov逆定理逆定理)，但并不唯一。，但并不唯一。3) 对于非线性系统，虽然具体的对于非线性系统，虽然具体的Lyapunov函数可证明所讨函数可证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的，但并不意味论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的，但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的; 对于线性系统，对于线性系统， 如果存在着渐
20、近稳定的平衡态，则如果存在着渐近稳定的平衡态，则它必是大范围渐近稳定的。它必是大范围渐近稳定的。4) 此定理不仅适用于线性系统，同样适用于非线性系统；此定理不仅适用于线性系统，同样适用于非线性系统；既适用于定常系统，同样也适用于时变系统。既适用于定常系统，同样也适用于时变系统。 因此，因此，Lyapunov第二法是判别平衡态稳定性的具有第二法是判别平衡态稳定性的具有普遍性的方法。普遍性的方法。5) Lyapunov第二法的结论并没有指明寻找第二法的结论并没有指明寻找Lyapunov函数函数 (Lyapunov function)的方法。的方法。 寻找寻找Lyapunov函数的方法将需要根据具体
21、的系统和函数的方法将需要根据具体的系统和状态方程而具体分析。状态方程而具体分析。 常见的寻找常见的寻找Lyapunov函数的方法：函数的方法：1）雅克比方法雅克比方法（或克拉索夫斯基方法（或克拉索夫斯基方法 Krasovskii method）；）；2）变变量梯度法量梯度法 （或（或 Shultz-Gibson method）。）。q 对于二阶系统对于二阶系统, 容易给出上述定理的容易给出上述定理的直观几何解释直观几何解释(右图为右图为Lyapunov函数函数V(x,t)为欧氏距离的为欧氏距离的一个二维系统的一个二维系统的x1-x2 相平面图相平面图)。 V=C1 V=C2 V=C3 x2 x
22、1 V随随t增大增大,则平衡态则平衡态不稳定不稳定 V随随t减少减少,则平衡态则平衡态渐近稳定渐近稳定 导数导数V(x,t)表征系统的广义能量函数的变化速率。表征系统的广义能量函数的变化速率。 Lyapunov函数函数V(x,t)相当于定义相当于定义为表征系统的某种广义能量的为表征系统的某种广义能量的一种正定函数。一种正定函数。 令令V(x,t)为不同的常数为不同的常数, 则相当于则相当于在在n维状态空间上定义了一簇以维状态空间上定义了一簇以原点为中心原点为中心, 形状相似的同心超形状相似的同心超球面。球面。 V(x,t)为负定同时也表示系统状为负定同时也表示系统状态将从现在所处于的在该封闭态
23、将从现在所处于的在该封闭超球面簇中超球面向原点方向超球面簇中超球面向原点方向(向内向内)运动运动, 最后逐渐趋向原点。最后逐渐趋向原点。 V=C1 V=C2 V=C3 x2 x1 V随t增大,则平衡态不稳定 V随t减少,则平衡态渐近稳定 q 例例11-3 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。q 解解 显然显然, 原点原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态是给定系统的唯一平衡态, 如果我们选择正如果我们选择正定函数定函数)()(22212122221121xxxxxxxxxx2221)(xxVx 为为Lyapunov函数函数, 那么沿任意轨迹
24、那么沿任意轨迹x(t), V(x)对时间的全导数对时间的全导数0)(222)(222212211xxxxxxV x 是负定函数。此外是负定函数。此外, 当当|x| 时时, 必有必有V(x) 。 因此因此, 由由定理定理11-4知知, 在原点处的平衡态是大范围一致渐在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。近稳定的。q 例例11-4 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。q 解解 显然显然, 原点原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态是给定系统的唯一平衡态, 如果我们选择下如果我们选择下述述 Lyapunov函数函数2221)(xxVx 那么沿任
25、意轨迹那么沿任意轨迹x(t), V(x)对时间的全导数对时间的全导数21221xxxxx0222)(222211xxxxxV x 是半负定函数是半负定函数, 故由故由定理定理11-4知知, 根据所选的根据所选的Lyapunov函数分函数分析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。 但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。q 定理定理11-4中严格要求选择的中严格要求选择的Lyapunov函数为正定函数函数为正定函数, 其导其导数为负定函数。数为负定函数。 这给该定理的应用，特别是寻找适宜的这给该定理的应用，特别是寻找适宜的 Ly
26、apunov 函数函数带来了一定困难带来了一定困难 （常见的方法有两种，即克拉索夫斯基（常见的方法有两种，即克拉索夫斯基方法和变量梯度法）。方法和变量梯度法）。 下面给出一个定理对上述下面给出一个定理对上述定理定理11-4作一补充，以减弱判作一补充，以减弱判别条件。别条件。(2) 稳定性定理稳定性定理q 定理定理11-5 设系统状态方程为设系统状态方程为x=f(x,t), f(0,t)=0, 其中其中xe=0为其为其平衡态。若存在具有连续一阶偏导数的正定函数平衡态。若存在具有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t), 满足满足x=0, V(x)=0, x0, V(x)0，以及下述条件，以及下述条件
27、:1) V(x,t)是是半负定半负定的的, 那么该系统在原点处的平衡态是那么该系统在原点处的平衡态是一致一致稳定稳定的的;2) 更进一步，若更进一步，若V(x,t)的定义域的定义域 为为 Rn，对任意的，对任意的 t0 和任和任意的意的x(t0) 0，V(x,t)在在 tt0 时不恒为零时不恒为零，那么，那么 该系统在原点处的平衡态是该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定一致渐近稳定的，否则的，否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时，随着此时，随着|x| , 有有V(x,t) ，则该系统在原点处，则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。的一
28、致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。定理定理11-5 结论结论 1) 的证明的证明定理定理11-4 结论结论 1) 的证明的证明q 由此定理的结论可知由此定理的结论可知,定理定理11-5不仅可用于判别平衡态的稳定不仅可用于判别平衡态的稳定性性, 且可作为且可作为定理定理11-4的补充的补充, 用于判别平衡态的渐近稳定性。用于判别平衡态的渐近稳定性。q 例例11-5 试确定试确定例例11-4的系统的平衡态稳定性。的系统的平衡态稳定性。q 解解 前面已经定义前面已经定义例例11-4的系统的的系统的Lyapunov函数。函数。 该函数及其导数分别为该函数及其导数分别为 由于由于V(x)是非正定函
29、数，且是非正定函数，且V(x,t)在在 tt0 时不恒为零时不恒为零，由由定理定理11-5的的 1) 可知，系统一致稳定。可知，系统一致稳定。Uniformly stable0222)()(2222112221xxxxxVxxVxx21221xxxxxq 对例对例11-5，选取，选取Lyapunov函数为函数为 则则 是负定的是负定的, 因此可以判定系统在原点处的平衡状态是渐近稳因此可以判定系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。定的。 22212212)(21),(xxxxtVx)(),(2221xxtVx21221xxxxxq 例例11-6 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。试确定
30、用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。 为为Lyapunov函数，那么沿任意轨迹函数，那么沿任意轨迹x(t)，V(x)的全导数为的全导数为12210 xxkkxxq 解解 显然，原点显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果选择正定是给定系统的唯一平衡态，如果选择正定函数函数2221)(kxxVx02222)(21212211xkxxkxxxxxV x 由于由于V(x)非正定非正定, 由由定理定理11-5的的1)可知可知, 系统一致稳定。系统一致稳定。 由于由于V(x)对任意的对任意的x 0恒为零恒为零, 因此由因此由定理定理11-5中中2)可知可知,该系统是稳定的但非渐近稳定。该系统
31、是稳定的但非渐近稳定。(3) 不稳定性定理不稳定性定理q 定理定理11-6 设系统的状态方程为设系统的状态方程为x=f(x,t), 其中其中xe=0为其平衡态。为其平衡态。如果存在一个有连续一阶偏导数的正定函数如果存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，满足下，满足下述条件述条件:1) V(x,t) 正定，则该系统在原点处的平衡态是不稳定的正定，则该系统在原点处的平衡态是不稳定的;2) 若若V(x,t) 非负定，且对任意的非负定，且对任意的 t0 和任意的和任意的x(t0) 0，V(x,t)在在tt0 时不恒为零，那么该平衡态时不恒为零，那么该平衡态 xe 也是不稳定的。也是不稳定的。定理定理11-6 的证明的证明q 例例11-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。q 解解 原点原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，选择是给定系统的唯一平衡态，选择Lyapunov函数函数2221)(xxVx则则 由于由于V(x)非负定，但其只在非负定，但其只在x1=0，x2=0时才恒为零，而在其时才恒为零，而在其他状态不恒为零，因此由他状态不恒为零，因此由定理定理11-6的的2)可知，系统的该平衡态可知，系统的该平衡态是不稳定的。是不稳定的。 21221xxxxx0222)(222211 xxxxxV x
