1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八章 平面解析几何 章末强化训练 1 直线 x 2y 2k 0 与直线 2x 3y k 0 的交点在圆 x2 y2 9 的外部 ， 则 k 的取值范围为 _ 解析：解方程组?x 2y 2k 0，2x 3y k 0 得交点坐标为 ( 4k， 3k)， 由 ( 4k)2 ( 3k)29 解得 ， k35或 k0)的焦点为 F， ABC 的顶点都在抛物线上 ， 且满足 FA FB FC 0， 则 1kAB 1kAC 1kBC _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， F? ?p2， 0 ， 由
2、 FA FB FC ， 得 y1 y2 y3 0. 因为 kAB y2 y1x2 x1 2py1 y2， 所以 kAC 2py1 y3， kBC 2py2 y3， 所以 1kAB 1kAC 1kBC y1 y22p y3 y12p y2 y32p 0. 答案： 0 5 已知圆 C 关于 y 轴对称 ， 经过点 A(1， 0)， 且被 x 轴分成的两段弧长的比为 12 ， 则圆 C 的标准方程为 _ 解析：因为圆 C 关于 y 轴对称 ， 所以圆 C 的圆心 C 在 y 轴上 ， 可设 C(0， b)设圆 C 的半径为 r， 则圆 C 的方程为 x2 (y b)2 r2. 依题意 ， 得?12（
3、 b） 2 r2，|b| 12r ?r2 43，b 33 ，于是 ， 圆 C 的标准方程为 x2 ? ?y 332 43. 答案： x2 ? ?y 332 43 6 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1， 则椭圆长轴的最小值为_ 解析：设 a， b， c 为椭圆的长半轴长 ， 短半轴长 ， 半焦距长由题知 ， 当三角形的高为b 时面积最大 ， 所以 12 2cb 1， bc 1， 2a 2 b2 c2 2 2bc 2 2(当且仅当 b c 1 时取等号 ) 答案 ： 2 2 7 设椭圆的左、右焦点分别为 F1、 F2， 过 F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P， 若 F1PF2
4、=【 ;精品教育资源文库 】 = 为等腰直角三角形 ， 则椭圆的离心率为 _ 解析：设椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0)， 由 ?x2a2y2b2 1，x c，得 y2 b4a2 F1F22， 即（ a2 c2） 2a2 (2c)2， 则 e 2 1. 答案： 2 1 8 已知圆 x2 y2 x 6y m 0 和直线 x 2y 3 0 交于 P， Q 两点 ， 若 OP OQ(O 为坐标原点 )， 则 m 的值为 _ 解析：设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 由?x 2y 3 0，x2 y2 x 6y m 0 得 5y2 20y 12 m 0， 则?y1 y2 4，y1y2
5、 12 m5 ， 又 y1y2 x1x2及 x1 2y1 3 0 且 x2 2y2 3 0， 得 5y1y2 6(y1 y2) 9， 即 5 12 m5 64 9， 解得 m 3. 答案： 3 9 抛物线 y x2与直线 x y 2 0 构成的封闭平面区域 (含边界 )为 D， 若曲线 x2 2ax y2 4y a2 5125 0 与 D 有公共点 ， 则 a 的最小值为 _ 解析： 曲线 x2 2ax y2 4y a2 5125 0， 即为 (x a)2 (y 2)24925， 其圆心坐标为 E(a， 2)， 半径 r75. 作出抛物线 y x2与直线 x y 2 0 如图所示 ， 由图可知
6、 ， 当 a0时 ， 存在 a 使圆与 D 有公共点； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a0， b0)的右顶点作 x 轴的垂线 ， 与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A， O 两点 (O 为坐标原点 )， 则 双曲线 C的方程为 _ 解析：设双曲线的右顶点为 B， 则 B(a， 0)不妨取渐近线 y bax， 则 A点的坐标为 (a， b)， 从而可知 OA c， 由已知可得 OF AF c 4， 所以 OAF为边长是 c 的等边三角形又 AB OF， 所以 OB a 2， AB b 2 3.故所求的双曲线方程为 x24y212 1. 答案
7、： x24y212 1 11 已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)， 其焦点为 F1， F2， 离心率为22 ， 直线 l： x 2y 2 0 与 x 轴 ， y 轴分别交于点 A， B. (1)若点 A 是椭圆 E 的一个顶点 ， 求椭圆的方程； (2)若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1 PF2 2a， 求 a 的取值范 围 解： (1)由椭圆的离心率为 22 ， 得 a 2c， 由 A(2， 0)， 得 a 2， 所以 c 2， b 2， 所以椭圆方程为 x24y22 1. (2)由 e 22 ， 设椭圆方程为 x2a22y2a2 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 联
8、立?x2a22y2a2 1，x 2y 2 0得 6y2 8y 4 a2 0. 若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1 PF2 2a， 则线段 AB 与椭圆 E 有公共点 ， 等价于方程 6y2 8y 4 a2 0 在 y0 ， 1上有解 设 f(y) 6y2 8y 4 a2， 所以? 0，f（ 0） 0 即 ?a2 43，4 a2 0，所以 43 a2 4， 故 a 的取值范围是 2 33 a 2. 12 已知点 A(x1， y1)， B(x2， y2)(x1x2 0)， O 是坐标原点 ， P 是线段 AB 的中点 ， 若 C 是点 A 关于原点的对称点 ， Q 是线段 BC 的中点 ，
9、且 OP OQ， 设圆 D 的方程为 x2 y2 (x1 x2)x (y1 y2)y 0. (1)证明：线段 AB 是圆 D 的直径； (2)若存在 p 使 2p(x1 x2) y21 y22 8p2 2y1y2， 当圆 D 的圆心到直线 x 2y 0 的距离的最小值为 2 55 时 ， 求 p 的值 解： (1)证明：由于点 P 的坐标为 (x1 x22 ， y1 y22 )， 点 A(x1， y1)关于原点的对称点为 C( x1， y1)， 那么点 Q 的坐标为 ( x1 x22 ， y1 y22 ) 由 OP OQ， 得 OP2 OQ2， 即 ? ?x1 x222 ? ?y1 y222
10、? ? x1 x222 ? ? y1 y222， 得 (x1 x2)2 (y1 y2)2 (x1 x2)2 (y1 y2)2， 从而 x1x2 y1y2 0， 由此得 OA OB.由方=【 ;精品教育资源文库 】 = 程 x2 y2 (x1 x2)x (y1 y2)y 0 知圆 D 过原点 ， 故线段 AB 是圆 D 的直径 (2)由 2p(x1 x2) y21 y22 8p2 2y1y2， 得 x1 x2 12p(y1 y2)2 8p2 又圆心 ? ?x1 x22 ， y1 y22 到直线 x 2y 0 的距离 d ? ?x1 x22 （ y1 y2）5 ? ?14p（ y1 y2） 2 8
11、p2（ y1 y2）5 （ y1 y2） 2p2 4p24 5p 4p24 5p2 55 ， 从而得 p 2. 1 已知圆 x2 y2 1 和直线 y 2x b 交于 A， B 两点 ， 且 OA， OB 与 x 轴正方向所成的角分别为 ， ， 则 sin( ) _ 解析：由?y 2x b，x2 y2 1 得 5x2 4bx b2 1 0， 设 A， B 两点坐标分别为 A(cos ， sin )，B(cos ， sin )， 则?cos cos 4b5 ，cos cos b2 15 ，又?sin 2cos b，sin 2cos b， 则 sin( ) sin cos cos sin (2co
12、s b)cos cos (2cos b) 4cos cos b(cos cos ) 4 b2 15 b ? 4b5 45. 答案： 45 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 已知椭圆 x2 y2b2 1(00 时 ， 椭圆离心率的取值范围为 _ 解析：设 F、 B、 C 的坐标分别为 ( c， 0)、 (0， b)、 (1， 0)， 则 FC、 BC 的中垂线分别为x 1 c2 ， y b2 1b? ?x 12 ， 联立方程 ， 解得?x 1 c2 ，y b2 c2b .于是 m n 1 c2 b2 c2b 0， 即 b bc b2 c0， (1 b)(b c)0， 得 bc， 从而 b2c
13、2，即 a22c2， 所以 e20， 所以 00)， A 为抛物线上一点 (A 不同于原点 O)，过焦点 F 作直线平行于 OA， 交抛物线 C 于 P， Q 两点若过焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交直线 OA 于 B， 则 FP FQ OA OB _ 解析：设 OA 所在的直线的斜率为 k， 则由?y kx，y2 2px 得到 A?2pk2，2pk ， 易知 B?p2，kp2 ， P，Q 的坐标由方程组?y k?x p2y2 2px得到 ， 消去 x 得 ky22p ykp2 0， 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 由根与系数的关系得 ， y1y2 p2， 根据弦长公 式 ，
14、 FP FQ 1 1k2 |y1| 1 1k2 |y2| ? ?1 1k2 |y1y2| ? ?1 1k2 p2， 而 OA OB ? ?2pk22 ? ?2pk2 ? ?p22 ? ?kp22 ? ?1 1k2 p2， 所以 FP FQ OA OB 0. 答案： 0 4.如图 ， 以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD， 且 AB CD.若双曲线 C1以 A、 B 为焦点 ， 且过 C、 D 两点 ， 则当梯形的周长最大时 ， 双曲线的 离心率为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：如图以 AB 所在直线为 x 轴 ， AB 的垂直平分线为 y 轴 ， 建立坐标系 ， 连结 AC
15、.设双曲线方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， BAC ， 作 CE AB 于点 E， 圆的半径为 R， 则 BC 2Rsin ， EB BCcos(90 ) 2Rsin2 . CD 2R 4Rsin2 ， 梯形的周长 l AB 2BC CD 2R 4Rsin 2R 4Rsin2 4R? ?sin 122 5R. 当 sin 12， 即 30 时 ， l 有最大值 5R， 此时 ， BC R， AC 3R， a 12(AC BC) 12( 3 1)R， c R， 则 e ca 3 1. 答案： 3 1 5.(2018 福建省质量检查 )如图 ， 设 P 是圆 O： x2 y2 2 上的点 ，过 P 作直线 l 垂直 x 轴于点 Q， M 为 l 上的一点 ， 且 PQ 2 MQ .当点P 在圆上运动时 ， 记点 M 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆 O 的圆周上 ， 使其一条直角边过点 F(1， 0)， 则三角板的另一条直角边所在直线与曲线 有且只有一个公共点你认为该同学的结论是否正确？若正确 ，请证明，若
