1、1第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念1. 写出下列随机试验的样本空间及各随机事件。写出下列随机试验的样本空间及各随机事件。20,11,02 S(2)将将a,b两个球随机地放入甲乙盒子中去，观察甲乙两个盒子两个球随机地放入甲乙盒子中去，观察甲乙两个盒子中球的个数。中球的个数。A表示表示“甲盒中至少有一个球甲盒中至少有一个球”12,11,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 S(1)将一颗骰子接连抛掷两次，记录两次出现的点数之和。将一颗骰子接连抛掷两次，记录两次出现的点数之和。A表表示示“点数之和小于点数之和小于6”，B表示事件表示事件“两次出现的点数之和为
2、两次出现的点数之和为7”。5 , 4 , 3 , 2 A7 B（4）测量一辆汽车通过给定点的速度。）测量一辆汽车通过给定点的速度。A表示表示“汽车速度在汽车速度在60至至80之间之间”(单位：公里单位：公里/小时小时)练习一练习一8060| vvA20,11 A(3)记录南京市记录南京市110在一小时内收到的呼叫次数。在一小时内收到的呼叫次数。A表示表示“南南京市京市110在一小时内收到的呼叫次数在在一小时内收到的呼叫次数在6至至10间间”。, 3 , 2 , 1 , 0 S10, 9 , 8 , 7 , 6 A0| vvS2.2.设设A、B、C 为三个事件试用为三个事件试用A、B、C 表示下
3、列事件表示下列事件(2)A，B，C 都不发生都不发生(1)A与与B 不不发生，而发生，而C 发生发生(3)A、B、C 至少有一个发生至少有一个发生(4)A、B、C中恰有一个发生中恰有一个发生(6) A、B、C 中至多有两个发生中至多有两个发生(5)A、B、C 中恰有两个发生中恰有两个发生(7) A、B、C 中中至少有两个发生至少有两个发生2CBACBACBACBACBACBAACBCABCBACBABCACAB3 3. 3.设设A、B、C为三个事件为三个事件, ,且且 ， 求求A，B，C都不发生的概率。都不发生的概率。 41)()()( CPBPAP81)()( ACPABP0)( BCP)(
4、)()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 0)()(0 BCPABCP21008181414141 )(1CBAP )()(CBAPCBAP 0)( BCP由由 知知 211 21 481)()1( ABP(2)A、B互不相容互不相容21)(,31)( BPAP 4. 4.设设A、B是两个事件且是两个事件且 ，试在，试在三种情况下求三种情况下求)(BAP(3)A、B有包含关系有包含关系 )()()(ABPAPBAP8131 AB)()()()(ABPAPBAPBAP 245 )()()(ABPAPBAP031 31 0)( ABP)()(BPAP BA )()
5、()(ABPAPBAP0)()( APAP5)()()(BAPAPABP 5 . 0)(, 3 . 0)(, 7 . 0)( BAPBPAP5. .设设A、B、C是三个事件是三个事件 求求 ， 。)()(BAPBAP2 . 05 . 07 . 0 )()()()(ABPBPAPBAP )()()()(ABPBPABPBAP 8 . 02 . 03 . 07 . 0 1 . 02 . 03 . 0 6解：以解：以A表示事件表示事件“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”151!10!7! 38)( AP练习二练习二 1.把把10本不同的书任意放在书架上，求其中指定本不同的书任意放在书架上，求其
6、中指定的的3本书放在一起的概率。本书放在一起的概率。10本书任意放置的情况共有本书任意放置的情况共有!103个作整体放置的情况共个作整体放置的情况共3本书的排列共有本书的排列共有8! 36以以A表示事件表示事件“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”以事件以事件A表示表示“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”把事件把事件“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”表示为表示为A把把“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”表示为事件表示为事件A7121)(31025 CCAP 2.在房间里有在房间里有10个人，分别佩戴从个人，分别佩戴从1号到号到10号的号的纪念章，任选纪念章，任选3人记录
7、企纪念章的号码。人记录企纪念章的号码。(1)求最小号码为求最小号码为5的概率的概率解：以解：以A表示事件表示事件“最小号码为最小号码为5”(2)求最大号码为求最大号码为5的概率的概率解：以解：以B表示事件表示事件“最大号码为最大号码为5”201)(31024 CCBP8343817341)(151723341010 CCCCAP3.某油漆公司发出某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆桶油漆，其中白漆10桶，黑漆桶，黑漆4桶，红漆桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发给顾客。问一个订货白漆意将这些发给顾客。问一个订货白漆10桶，黑漆桶，黑漆3桶，红漆
8、桶，红漆2桶的顾客，能按所订颜色如数得到订货桶的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？的概率是多少？解：以解：以A表示事件表示事件“白漆白漆10桶，黑漆桶，黑漆3桶，红漆桶，红漆2桶桶”9452871078)( AP4.已知在已知在10只晶体管中有只晶体管中有2只是次品，在其中取两次，只是次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。(1)两只都是正品两只都是正品解：以解：以A表示事件表示事件“两只都是正品两只都是正品”4528)(21028 CCAP(4)第二次取出的是次品第二次取出的是次品解：以解：以C表示事件表示事件
9、“一只是正品，一只是次品一只是正品，一只是次品”45191012)( BP451)(21022 CCBP(2)两只都是次品两只都是次品(3)一只是正品，一只是次品；一只是正品，一只是次品；45169108282)( CP解：以解：以B表示事件表示事件“两只都是次品两只都是次品”解：以解：以D表示事件表示事件“第二次取出的是次第二次取出的是次品品”519101282)( DP10042 CB 解：以解：以A表示事件表示事件“该方程有重该方程有重根根”。5.考虑一元二次方程考虑一元二次方程 ，其中，其中B,C分别是分别是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数，求该方程将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的
10、点数，求该方程有重根的概率。有重根的概率。02 CBxx样本空间样本空间S中共有中共有36个元素满足判别式的样本点只有个元素满足判别式的样本点只有(2,1)和和(4,4)181362)( AP11练习三练习三 )|(BABP)()()()(BAPBPAPABP )()(BAPBABP1. (1)已知已知 求求 。, 5 . 0)(, 4 . 0)(, 3 . 0)( BAPBPAP)|(BABP解：解：)()()()()(BAPBPAPBAPAP )()(1)(1)()(1BAPBPAPBAPAP 5 . 04 . 013 . 015 . 03 . 01 418 . 02 . 0 (2)已知已
11、知 求求 。,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP)(BAP解：解： )(BAP)()()(ABPBPAP )|()()|()()(ABPAPBAPABPAP )|()()|()|()()(ABPAPBAPABPAPAP 314121314141 31 122.假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为0.95，而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的，而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的概率为概率为0.002。根据以往资料表明，某单位职工患肺结。根据以往资料表明，某单位职工患肺结核的概率为核的概率为0.001。现在该单位有一
12、个职工经过透视被。现在该单位有一个职工经过透视被诊断为患肺结核，求这个人确实患肺结核的概率。诊断为患肺结核，求这个人确实患肺结核的概率。解：以解：以A表示事件表示事件“确实患肺结核确实患肺结核”，以，以B表示事件表示事件“通过透视被确诊通过透视被确诊”。95. 0)|( ABP002. 0)|( ABP001. 0)( AP)()()|(BPABPBAP )|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP 002. 0)001. 01(95. 0001. 095. 0001. 0 3223. 0 133.已知男子有已知男子有5%是色盲患者，女子有是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患
13、是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则(1)此人是色盲患者的概率此人是色盲患者的概率005. 0)|( BAP0025. 0)|( BAP)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP 02625. 0 0025. 05 . 005. 05 . 0 )()|()()|(APBAPBPABP 02625. 00025. 05 . 0 解：以解：以A表示事件表示事件“色盲患者色盲患者”，以，以B表示事件表示事件“所所取为男子取为男子”。(2)若此人恰好是色盲患者，问此人是女性的概率是多若此人恰好是色盲患者，问此人是女性的概率是多少？少
14、？解：解：211 144.有两箱同类的零件，第一箱装有两箱同类的零件，第一箱装50只，其中只，其中10只一等品，第二箱只一等品，第二箱装装30只，其中只，其中18只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只，作不放回抽样求中任取零件两次，每次取一只，作不放回抽样求 (1)第一次取到的零件是一等品的概率第一次取到的零件是一等品的概率(2)在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。也是一等品的概率。)2 , 1( iAi解：以解：以 表示事件表示事件“第第i
15、次从零件中取到一等品次从零件中取到一等品”)2 , 1( iBi以以 表示事件表示事件“取到第取到第i箱箱”10621501021 1943. 0 )|()()|()()(2121111BAPBPBAPBPAP )()()|(12112APAAPAAP )|()()|()()(2212121121BAAPBPBAAPBPAAP 52 4 . 01943. 0 4856. 0 2930171821495091021 15解：解：3198. 0)|( ABP5.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况有三种：损坏况有三种：损坏2
16、%，(这一事件记为这一事件记为 )，损坏，损坏10 %(事件事件 )，损损坏坏90%（事件（事件 ）。且知）。且知 现在现在从已被运输的物品中随机地取从已被运输的物品中随机地取3件，发现这件，发现这3件都是好的件都是好的(这一事件这一事件记为记为B)。试求条件概率。试求条件概率 （这里设物品数（这里设物品数量很多，取出一件后不影响后一件是否为好品的概率。）量很多，取出一件后不影响后一件是否为好品的概率。）2A3A05. 0)(,15. 0)(, 8 . 0)(321 APAPAP),|(),|(),|(321BAPBAPBAP1A)|()()|()()|()()|()()|(332211111
17、ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP 8731. 0 329 . 0)|( ABP331 . 0)|( ABP33331 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 098. 08 . 0 333321 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 09 . 015. 0)|( BAP1268. 0 333331 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 01 . 005. 0)|( BAP0001. 0 16练习四练习四)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP nbaababbab)21(11 abbnn 221. 口袋
18、里装有口袋里装有a+b枚硬币，其中枚硬币，其中b枚硬币是废品枚硬币是废品(两面两面都是国徽都是国徽)。从口袋中随机地取出。从口袋中随机地取出1枚硬币，并把它独枚硬币，并把它独立地抛掷立地抛掷n次，结果发现向上的一面全是国徽，试求次，结果发现向上的一面全是国徽，试求这枚硬币是废品的概率。这枚硬币是废品的概率。babBP )(解：以解：以A表示事件表示事件“n次出现都是国徽次出现都是国徽”，B表示事表示事件件“取到废品取到废品”baaBP )(17)()()()(APBAPAPABP )()()()()()(APAPBAPABPAPABP )|()|(1)|(ABPABPABP 证明：证明：1)|
19、()|( ABPABP2. 设设 且且 。 证明证明A与与B相互独立。相互独立。1)(0 , 1)(0 BPAP1)(BP )()()(BPAPABP 183. 设某工厂生产的每台仪器以概率设某工厂生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂；可以直接出厂；以概率以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出可以出厂，以概率厂，以概率0.2定位不合格品不能出厂。现在该厂生产定位不合格品不能出厂。现在该厂生产了了n(n2)台仪器，求所有仪器都能出厂的概率。台仪器，求所有仪器都能出厂的概率。解：以解：以Ai表示事件表示事件“第第i件仪器能出厂件仪器能出厂”，以，以B
20、表示事表示事件件“第第i件仪器需要进一步调试件仪器需要进一步调试”，以，以C表示事件：表示事件：“所有仪器都能出厂所有仪器都能出厂”)|()()|()()(BAPBPBAPBPAPiii 17 . 08 . 03 . 0 94. 0 3 . 0)( BP8 . 0)|( BAPi1)|( BAPi7 . 0)( BP)()(321nAAAAPCP n94. 0 184. 设有设有4个独立工作的元件个独立工作的元件1,2,3,4，它们的可靠性均为，它们的可靠性均为p。将它们按下图的方式连接，求这个系统的可靠性。将它们按下图的方式连接，求这个系统的可靠性。解：以解：以A表示事件表示事件“系统的可靠
21、性系统的可靠性”22)1(1 )(pAP 22)2(pp 1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 1. 一个袋内装有一个袋内装有6个红球和个红球和4个白球，从中任取个白球，从中任取3个，个，设设X为取到的红球的个数，求为取到的红球的个数，求X的分布律。的分布律。解：解：X的可能取值为：的可能取值为：练习一练习一310340CCXP 3 , 2 , 1 , 0 k31016241CCCXP 31026142CCCXP 310363CCXP 030110312XP32161301 103 21 61 22. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为
22、 p（0p2Y120 xxdea其它其它 00, 0),()(yxaxyeyxfyx 10dxdyyeaxeyx解：解： 020)(),(2xyxDdyyexdxdxdyyxfYXP 0232322dxxeexxexxx2772742781 01dxxex 022dxexx63.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度 dyyxfxfX),()(其它其它 00 xyxdye其它其它 00),(yxeyxfy求随机变量求随机变量(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度)(),(yfxfYX其它其它 00 xex dxyxfyfY),()(其它其它 00
23、0yyydxe其它其它 00yyey7 1),(yxf(1)确定常数确定常数c解：解：4.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度 11122xydxdycx(2)求随机变量求随机变量(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度)(),(yfxfYX421 c1214 c其它其它 01),(22yxycxyxf dyyxfxfX),()(其它其它 01182182142114222xxxxydyx dxyxfyfY),()(其它其它 01027421252yyyyydyxx6练习二练习二101 p152 q5251151 q1.设二维离散型随机变量设二维离散型随机变
24、量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为且随机变量且随机变量X与与Y相互独立，求相互独立，求p与与q的值。的值。211151q2051XY1 1p511031151q2051XY1 1p5110353525310351 p8)()(),(yfxfyxfYX 2.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为(2)判断随机变量判断随机变量X和和Y是否相互独立。是否相互独立。 011),(22yxyxf 其它其它解：解： 01|12122112xxxxdy 其它其它(1)求随机变量求随机变量(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度)(),(yfxfYX d
25、yyxfxfX),()( dxyxfyfY),()( 01|12122112yyyydx 其它其它显然显然不独立不独立83.设随机变量设随机变量Y 服从参数为服从参数为1的指数分布，的指数分布，令令 2ln02ln11YYX212ln3ln, 2ln0, 021 YPYYPXXP(1)求二维随机变量求二维随机变量(X1,X2)的联合概率分布律的联合概率分布律 3ln03ln12YYX03ln, 2ln1, 021 YYPXXP3ln2ln3ln, 2ln0, 121 YPYYPXXP3ln3ln, 2ln1, 121 YPYYPXXP1216101X2X0103161)2(ln)3(ln FF
26、313ln1 YP(2) 判断随机变量判断随机变量X1与与X2是否相互独立是否相互独立31322121显然，显然， 不独立。不独立。213221 94.设设X和和Y是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，X在在(0,1)上服从均上服从均匀分布，匀分布，Y服从参数服从参数 的指数分布。的指数分布。2 )()(),(yfxfyxfYX (1)求随机变量求随机变量X 和和Y 的联合概率密度的联合概率密度f (x, y); 0101)(xxfX其它其它 0021)(2yeyfyY其它其它由独立：由独立： 00, 1021),(2yxeyxfy其它其它022 YXaa(2)设含有设含有a的二次方程的
27、二次方程 试求试求a有实根的概有实根的概率。率。22, 044XYYX dxedxdyedxdyyxfXYPxxyxy 10210022)1(21),(2221445. 0)0()1(1 17练习三练习三 zxx101. 设设X和和Y是相互独立的随机变量，且是相互独立的随机变量，且X和和Y 的概率密的概率密度分别为度分别为 dxxzfxfzfYXZ)()()(求随机变量求随机变量Z=X+Y的概率密度的概率密度 。)(zfZ 0101)(xxfX其它其它 00)(yeyfyY其它其它解：解： 011010)(0)(zdxezdxexzzxz其它其它 01)1(101zeezezz其它其它17 z
28、xzxxzx1101010 dxxzfxfzfYXZ)()()(2. 设设X和和Y是相互独立的随机变量，且都在是相互独立的随机变量，且都在(0,1)上服上服从均匀分布，求随机变量从均匀分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度的概率密度 。)(zfZ 0101)(xxfX其它其它 0101)(yyfY其它其它解：解：X和和Y的概率密度函数分别为的概率密度函数分别为 02110110zdxzdxzz其它其它 021210zzzz其它其它3)(, )(21 YX3. 3. 设设 是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量， 证明：证明：YX,)(21 YXZ显然，显然， , 2 , 1 , 0!),(2
29、22 kekkXPYk , 2 , 1 , 0!),(111 kekkXPXk 0,1, 1, 0 YkXkYXkYXPkZP kiikYiXP0, kiikYPiXP021)!(!201 eikeiikkii)!(!201)(22ikieikkii !kkikikiikikke 210)()!( !22 ikikiikCke 210)(!22 )(2122!)( ekkZPk)(21 YXZ所以所以17 222),()(22zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF2222221)()(),( yxYXeyfxfyxf 2222222221zyxyxdxdye 0 z22YXZ ), 0(2
30、N4. 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从正是两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布态分布 ，试验证随机变量，试验证随机变量 的概率的概率密度为密度为其它其它 00, 0)(2222 zezzfzZ)0( 我们称我们称Z服从参数为服从参数为 的瑞利分布的瑞利分布证明：由证明：由X和和Y独立独立令令 sin,cosryrx 其它其它 00, 0)(2222 zezzfzZ175. 设随机变量设随机变量(X,Y) 的概率密度为的概率密度为其它其它 00 , 1011),()(1yxeeyxfyx(1)求随机变量求随机变量(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度)()
31、,(yfxfYX dyyxfxfX),()( dxyxfyfY),()( 01011101)(1xeedyeexyx其它其它 001110)(1yedxeeyyx其它其它(2)判断随机变量判断随机变量X和和Y是否相互独立？是否相互独立？显然，显然， 独立。独立。)()(),(yfxfyxfYX 17(3)求随机变量求随机变量U=maxX,Y的分布函数的分布函数 。)(uFU 111011100011xxeedxeexxxx xXXdxxfxF)()( yYYdyyfyF)()( yyyyedyey00100)()()(uFuFuFYXU 11101)1 (0012ueueeuuu1第四章第四章
32、 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1. 设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间负荷的时间X(以分计以分计)是一个随机变量其概率密度为是一个随机变量其概率密度为 dxxxfXE)()( 030001500)3000(150011500015001)(22xxxxxf其它其它试求随机变量试求随机变量X的数学期望的数学期望E(X)。xdxxdxx)3000(15001150011500030001500222 解：解：15001000500 2解：解：3 . 023 . 004 . 0)2()(2222 XE3 . 0)523(3 .
33、0)503(4 . 0)5)2(3()53(2222 XE8 . 2 2. 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 试求试求)53(),(22 XEXE4.02 0XP23.03.04 .13 3.设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 000)(xxexfx(1)求随机变量求随机变量X的数学期望的数学期望 dxxxfXE)()( 0dxxex1 (2)求随机变量求随机变量Y2X的数学期望的数学期望 dxxxfXEYE)(2)2()( 02dxxex2 (3)求随机变量求随机变量Ze5X的数学期望的数学期望 dxxfeeEZExX)()()(55 06dxex61 34.设二维连续
34、型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 100212xdxdyxy dxdyyxxyfXYE),()(其它其它 01012),(2xyyyxf试求试求)(),(),(22YXEXYEXE dxdyyxxfXE),()(54 1516 解：解： 1003212xdxdyyx21 dxdyyxfyxYXE),()()(2222 100422)1212(xdxdyyyx4)()()(2121XEXEXXE 解：解：5.设随机变量设随机变量X1，X2的概率密度分别为的概率密度分别为(1)求求)(21XXE 81 0002)(21xxexfx(2)又设又设X1，X2相互独立，求
35、相互独立，求)(21XXE21)(1 XE)()()(2121XEXEXXE 0004)(42xxexfx41)(2 XE43 解：解：5练习二练习二21211)()()(XEXEXD 1.设某台设备由三个元件所组成，在设备运转中各个元件需要设某台设备由三个元件所组成，在设备运转中各个元件需要调整的概率分布为调整的概率分布为0.1,0.2,0.3。假设各个元件是否需要调整是相。假设各个元件是否需要调整是相互独立，以互独立，以X表示同时需要调整的元件数，试求表示同时需要调整的元件数，试求X的数学期望和的数学期望和方差。方差。解：以解：以Xi表示第表示第i个元件的调整情况，个元件的调整情况，i=1
36、,2,316. 0 09. 0 1 . 0)(1 XE321XXXX 01iX第第i个元件需要调整个元件需要调整第第i个元件不需要调整个元件不需要调整2 . 0)(2 XE3 . 0)(3 XE22222)()()(XEXEXD 23233)()()(XEXEXD 21. 0 6 . 0)()()()(321 XEXEXEXE46. 0)()()()(321 XDXDXDXD6814835834413)( XE2.设乒乓球队设乒乓球队A与与B比赛，如果有一个队胜比赛，如果有一个队胜3场，则比场，则比赛结束。已知赛结束。已知A队在比赛中获胜的概率为队在比赛中获胜的概率为0.5，试求比，试求比赛场
37、数赛场数X的数学期望。的数学期望。解：随机变量解：随机变量X的可能取值为的可能取值为3,4,5。41)211()21(333 XP83)211()21(2124223 CXP83)211()21(21252224 CXP722)()()(ZEZEZD (1)写出随机变量写出随机变量(X,Y)的概率密度函数。的概率密度函数。3.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)在区域在区域 内服从均匀分布。内服从均匀分布。xyxxD , 10: 2ln0, 100),(Yxyxxyxf其它其它613 34 解：积分区域的面积为解：积分区域的面积为1 dxdyyxfyxYXEZE),()2()2(
38、)(2)求随机变量求随机变量Z2XY的数学期望及方差。的数学期望及方差。 10)2(xxdxdyyx dxdyyxfyxyxYXYXEZE),()44()44()(22222 1022)44(xxdxdyyxyx187916613 8 3)(3 dxxfXP解：解：21 )21, 4( bY521)()()(222 YEYDYE1)211(214)( YDdxx 32cos214.设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 ，对，对X独立地重复观察独立地重复观察4次，用次，用Y表示观察值大于表示观察值大于 的次的次数，求随机变量数，求随机变量 的数学期望。的数学期望。 00cos21)(
39、xxxf其它其它3 2Y2214)( YE9)()(2)2()(YEXEYXEZE (1)求随机变量求随机变量Z=2X+Y的分布；的分布；)()(4)2()(YDXDYXDZD )65,2080(2NZ)1525,80( NZ20806407202 80640720)()()()( YEXEYXEZE令令15252530)()()()(22 YDXDYXDZD5.设随机变量设随机变量X,Y相互独立，相互独立，)25,640(),30,720(22NYNXYXZ 解：解：42252530422 YXP (2)求概率求概率9798. 0)1525800(10100 ZPZPYXPYXP1400 Y
40、XP(3)求概率求概率令令YXZ )1525,1360( NZ1539. 0)152513601400(11400114001400 ZPZPYXP10练习三练习三0)()()(),( YEXEXYEYXCov1. 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：的联合分布律为：083141083)1()( XE试证明：试证明：X和和Y是不相关的，但是不相关的，但X与与Y不是相互独立的。不是相互独立的。81)1(081)1(181)1(081)1()1()( XYE1 8181011 XY010818181818181418383838341083141083)1()( YE
41、08111810181)1(18110000 0 XY 故故X,Y不相关，而且不独立。不相关，而且不独立。110)()()(),( YEXEXYEYXCov),(),(YXCovXE2. 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)在区域在区域 内服从均匀分布，计算内服从均匀分布，计算 。xyxxD , 10: dxdyyxxfXE),()( 0, 101),(xyxxyxf其它其它解：解：(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为3210 xxxdxdy dxdyyxyfYE),()(010 xxydxdy dxdyyxxyfXYE),()(010 xxxydxdy12解：解： 131
42、4441 )2 ,2(),(21YXYXCovXXCov ),(4)(4)()2()(1YXCovYDXDYXDXD )()()()()()()(),(212121212121XDXDXEXEXXEXDXDXXCovXX 13254135 41113.3.设随机变量设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为的协方差矩阵为 ，求，求 与与 的相关系数。的相关系数。YXX21 YXX 22),(2),(4),(),(2YYCovXYCovYXCovXXCov 4214112 5 ),(4)()(4)2()(2YXCovYDXDYXDXD 414414 131212100 dxexdxexxx dxxfxX
43、E)(|)(|Rxexfx ,21)(|4. 设连续型随即变量设连续型随即变量X的概率密度为的概率密度为(1)问问X与与|X|是否相关？为什么？是否相关？为什么？解：解：0|)(|)()|(|)|,(| XEXEXXEXXCov dxxxfXE)()(0212100 dxexdxexxx dxxfxxXXE)(|)|(|021210202 dxexdxexxx显然不相关。显然不相关。(2)问问X与与|X|是否独立？为什么？是否独立？为什么？不独立不独立145. 已知已知 ，试求，试求17)(, 9)(, 4)( YXDYDXD(1)协方差协方差),(YXCov2179421)()()(21),
44、( YXDYDXDYXCov31322)()(),( YDXDYXCovXY 17),(2)()()( YXCovYDXDYXD(3)互协方差互协方差),2(YXYXCov (2)相关系数相关系数XY ),(2),(2),(),(),2(YYCovXYCovYXCovXXCovYXYXCov )(2),(2),()(YDXYCovYXCovXD 1292424 1第五章第五章 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理1. 设设 ，则由契比雪夫不等式，则由契比雪夫不等式有有 3| XP2)(,)( XDXE解：解：989122 2.设设 相互独立且均服从参数相互独立且均服从参数 的泊松的泊松
45、分布，试证明：当分布，试证明：当n趋向于无穷大时，趋向于无穷大时， 依概依概率收敛于率收敛于12。nXXX,213 niinXnY1211293)()()(222 iiiXEXDXE niiniinXEnXnEYE1212)(1)1()(12121 nn由辛钦大数定律由辛钦大数定律1|12|lim YPn2221212)()(1)1()(aXEXEnXnEZEiniiniin 证明：当证明：当n充分大时，充分大时， 近似服从正态分布，并近似服从正态分布，并指出其分布参数。指出其分布参数。 niinXnZ121解：解：22)(aXE )()(11lim)(lim224212xxnaanaXnPz
46、FniinZnn )(1,(2242aanaNZn 3.设设 相互独立且同分布，已知相互独立且同分布，已知nXXX,214 , 3 , 2 , 1,)( kaXEkk44)(aXE 2242)()()(XEXEXD 224aa )(1)(1)(1)1()(224212212aanXDnXDnXnDZDiniiniin 34.有一批建筑房屋用的木柱，其中有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少根，问其中至少有有30根短于根短于3m的概率是多少。的概率是多少。2 . 0)( XE1301001 iiXPV
47、P解：设随机变量解：设随机变量0062. 09938. 01)5 . 2(142 . 0100308 . 02 . 01002 . 010011001 iiXP 10X木柱长度不小于木柱长度不小于3m木柱长度小于木柱长度小于3mX服从服从(0-1)分布且分布且16. 0)( XD 1001iiXV令令4 1515115115150011500115001iiiiiiXPXPXP解：设解：设X表示随机变量，则舍入误差表示随机变量，则舍入误差XU(-0.5,0.5)5.计算器在进行加法时，将每个加数取最靠近它的数据。设所计算器在进行加法时，将每个加数取最靠近它的数据。设所有的舍入误差是独立的。且在
48、有的舍入误差是独立的。且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。上服从均匀分布。(1)若将若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多的概率是多少少121)(, 0)( XDXE 1211500015001512115000150012115000150015115001iiX1802. 0 )341. 1()341. 1(1 解：设最多可以有解：设最多可以有n个数相加使得误差总和绝对值小于个数相加使得误差总和绝对值小于10(2)最多可以有几个数相加使得误差总和的绝对值小于最多可以有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率的概率不小于不小于0.9
49、？ 10101011niiniiXPXP9 . 012010120120101 nnnnXnnnii解之得：解之得：65. 11210 n441 n1第六章样本及抽样分布第六章样本及抽样分布解：解：1.自总体自总体X抽得一个容量为抽得一个容量为5的样本为的样本为8,2,5,3,7，求样，求样本均值本均值 和样本方差和样本方差 及经验分布函数及经验分布函数 。X)(xFs2S5573528 X 222222)57()53()55()52()58(151 S5 . 6)44099(41 81875475535352325120)(xxxxxxxFs练习一练习一238033|80| XPXP解：解：
50、8664. 0 2.在总体在总体 中随机地取一容量为中随机地取一容量为100的样本，的样本，问样本均值与总体均值差的绝对值小于问样本均值与总体均值差的绝对值小于3的概率是多的概率是多少？少？)20,80(2NX1002031002080100203 XP)5 . 1()5 . 1( 19332. 021)5 . 1(2 31121121|12| XPXPXP2628. 08686. 01 2)12. 1(1 2 5XZzFzF)()( (1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。的概率。3.在总体在总体XN(12,4)中随机地抽一容量为中随机地抽一容
