1、定义定义1:设:设 是线性空间是线性空间V的一个线性变换,的一个线性变换, 集合集合 ( )( )|VV 称为称为线性变换的值域线性变换的值域,也记作或,也记作或 Im,.V 集合集合 1(0)|, ( )0V 称为称为线性变换的核线性变换的核,也记作,也记作 ker. 注:注: 皆为皆为V的子空间的子空间.1( ),(0)V 定义定义2:线性变换的值域线性变换的值域 的维数称为的维数称为的秩的秩;( )V 的核的核 的维数称为的维数称为 的零度的零度. 1(0) 例例1、在线性空间在线性空间 中,令中,令 nP x ( )( )D f xfx 则则 1 ,nnD P xP x 1(0)DP
2、所以所以D的秩为的秩为n1,D的零度为的零度为1. 1. (定理定理10) 设是设是n 维线性空间维线性空间V的线性变换,的线性变换, 是是V的一组基,在这组基下的矩阵是的一组基,在这组基下的矩阵是A,12,n 则则1) 的值域的值域 是由基象组生成的子空间,即是由基象组生成的子空间,即 ( )V 12( )(), (), ()nVL 2) 的秩的秩A的秩的秩. 2. 设为设为n 维线性空间维线性空间V的线性变换,则的线性变换,则 的秩的零度的秩的零度n 即即 1dim( )dim(0).Vn 证明:设证明:设 的零度等于的零度等于r ,在核,在核 中取一组基中取一组基 1(0) 12,r 并
3、把它扩充为并把它扩充为V的一组基:的一组基: 12,rn 生成的生成的.由定理由定理10, 是由基象组是由基象组( )V 12(), (), ()n 但但 ()0,1,2, .iir 1( )(), ()rnVL 设设 11()()0rrnnkk 则有则有 110rrnnkk111(0)rrnnkk 下证下证 为为 的一组基,即证它们的一组基,即证它们1(), ()rn ( )V 即即 可被可被 线性表出线性表出. 12,r 线性无关线性无关.设设 1 122rrkkk于是有于是有 1 122,110rrrrnnkkkkk由于为由于为 V的基的基. 12,n 120nkkk 的秩的秩nr .因
4、此,因此, 的秩的秩 的零度的零度n. 故故 线线 性无关,即它为性无关,即它为 的一组基的一组基. 1(), ()rn ( )V 虽然虽然 与与 的维数之和等于的维数之和等于n,但是,但是( )V 1(0) 未必等于未必等于V. 1( )(0)V 如在例如在例1中中, 11 0 nnnD P xDP xP x ) 是满射是满射 ( )VV 证明:证明:) 显然显然.) 因为因为 若若 为单射,则为单射,则 00, 1(0)0 . 3. 设为设为n 维线性空间维线性空间V的线性变换,则的线性变换,则 ) 是单射是单射 1(0)0 反之反之 ,若,若 任取任取 若若 1(0)0 , ,V 、(
5、)( ), 则则()( )( )0, 即即 . = =故是单射故是单射. 1(0)0 , 从而从而 是单射是单射 是满射是满射. 证明:是单射证明:是单射 1(0)0 dim( )Vn 4. 设设为为n 维线性空间维线性空间V的线性变换,则的线性变换,则 1dim(0)0 是满射是满射. ( )VV 1021121312552212A 线性变换在此基下的矩阵为线性变换在此基下的矩阵为 1) 求求 及及 1(0). ( )V 2) 在在 中选一组基,把它扩充为中选一组基,把它扩充为V的一组基,的一组基, 1(0) 并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵. 并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下
6、的矩阵. 3) 在在 中选一组基,把它扩充为中选一组基,把它扩充为V的一组基,的一组基,( )V 例例2、设是线性空间设是线性空间V的一组基,已知的一组基,已知1234, 解:解:1)先求)先求 设设 它在它在1(0). 1(0), 1234, 下的坐标为下的坐标为1234(,).x xxx 0,0,0,0 .故故123410210121301255022120 xxxx 由于由于 有有 在在 下的坐标为下的坐标为 ( )0, 1234, ( ) 解此齐次线性方程组,得它的一个基础解系:解此齐次线性方程组,得它的一个基础解系: 22/310 ,1201从而从而 112322/3, 是是 的一组
7、基的一组基. 1(0) 112(0),.L 由于由于 的零度为的零度为2 ,所以,所以 的秩为的秩为2, 又由矩阵又由矩阵A,有,有21242 即即 为为2维的维的.( )V 再求再求( ).V 11234()2 2234()222 1234( )(), (), (), ()VL 2)因为)因为 121212341021012/32,00100001 从而有从而有所以,线性无关,所以,线性无关,12(), () 12(), ()L 就是就是 的一组基的一组基. 12(), () ( )V 12341(,)D 而而 1021012/3210,001000011D可逆可逆. 从而从而 , 线性无关
8、,即为线性无关,即为V的一组基的一组基. 1212, 在基在基 下的矩阵为下的矩阵为 1212, 11152009/2100.12002200DAD 3)因为)因为 1234123410001200(), (),12102201 12342(,)D 可逆可逆 .2D1000120020,12102201 而而从而从而 线性无关,即为线性无关,即为V的一组基的一组基. 1234(), (), 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为12252219/213/22.00000000DAD 1-10111201A 线性变换在此基下的矩阵为线性变换在此基下的矩阵为 1) 求求 及及 1(0). ( )V 2) 在在 中选一组基,把它扩充为中选一组基,把它扩充为V的一组基,的一组基, 1(0) 并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵. 并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵. 3) 在在 中选一组基,把它扩充为中选一组基,把它扩充为V的一组基,的一组基,( )V 作业作业设是线性空间设是线性空间V的一组基,已知的一组基,已知1234,