1、（一）全同粒子和全同性原理（一）全同粒子和全同性原理 （二）波函数的对称性质（二）波函数的对称性质 （三）波函数对称性的不随时间变化（三）波函数对称性的不随时间变化 （四）（四）Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子6 全同粒子的特性全同粒子的特性（1 1）全同粒子）全同粒子质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。（2）经典粒子的可区分性）经典粒子的可区分性经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有因为二粒子在运
2、动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。确定的位置和速度。轨轨道道速速度度位位置置 可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子1212（一）全同粒子和全同性原理（一）全同粒子和全同性原理（3）微观粒子的不可区分性）微观粒子的不可区分性微观粒子运动微观粒子运动服从服从量子力学量子力学用用波函数描写波函数描写在波函数重叠区在波函数重叠区 粒子是不可区分的粒子是不可区分的（4）全同性原理）全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。互相代换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力
3、学的基本原理之一。全同性原理是量子力学的基本原理之一。（1）Hamilton 算符的对称性算符的对称性N 个全同粒子组成的体系，其个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为：量为：个个粒粒子子的的坐坐标标和和自自旋旋。为为第第其其中中isrqqqVtqUtqqqqqHiiijiNjiiiNiNji,),(),(2),(22121 调换第调换第 i 和第和第 j 粒子，粒子， 体系体系 Hamilton 量不变。量不变。即：即：),(),(2121tqqqqqHtqqqqqHNjiNij 表明，表明，N 个全同粒子组成的体系的个全同粒子组成的体系的Hamilton 量具有交换对称性，量具有交
4、换对称性，交换任意两个粒子坐标（交换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后不变。后不变。（二）波函数的对称性质（二）波函数的对称性质（2）对称和反对称波函数）对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的含时考虑全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程方程),(),(),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNjiNjiNji 将方程中（将方程中（q i , q j ) 调换，得：调换，得：121212(, )(, )(, )jiNjiNjiNiqqqqqttH qqqqqtqqqqqt由于由于 Hamilton 量对于（量对于（q i , q j ) 调换调换 不变不变)
5、,(),(2121tqqqqqtqqqqqHNijNji 表明：表明： （q i , q j ) 调换前后的波函数都是调换前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。方程的解。根据全同根据全同性原理：性原理： ),(),(2121tqqqqqtqqqqqNijNji描写同一状态。描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。因此，二者相差一常数因子。),(),(2121tqqqqqtqqqqqNjiNij 再做一次（再做一次（q i , q j ) 调换调换),(),(),(2122121tqqqqqtqqqqqtqqqqqNjiNijNji 112 所所以以),(),(12121tqqqqqt
6、qqqqqNijNji 变变，即即二二粒粒子子互互换换后后波波函函数数不不 ),(),(12121tqqqqqtqqqqqNijNji 号号，即即二二粒粒子子互互换换后后波波函函数数变变 对称波函数对称波函数反对称波函数反对称波函数引入粒引入粒子坐标子坐标交换算交换算符符),(),(),(),(),(),(),(22jijijijijiijjiijijijijij 的的本本征征态态。本本征征值值反反对对称称波波函函数数是是的的本本征征态态；本本征征值值对对称称波波函函数数是是，所所以以111 ijij全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初
7、始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的； 初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。证证方法方法 I 设全同粒子体系波函数设全同粒子体系波函数 s 在在 t 时刻是对称的，由体系时刻是对称的，由体系哈密顿量是对称的，所以哈密顿量是对称的，所以 H s 在在t 时刻也是对称的。时刻也是对称的。是是对对称称的的。中中式式右右的的方方程程是是一一样样的的，所所以以因因为为等等式式两两边边对对称称性性应应ssstHtiShrodinger 在在 t+dt 时刻，波函数变化为时刻，波函数变化为dttss 对称对称对称对称
8、二对称波函二对称波函数之和仍是数之和仍是对称的对称的依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。同理可证：同理可证：t 时刻是反对称的波函数时刻是反对称的波函数 a ，在，在t 以后任何时刻都是反对称的。以后任何时刻都是反对称的。（三）波函数对称性的不随时间变化（三）波函数对称性的不随时间变化方法方法 II 变变。交交换换对对称称性性不不随随时时间间改改是是守守恒恒量量，即即ijijH 0,全同粒子体系哈全同粒子体系哈密顿量是对称的密顿量是对称的结论：结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或
9、反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。（1）Bose 子子凡自旋为凡自旋为 整数倍（整数倍（s = 0，1，2，) 的粒子，其多粒子波函数的粒子，其多粒子波函数对于交换对于交换 2 个粒子总是对称的，遵从个粒
10、子总是对称的，遵从Bose统计，故称为统计，故称为 Bose 子子如：如： 光子光子 （s =1）；）； 介子介子 （s = 0）。）。（四）（四）Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子（2）Fermi 子子凡自旋为凡自旋为 半奇数倍（半奇数倍（s =1/2，3/2，) 的粒子，其多粒子波函数对的粒子，其多粒子波函数对于交换于交换 2 个粒子总是反对称的，遵从个粒子总是反对称的，遵从Fermi 统计，故称为统计，故称为Fermi 子。子。例如：电子、质子、中子（例如：电子、质子、中子（ s =1/2）等粒子。）等粒子。（3）由）由“基本粒子基本粒子”组成的复杂粒子组成的复杂
11、粒子如：如： 粒子（氦核）或其他原子核。粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类全同粒子来处理。全同粒子来处理。子子粒粒子子）是是（氘氘核核）和和例例如如：BoseHeH 242121偶数个偶数个 Fermi 子组成子组成Bose 子组成子组成331221HH eF erm i例 如 ：（ 氚 核 ） 和是子奇数个奇数个 Fermi子组成子组成奇数个奇数个 Fermi子组成子组成（一）（一）2 2 个全同粒子波函数个
12、全同粒子波函数 （二）（二）N N 个全同粒子体系波函数个全同粒子体系波函数 （三）（三）PauliPauli 原理原理7 全同粒子体系波函数全同粒子体系波函数Pauli 原理原理（1）对称和反对称波函数的构成）对称和反对称波函数的构成I 2 个全同粒子个全同粒子Hamilton 量量)()()()(22201021222212qHqHqVqVH )()()()()222011100qqqHqqqHHiiiiii （设设其其不不显显含含时时间间，则则对对全全同同粒粒子子是是一一样样的的，II 单粒子波函数单粒子波函数称称为为单单粒粒子子波波函函数数。.)2 , 1()( nqni （一）（一）
13、2 个全同粒子波函数个全同粒子波函数III 交换简并交换简并粒子粒子1 在在 i 态，粒子态，粒子2 在在 j 态，则体系能量和波函数为：态，则体系能量和波函数为： )()(),2121qqqqEjiji （验证：验证：),),2121qqEqqH（ 粒子粒子2 在在 i 态，粒子态，粒子1 在在 j 态，则体系能量和波函数为：态，则体系能量和波函数为： )()(),1212qqqqEjiji （。故故称称该该简简并并为为交交换换简简并并互互换换得得到到，状状态态可可通通过过两两种种能能量量是是简简并并的的，由由于于这这（和和（状状态态211221),),qqqqqq )()()()(),)(
14、)(212010212010qqqHqHqqqHqHji （)()()()()()(22012110qqHqqqqHjiji )()()()(2121qqqqjijjii )()()(21qqjiji ),21qqE（ IV 满足对称条件波函数的构成满足对称条件波函数的构成全同粒子体系要满足对称性条件，而全同粒子体系要满足对称性条件，而 (q1,q2) 和和 (q2,q1) 仅当仅当 i = j 二态相同时，才是一个对称波函数；二态相同时，才是一个对称波函数； 当当 i j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以所以 (q1,q
15、2) 和和 (q2,q1) 不能用来描写全同粒子体系。不能用来描写全同粒子体系。构造具有对称性的波函数构造具有对称性的波函数),),),),),),122121122121qqqqCqqqqqqCqqAS（ C 为归一化系数为归一化系数显然显然 S (q1,q2) 和和 A (q1,q2) 都是都是 H 的本征函数，本征值皆为的本征函数，本征值皆为 ：jiE V S 和和 A 的归一化的归一化若单粒子波函数是正交归一化的，若单粒子波函数是正交归一化的， 则则 (q1,q2) 和和 (q2 , q1) 也是正交归一化的也是正交归一化的证：证：1)()()()(),),222*111*21212*
16、1*212121* dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjjiijiji （同理：同理：1),),211212* dqdqqqqq（0)()()()(),),222*111*21211*2*212112* dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjiijjiji （而而同理：同理：0),),211221* dqdqqqqq（证毕证毕首先证明首先证明21122112*21*221*),),),),1dqdqqqqqqqqqCdqdqSS（ 然后考虑然后考虑 S 和和 A 归一化归一化211212*1221*2112*2121*2),),),),),),),),dqdqqqqq
17、qqqqqqqqqqqqC（ 212100122 CCC则归一化的则归一化的 S),),21),122121qqqqqqS（ 同理对同理对 A 有：有：),),21),122121qqqqqqA（ 上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子间有互作用时，上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子间有互作用时， )()(),)()(),12122121qqqqqqqqjiji （但是下式但是下式仍然成立仍然成立 ),),),),),),121221212121qqEqqqqHqqEqqqqH（),),21),122121qqqqqqAS（ 归一化的归一化的 S A 依旧依旧因因H 的
18、的对称性对称性式式2成立成立（1）Shrodinger 方程的解方程的解上述对上述对2个全同粒子的讨论可以推广到个全同粒子的讨论可以推广到N个全同粒子体系，个全同粒子体系，设粒子间无互作用，单粒子设粒子间无互作用，单粒子H0 不显含时间，则体系不显含时间，则体系)()()()(0102010nNnNqHqHqHqHH )()()()()()()022201110NkkNkNjjjiiiqqqHqqqHqqqH （ )()()(),(2121NkjiNkjiqqqqqqEEHShrodinger 其其解解为为：方方程程：体体系系单粒子本单粒子本征方程：征方程：（二）（二）N 个全同粒子体系波函数
19、个全同粒子体系波函数（2）Bose 子体系和波函数对称化子体系和波函数对称化)()()21),),21),1221122121qqqqqqqqqqjijiS （ 2 个个Bose 子体系，其对称化波函数是：子体系，其对称化波函数是：1，2 粒子在粒子在 i，j态中的一种排列态中的一种排列N 个个Bose 子体系，其对称化波函数可类推是：子体系，其对称化波函数可类推是：)()(),2121NkjipNSqqqpCqqq （ N 个个 粒子在粒子在 i，j k 态态中的一种排列中的一种排列归一化系数归一化系数对各种可能排列对各种可能排列 p 求和求和!1NnCkk 归归一一化化系系数数：nk 是单
20、粒子态是单粒子态 k 上的粒子数上的粒子数例例: N = 3 Bose 子体系子体系,，设有三个单粒子态分别记为，设有三个单粒子态分别记为 1 、 2 、 3 ，求：该体系对称化的波函数。求：该体系对称化的波函数。)()()()()()()()()()()()()31),233211331221132231231231133221332211321111qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqS （ I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0 n3=3，n2=n1=0)()(),312111321300qqqqqqS （ )()(),3222123210
21、30qqqqqqS （ )()(),332313321003qqqqqqS （ III。n1=2，n2=1，n3=0。)()()()()()()! 3! 0 ! 1 ! 2),122131223111322111321210qqqqqqqqqqqqS （ 另外还有另外还有 5 种可能的状态，分别是：种可能的状态，分别是：n1=1，n2=0，n3=2)()()()()()()! 3! 2! 0 ! 1),132331331321332311321102qqqqqqqqqqqqS （ n1=0，n2=1，n3=2)()()()()()()! 3! 2! 1 ! 0),132332331322332
22、312321012qqqqqqqqqqqqS （ n1=0，n2=2，n3=1)()()()()()()! 3! 1 ! 2! 0),132232233212332212321021qqqqqqqqqqqqS （ n1=1，n2=2，n3=0)()()()()()()! 3! 0 ! 2! 1),122231321221322211321120qqqqqqqqqqqqS （ n1=2，n2=0，n3=1)()()()()()()! 3! 1 ! 0 ! 2),132131233111332111321201qqqqqqqqqqqqS （ 附注：附注：关于重复组合问题关于重复组合问题从从m 个不
23、同元素中每次取个不同元素中每次取 n 个元素（元素可重复选取）不管排列顺个元素（元素可重复选取）不管排列顺序构成一组称为重复组合，记为：序构成一组称为重复组合，记为： （m 可大于、等于或小于可大于、等于或小于n ）nmC)!1( !)!1(1 mnnmCCnnmnm重复组合与重复组合与通常组合不通常组合不同，其计算同，其计算公式为：公式为：通常组合计算公式：通常组合计算公式：)!( !nmnmCnm 重复组合计算公式表明：重复组合计算公式表明： 从从m个不同元素中每次取个不同元素中每次取n个元素的重复个元素的重复组合的种数等于从（组合的种数等于从（m+n-1）个不同元素）个不同元素中每次取中
24、每次取n个元素的普通组合的种数。个元素的普通组合的种数。应用重复组合，计算全应用重复组合，计算全同同Bose 子体系可能状子体系可能状态总数是很方便的。态总数是很方便的。如上例，求体系可能状态总数的问如上例，求体系可能状态总数的问题实质上就是一个从题实质上就是一个从 3 个状态中每个状态中每次取次取3 个状态的重复组合问题。个状态的重复组合问题。10)!35( !3!535313333 CCC（3）Fermi 子体系和波函数反对称化子体系和波函数反对称化2 个个Fermi 子体系，其反对称化波函数是：子体系，其反对称化波函数是：)()()()(21),),21),2121122121qqqqq
25、qqqqqjjiiA （行列式的性质保证行列式的性质保证了波函数反对称化了波函数反对称化推广到推广到N 个个Fermi 子体系：子体系：)()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （两点讨论两点讨论I。行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，。行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而因而 A 是是 本征方程本征方程 H = E 的解的解.II。交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，。交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称由行列式性质可知，行列式要变号
26、，故是反对称 化化波函数。此行列式称为波函数。此行列式称为 Slater 行列式。行列式。（1）二）二 Fermi 子体系子体系其反对称化波函数为：其反对称化波函数为：)()()()(21)()()21),2121122121qqqqqqqqqqjjiijijiA （若二粒子处于相同态，例如都处于若二粒子处于相同态，例如都处于 i 态，则态，则0)()()21),122121 qqqqqqiiiiA （)()()()(212121qqqqiiii 写成写成 Slater 行列式行列式两行相同，两行相同，行列式为行列式为 0（2）N Fermi 子体系子体系)()()()()()()()()(!
27、1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （三）（三）Pauli 原理原理0)()()()()()()()()(!1),21212121 NkkkNiiiNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （如果如果 N 个单粒子态个单粒子态 i j k 中有两个相同，则行列中有两个相同，则行列式中有两行相同，于是行列式为式中有两行相同，于是行列式为0，即，即两行两行同态同态上述讨论表明，上述讨论表明，N FermiN Fermi 子体系中，不能有子体系中，不能有 2 2 个或个或 2 2 个以上个以上FermiFermi 子处于同一状态，这一结论称为子处于同一状态，这
28、一结论称为 PauliPauli 不相容原理。波函数不相容原理。波函数的反对称化保证了全同的反对称化保证了全同FermiFermi 子体系的这一重要性质。子体系的这一重要性质。（3）无自旋）无自旋轨道相互作用情况轨道相互作用情况在无自旋在无自旋轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略时，体轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略时，体系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式：系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式：),),),;,21212211NNNNsssrrrsrsrsr（ 若是若是FermiFermi 子体子体系，则系，则 应是应是反对称化的。反对称化的。对对2 粒子情况
29、，反粒子情况，反对称化可分别由对称化可分别由 的对称性保证。的对称性保证。I。 对称，对称， 反对称；反对称； II。 反对称，反对称， 对称。对称。（一）二电子波函数的构成（一）二电子波函数的构成 （二）总自旋（二）总自旋 S2，SZ 算符的本征函数算符的本征函数 （三）二电子波函数的再解释（三）二电子波函数的再解释8 两电子自旋波函数两电子自旋波函数当体系当体系 Hamilton 量不含二电子自旋相互作用项时，量不含二电子自旋相互作用项时，),()()(),2121221121 zzzzssss（二电子自旋波函数二电子自旋波函数单电子自旋波函数单电子自旋波函数可构成可构成4种相互独立二电子
30、自旋波函数：种相互独立二电子自旋波函数：)()()()()()()()(212121212121212121212121zzzzzzzzssssssss 由此又可构成由此又可构成4组具有一定对称性的二电子自旋波函数：组具有一定对称性的二电子自旋波函数：112211221111222211112222(1)12(2)12(3)112212112212()()()()()()()()()()()()szzszzszzzzAzzzzssssssssssss对称对称 波函数波函数反对称反对称 波函数波函数（一）二电子波函数的构成（一）二电子波函数的构成21ssS （1）总自旋算符：）总自旋算符：)(2
31、)(2122212212ssssssS zzyyxxssssssss21212121 zzzssS21 （二）总自旋（二）总自旋 S2，SZ 算符的本征函数算符的本征函数222121212123()2()2xxyyzzSsss ss ss s112201101001222xS 11222xS同理：11222yiS11222yiS 11222zS11222zS（2） S ， A 是是 S2 ， SZ 的本征函数：的本征函数： 证：证：计算表明，计算表明， sI 是是 S2 和和SZ 的本征函数，其本征值分别为的本征函数，其本征值分别为2 2和和 。相应的自旋角动。相应的自旋角动量量子数量量子数
32、S=1，磁量子数，磁量子数 mZ =11122111111222222122(1)2(1)(1)1212122(1)121212122(1)1122112211222(1)32()232()()()232()()()()()()232(22ssxxyyzzssxxyyzzzzsxzxzyzyzzzzzsSs ss ss ss ss ss ssssssssssssssss111112222211221211111122222212121222(1)1222(1)(1)2(1)(1)1212112122)()()()()()222223()()223222()()()()()()()zzzzzzszzsszszzzzzzzzzziisssssssSSSssSsssSs111122221212(1)()()()()22zzzzsssss同理可求得：同理可求得：2(2)2(2)2(3)2(3)2(2)(2)(3)(3)22000SSSSAzSSzSSzASSSSSS 以及上述结果表明：上述结果表明：221(1)321(2 )23123(3)01021121121000000SSzSmSSSASSSm三 重 态单 态作业 7.6 7.7
