1、。，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理共线向量定理:复习：共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 对空间任意两个向量 、 （），的充要条件是存在实数 ，使 。有向量的一组基底。）叫做表示这一平面内所、（。，使，一对实数，有且只有任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij探究：探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量在空间中
2、，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的，你能得出类似的 结论吗？结论吗？, ,a b c , ,i j k 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使, ,a b c p .pxaybzc 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c 空间向量基本定理空间向量基本定理 如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面不共面，那么对空间任一向量那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组存在一个唯一
3、的有序实数组x，y，z，使使p=xa +yb+zc 定理定理其中其中a，b，c叫做空间的一个基底叫做空间的一个基底.（不共面且非零不共面且非零）（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：特别提示：对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面， 还应明确：还应明确： （2） 由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是它们都不是 。00（3）一个基底是指一个向量组，一
4、个基向量是指基）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：推论：设设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一是不共线的四点，则对空间任一点点P，都存在唯一的有序实数组，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使，使 当且仅当当且仅当x+y+z=1时，时，P、A、B、C四点共面。四点共面。.OPxOAyOBzOC （1）如何在剧院中寻找自己的座位？(2) 如何确定住户在小区中的位置？一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系一般地：在空间取定一点在空间取定一点O从从O出发引三条出发引三条两两两两垂直的射线垂直的射线选定
5、某个长度作为单位长度选定某个长度作为单位长度(原点原点)(坐标轴坐标轴)Oxyz111右手系XYZxyoz坐标轴 原点由坐标轴确定的平面叫作坐标平面。x，y轴确定的平面记作xOy平面y，z轴确定的平面记作yOz平面x，z轴确定的平面记作xOz平面 在空间直角坐标系中，xOy平面把空间分为三个部分：xOy平面、z轴的正半轴所在部分，z轴的负半轴所在部分.同样，xOz平面、yOz平面也把空间分别分为三个部分zx面面xy面面yz面面zxyO空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限2、空间直角坐标系的划分P1P2P3yxz11Pxyzo13、空间中点的坐标对于空间任意一点P，要求它的坐标方
6、法一：过过P P点分别做三个平面垂直于点分别做三个平面垂直于x,y,zx,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P P1 1、P P2 2、P P3 3，在其相应轴上的坐标依次为，在其相应轴上的坐标依次为x,y,zx,y,z，那么，那么(x,y,z)(x,y,z)就叫做点就叫做点P P的空间直角的空间直角坐标，简称为坐标，记作坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)P(x,y,z)，三个，三个数值叫做数值叫做P P点的点的x x坐标坐标,y,y坐标坐标,z,z坐标。坐标。P P点坐标为点坐标为 (x,y,z)xyzo111PP0 xyz方法二方法二：过过P P点作
7、点作xyxy面的垂线，垂足为面的垂线，垂足为P P0 0点。点。点点P P0 0在坐标系在坐标系xOyxOy中的坐标中的坐标x x、y y依次是依次是P P点的点的x x坐坐标、标、y y坐标。再过坐标。再过P P点作点作z z轴的垂线，垂足轴的垂线，垂足P P1 1在在z z轴上的坐标轴上的坐标z z就是就是P P点的点的z z坐标坐标。P P点坐标为点坐标为 (x,y,z)P1：在建立了空间直角坐标系后，空间在建立了空间直角坐标系后，空间中任何一点中任何一点P P就与有序实数组就与有序实数组(x,y,z)(x,y,z)建立了建立了一一对应一一对应关系，关系，(x,y,z)(x,y,z)就叫
8、做就叫做P P的空间直角坐的空间直角坐标，简称为标，简称为坐标坐标，记作，记作P(x,y,z)P(x,y,z)。三个数值。三个数值x x、y y、z z分别叫做分别叫做P P点的点的x x坐标坐标、y y坐标坐标、z z坐标坐标。小提示：坐标轴坐标轴上的点至少有两个上的点至少有两个坐标等于坐标等于0；坐标面；坐标面上的点至少有一个上的点至少有一个坐标等于坐标等于0。点P的位置原点OX轴上AY轴上BZ轴上C坐标形式点P的位置X Y面内DY Z面内EZ X面内F坐标形式Oxyz111ADCBEF(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)4、特
9、殊位置的点的坐标点P所在卦限坐标符号点P所在卦限坐标符号(+,+,+)5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号(-,+,+)(-,-,+)(+,-,+)(+,+,-)(-,+,-)(-,-,-)(+,-,-)卦限图卦限图卦限图平面直角坐标yxOz111ABCDEF1、在空间直角坐标系中描出下列各点，并说、在空间直角坐标系中描出下列各点，并说明这些点的位置明这些点的位置A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0）D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）A1(1,4,0)A(1,4,1)(2,-2,0) B1 B(2,-2,-1)xOyz111(-1,-3,0) C1(-1,-3
10、,3) C2、在空间直角坐标系中作出下列各点、在空间直角坐标系中作出下列各点(1)、A（1,4,1）； (2)、B（2,-2,-1）；(3)、C（-1,-3,3）；.,243四四点点的的坐坐标标，写写出出，中中，在在长长方方体体BACDDOOCOACBADOABC CDBACOABzyx例例1：如图：如图例例2：在空间直角坐标系中标出下列各点：在空间直角坐标系中标出下列各点： A（0，2，4）B（1，0，5） C（0，2，0）D（1，3，4）结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成
11、的正方体），其中红的小正方体堆积成的正方体），其中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图：建立空间直角图：建立空间直角坐标系坐标系 后，后，试写出全部钠原子试写出全部钠原子所在位置的坐标。所在位置的坐标。xyzO 例例3：yzx练习练习1：点点M(x,y,z)是空间直角坐标系是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足中的一点，写出满足下列条件的点的坐标下列条件的点的坐标(1)与点与点M关于关于x轴对称的点轴对称的点(2)与点与点M关于关于y轴对称的点轴对称的点(3)与点与点M关于关于z轴对称的点轴对称的点(4)与点与点M关于原点对称的点关于原点对称的点(5)与
12、点与点M关于关于xOy平面对称的点平面对称的点(6)与点与点M关于关于xOz平面对称的点平面对称的点(7)与点与点M关于关于yOz平面对称的点平面对称的点(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)(x,y,-z)(x,-y,z)(-x,y,z)关于谁对称谁不变，其余都相关于谁对称谁不变，其余都相反反练习练习2 正四棱锥正四棱锥P-ABCD的底面边长为的底面边长为4,侧棱长为侧棱长为10，建立恰当的空间，建立恰当的空间直角坐标系直角坐标系(1)写出正四棱锥写出正四棱锥P-ABCD各顶点坐标各顶点坐标(2)写出棱写出棱PB的中点的中点M的坐标的坐标OABCDPxyz
13、在空间直角坐标系中描出下列各点，并指出各点所在的位置：A（0,3,1）, B（0,0,5）, C（0,3,0）在空间直角坐标系中作出下列各点：(1)、（ -1,-4,1 ）；(2)、 （ -3,3,4 ）；空间直角坐标系空间直角坐标系1、空间直角坐标系的建立(三步)2、空间直角坐标系的划分(八个卦限)3、空间中点的坐标(一一对应)4、特殊位置的点的坐标(表格)5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号(表格)空间向量运算的坐标表示, 则则设设123123(,),(,)aa a abb b b ababa a b /ab ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123
14、(,)()aaaR 1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR 1 12 23 30.( ,)aba ba ba b 都都不不是是零零向向量量一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则则AB = OB- -OA=(x2,y2,z2)- -(x1,y1,z1) =(=(x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减
15、去起点的坐标. .二、距离与夹角的坐标表示二、距离与夹角的坐标表示1. 1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）
16、当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a babF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例1如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1B
17、E1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 证明证明: 设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 则则11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另证证 可可以以用用三三垂垂线线定定理理证证D D得得证证a b c 小结：小结：1、空间向量的坐标运算；、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：系的关键： 首先要选定单位正交基，进而确定各向量首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。
