初等变换与初等矩阵课件.ppt

1、线性代数线性代数 第三章第三章1教学目的掌握等价概念，理解阶梯形、最简形和标准掌握等价概念，理解阶梯形、最简形和标准形矩阵。理解初等矩阵与初等变换的关系定形矩阵。理解初等矩阵与初等变换的关系定理，理解相应推论，会用初等变换求逆矩阵理，理解相应推论，会用初等变换求逆矩阵和解方程组。和解方程组。作业重点初等变换的代数化定理初等变换的代数化定理练习册练习册第第 17-2117-21页页T1T15 5其中交：其中交：P17P172020，T1T13 3难点初等变换与初等矩阵的关系初等变换与初等矩阵的关系讲授方法按照章节顺序讲授按照章节顺序讲授讲授内容主讲授内容主线线初等变换初等阵，分清左乘左边乘；左乘

2、可初等变换初等阵，分清左乘左边乘；左乘可逆行变换，求逆还能解方程。子式定义求变逆行变换，求逆还能解方程。子式定义求变换换内容概括初等矩阵左右乘，变换成了乘逆阵，求逆还初等矩阵左右乘，变换成了乘逆阵，求逆还能解方程。子式定义的秩初等行变换求能解方程。子式定义的秩初等行变换求班级： 时间： 年 月 日； 星期 第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章2第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵本次课讲：本次课讲： 第三章第一节和第二节第三章第一节和第二节下次课讲：下次课讲： 第三章第三节第四节第三章第三节第

3、四节 下次上课时下次上课时交作业第交作业第17页到第页到第18页页线性代数线性代数 第三章第三章3一、分块矩阵一、分块矩阵1.分块矩阵的概念分块矩阵的概念将矩阵将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，A每一每一个小矩阵称为个小矩阵称为 的的子块子块，A以子块为元素的形式上的矩阵称为以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵如 4544434141353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.41312111AAAAA 4544434141353433323125242322211514131211a

4、aaaaaaaaaaaaaaaaaaa.1514131211AAAAAA 第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章42.分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则 分块矩阵运算把握分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算，点，第一，子块当元素看可运算，第二，子块当矩阵看也可运算。如：第二，子块当矩阵看也可运算。如：设矩阵设矩阵A与与B为为同型矩阵，采用相同的分块法，有同型矩阵，采用相同的分块法，有, ,11111111srsrsrsrBBBBBAAAAA其中其中 与与 为同型矩阵，那么为同型矩阵，那么ijAijB.11111111s

5、rsrssrrBABABABABA第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章54.分块对角矩阵：分块对角矩阵：设设 A 为为 n 阶矩阵，如果阶矩阵，如果A的对角线分块的对角线分块矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，即零矩阵，即,21sAAAA其中其中 都是方阵，都是方阵，sAAA,21A那么称那么称 为为分块对角矩阵分块对角矩阵。分块对角矩阵有下列分块对角矩阵有下列性质性质：;21sAAAA（b）若）若0iA, 1si则则, 0A并有并有（a).112111sA

6、AAAOO第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章6若 00000021rBBBB且子块 riB321, i均可逆，则B可逆，且 000000111111BBBBrr同理，容易验证如下结论同理，容易验证如下结论第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章73.分块运算的作用分块运算的作用1.分块运算使得矩阵结构简单，利于诠释一些问题和概念 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111, nxxx21, mbbb21xb

7、记 mnmmnnijaaaaaaaaaaA212222111211如, mmnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211B按分块矩阵的记法,| bAB 或bAB,21baaan利用矩阵乘法，此方程组可记作. bAx 将将B B按列分块按列分块第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章8若将系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方程组可记作xTmTT 21, mbbb21这就相当于把每个方程iiniibxaxaxa 22211记作xTi .,mibi21 若将系数矩阵 A 按列分成 n 块，则线性方程组可记作nxxx2

8、1naaa,21, b即1a2ananxxx 21, b第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章9进进行行计计算算分分析析：利利用用阶阶可可逆逆矩矩阵阵，则则为为其其中中设设 nnnBABAABPAPPBA000023100001010220041_, 10010110011010022111AAAA,解：解：例例1（2004、4）EAAA 10001000110001000110042212,)(第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章10EAAA 5014100222

9、004)()(即即 10003000322222004AEAB,所以所以EEPPPAPBAPPB 12004120041有有又：又：, *)()()(;)()(,BAABDABBACAABBBBBAAACCBACBABAnBA0000000000022的伴随矩阵的伴随矩阵则则分块矩阵分块矩阵对应的伴随矩阵，对应的伴随矩阵，、分别为分别为阶矩阵，阶矩阵，为为、数学四）设数学四）设（例例即即可可与与由由已已知知分分别别求求式式分分析析：根根据据伴伴随随矩矩阵阵公公11 CCCCCECCC,;*第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章11

10、;,* 11111000000BABACBABACCCC解：解： *BAABBBAABABABACCC00000011111D故答案为故答案为.)(;)(;)(;)(_,* 0320023003200230003220093BADBACABBABABABABABABA的的伴伴随随矩矩阵阵为为则则分分块块矩矩阵阵的的伴伴随随矩矩阵阵，若若、分分别别为为均均为为二二阶阶矩矩阵阵，、，数数一一）：设设（例例题题第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章12可可逆逆分分析析： 00061004321BABABAt,)()( 006000000

11、1111ABBABABAAAAEAAA*,;由由公公式式BABABAB选选； 032026360066011*第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章13（1）行阶梯形矩阵及其特点）行阶梯形矩阵及其特点（i）可画出一条阶梯线，每个台阶只有一行，可画出一条阶梯线，每个台阶只有一行，（ii）阶梯的首元非零，阶梯下全为零。）阶梯的首元非零，阶梯下全为零。二、几类特殊矩阵二、几类特殊矩阵行阶梯、行最简与标准型矩阵行阶梯、行最简与标准型矩阵 00000000000070400003325010452350000340205034031002（

12、2）行最简形矩阵及其特点）行最简形矩阵及其特点（i）是一个行阶梯形矩阵；是一个行阶梯形矩阵；（ii）非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1，该元素所在的列的其它，该元素所在的列的其它元素都为元素都为0，如：，如： 00000310003011040101第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章14 00000000000010001000111212111)(,rnrrrnrrnrnrDEdddddd的的一一般般形形式式依依次次排排列列，可可得得行行最最简简首首元元由由此此例例可可得得看看出出，若若把把（3）矩阵的标准型）矩

13、阵的标准型形如形如OOOEFr其中其中 为为 r 阶单位矩阵。阶单位矩阵。rE的矩阵称为标准形矩阵，如： 00010001000100000000第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章15简要概括特点： 1.行阶梯的行阶梯的3个特点：个特点：1.画成阶梯，且每阶梯首元不为画成阶梯，且每阶梯首元不为0；2.每阶梯每阶梯1行；行；3.阶梯下全为阶梯下全为0。 2.行最简行最简3个特征：个特征：1.是行阶梯；是行阶梯；2.首元为首元为1，3.1所在所在列余元为列余元为0变变换换初初等等行行变变换换与与初初等等列列初初等等变变换换）初初等

14、等行行变变换换：（ .;ijijikrrkrrr1变换变换 的逆变换就是本身；的逆变换就是本身；jirr 变换变换 的逆变换是的逆变换是 （或记作（或记作 ）；）；krikri1kri2.初等变换性质初等变换性质1）可逆性：即矩阵的三种初等变换都是可逆的）可逆性：即矩阵的三种初等变换都是可逆的变换变换 的逆变换是的逆变换是jikrr jirkr或记作或记作 ）。）。jikrr 三、初等变换三、初等变换1.定义定义第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章162）等价性：）等价性：矩阵之间的等价关系具有下列特征：矩阵之间的等价关系具有下

15、列特征：（i）反身性反身性AA；（ii）对称性对称性若若AB，则，则BA；（iii）传递性传递性若若AB，BC，则，则AC.如果矩阵如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称就称矩阵矩阵 A 与与矩阵矩阵 B 等价等价，记作记作 AB.3.初等变换的作用：初等变换的作用：（1） 一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的；一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的；（2）一个矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。一个矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。矩阵矩阵 A 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；有限次有限次初等行变换初等行变换1.2.

16、对行最简形矩阵施以初等列变换，可以变成标准形。即对行最简形矩阵施以初等列变换，可以变成标准形。即 000EFA有限次初等变换有限次初等变换矩阵矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章170000031000301104010143cc 00000301003101041001000100010001214ccc3215334cccc00000000第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章183.如果把线性方程组的系数与常数看成一个线性方程组的增广矩阵，如果把线性方程组

17、的系数与常数看成一个线性方程组的增广矩阵，则初等变换与方程组的代数消元法完全一致。则初等变换与方程组的代数消元法完全一致。就是说，就是说，经过初等行经过初等行变换，增广矩阵表示的线性方程与原方程组同解。变换，增广矩阵表示的线性方程与原方程组同解。如方程组：如方程组：的增广矩阵为：的增广矩阵为： .,97963422644 2 2 24321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx97963422644121121112B 00000310003011040101B矩矩阵阵变变成成经经过过初初等等行行变变换换，增增广广, 4 31 xx, 3 32 xx, 34 x. 00 对应

18、的方程组为：这一方程组与原方程组同解第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章19()A,E0-21302230A =()A,E021100302010230001=30201002110009402312rr33r 312rr30201002110000194632r 329rr132rr23rr3001891202084600194610063401042300194613r 2( 2)r = ()E,X第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章20四、初等矩阵的概念四、

19、初等矩阵的概念定义定义4 4由单位矩阵由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。（1 1）对调两行或对调两列：注意记法：）对调两行或对调两列：注意记法：E(i,jE(i,j) )把单位矩阵中第把单位矩阵中第 i, j 两行对调两行对调( ),jirr 得初等矩阵得初等矩阵 1101111011jiE ,第第 i 行行第第 j 行行第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章21（2 2）以数）以数 k 0 乘某行或某列乘某行或某列以数以数 k0 乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第 i 行（行

20、（ ），），kri得初等矩阵得初等矩阵 kiE 1111k第第 i 行行 kijE 1111k第第 i 行行第第 j 行行（3 3）以数）以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去乘某行（列）加到另一行（列）上去得初等矩阵行上行加到第的第乘以数),(jikrrijEk第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章22（1）变换）变换 的逆变换就是其本身，的逆变换就是其本身，jirr 则则;,1jiEjiE（2）变换）变换 的逆变换是的逆变换是 ，kri kri1则则 ;11kiEkiE（3）变换）变换 的逆变换是的逆变换是 ，jikrr

21、jirkr .1kijEkijE则则2112121211000100011000010101000010103,EEEE ，阶阶矩矩阵阵验验证证：这这里里用用初等变换对应着初等矩阵，由初等变换可逆知初等矩阵初等变换对应着初等矩阵，由初等变换可逆知初等矩阵可逆，且初等变换的逆变换对应着相应初等矩阵的逆矩阵：可逆，且初等变换的逆变换对应着相应初等矩阵的逆矩阵：2.初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章23五、初等变换与初等矩阵，初等矩阵与逆矩阵五、初等变换与初等矩阵，初等矩阵与逆矩阵阶阶初初等等矩矩阵阵

22、。乘乘以以相相应应的的的的右右边边相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换，阶阶初初等等矩矩阵阵，对对乘乘以以相相应应的的的的左左边边当当于于在在施施行行一一次次初初等等变变换换，相相矩矩阵阵，对对是是一一个个：设设定定理理nAAmAAnmA 1（这里仅就第一类两行互换与第三类行初等变换的情形给出证明）（这里仅就第一类两行互换与第三类行初等变换的情形给出证明）1212121221222100010001100012001100012001rrrrrrrrEEEE ,222211110001000110001000110000001rkkrrkkrEEkkEE ,第六讲：分块矩阵、初

23、等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章24证明：设证明：设A经过一次第经过一次第3类行初等变换类行初等变换rij（k）后变成）后变成B，记作：，记作：AB，这，这B也是也是m*n阵，将阵，将A、B按行分块，则有按行分块，则有 TnTjTiTaaaaA1BaakaaaaaaakAkjiETnTjTjTiTTnTjTiT 1111011)(,(第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章25 TnTjTiTaaaaA1 TnTiTjTTnTjTiTaaaaaaaaAjiE111101111011,

24、第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章26定理：方阵定理：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵.llPPPAPPP2121 使使得得：EPPPPPPAPPPlll 211112111121：因初等矩阵皆可逆，则因初等矩阵皆可逆，则111211 PPPAl由由逆逆矩矩阵阵定定义义，即即得得1)充分性：充分性： 若存在有限个初等矩阵若存在有限个初等矩阵证证:.llPPPAPPP2121 使使得得：knmPPPPkAkA21 个个初初等等矩矩阵阵之之积积左左（右右）边边乘乘上上相相当当于于的的相

25、相当当于于在在次次初初等等行行（列列）变变换换，施施行行推推论论：对对第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章27则则 F 经有限次初等变换可以变成经有限次初等变换可以变成 A ,由定理由定理1，即存在有限个初等矩阵，即存在有限个初等矩阵lsslPFPPPPAPPP12121 使使得得：,可逆可逆可逆，所以可逆，所以可逆，初等矩阵可逆，可逆，初等矩阵可逆，因因FPPPAl21lrPPPAEFnrFFnrnrEF210000 即：即：，则则可逆矛盾；若可逆矛盾；若与与则则若若其中其中设设,;,第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲

26、：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章28由该定理，显然可推出如下由该定理，显然可推出如下重要结论：重要结论：推论：系列初等行变换恒等于一可逆矩阵推论：系列初等行变换恒等于一可逆矩阵五、系列初等行变换等同于五、系列初等行变换等同于A左边乘一可逆矩阵左边乘一可逆矩阵 PAAPABPBArr,.或或可可叙叙述述成成使使得得矩矩阵阵的的充充要要条条件件是是存存在在可可逆逆：结结论论11BPAPPPPBAPPPPPPkBABAkkkr 可可逆逆，则则令令使使得得矩矩阵阵个个初初等等即即存存在在可可初初等等行行变变换换到到，则则证证：必必要要性性：若若212121,第六讲：分块矩阵

27、、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章29论论按按照照逆逆阵阵定定义义，即即得得结结，则则中中的的中中，令令分分析析：在在结结论论：可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是：方方阵阵结结论论,.EBAPBPAEAAr 1133BABAPPPBPAPPPPkBPAPrkk,即即：初初等等矩矩阵阵之之积积，故故：令令个个，由由于于逆逆矩矩阵阵为为使使得得充充分分性性：若若存存在在可可逆逆的的 2121)(AQABAQQBAcc，使使得得，可可逆逆的的的的充充分分必必要要条条件件是是存存在在同同理理可可证证： BPAQQnPmBAnm 使使得得阶阶可可

28、逆逆矩矩阵阵及及矩矩阵阵阶阶可可逆逆在在的的充充分分必必要要条条件件是是，存存矩矩阵阵论论：及及其其推推论论，易易得得如如下下结结：由由结结论论结结论论,.122第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章30),(),(),(),(),(.1111114 AEEAAAEAAEAAEAr：由结论由结论可逆矩阵可逆矩阵，即左乘一，即左乘一施行一系列初等行变换施行一系列初等行变换对分块矩阵对分块矩阵用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵 EA初等列变换初等列变换 1E A第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵

29、线性代数线性代数 第三章第三章31例例2 设设, 343122321A求求.1A 2 3 1 0 0 1解解100343010122001321| EA0 0 1 3 2 11 0 3 6 2 0122rr 133rr 0 1 2 5 2 00 1 1 2 0 11 1 1 1 0 023rr 21rr 0 1 2 5 2 0312rr 325rr 5 6 3 0 2 01 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 02 3 1 0 0 15 6 3 0 2 022r13r11110025323010231001第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性

30、代数 第三章第三章32所以所以.111253232311A5.用初等变换求解方程组用初等变换求解方程组我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方程组程组AX=b,这里，假定这里，假定A是方阵且可逆是方阵且可逆),(),(),(),(:.,XEbAEbAAbABAXBAXr 111用用初初等等行行变变换换表表示示就就是是因因此此有有对对于于方方程程第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章33),(),(),(),(),(),(XEXXXEbAbAbAEBAAABAABAkkr 21

31、12111111.,:.,:kkkkbAXbAXbAXbAXbAXbAX12121112211 对对应应的的解解为为阵阵方方程程组组注注意意另另外外一一类类同同系系数数矩矩:).,(),(),(:,:),(),(:用初等行变换表示即用初等行变换表示即其解为其解为个方程组的组合方程组个方程组的组合方程组则得则得令令kkkkkbAbAbAbbbABAXXXXBAXkbbbBXXXX121112111212121 第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章34例例3 求矩阵求矩阵 X，使使AX=b1，AXb2其中其中 315b,432b 3

32、4312232121 ,A即即可可初初等等变变换换：然然后后对对（成成一一个个矩矩阵阵方方程程组组将将两两个个线线性性方方程程组组合合并并所所以以可可令令矩矩阵阵是是一一样样的的，由由于于两两个个方方程程组组的的系系数数分分析析：设设),(),(),),(,BAEBAABABAXbbBbAxbAx112121 341352 343122321BA|122rr 133rr 5 2 3 2 102 51902 6 21221rr 23rr 4 1 2 0 1 9 1 5 2 0 3 1 1 0 0 312rr 325rr 2 3 0 0 16 4 0 2 0 3 1 1 0 0 第六讲：分块矩阵、

33、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章3522r13r.311003201023001.313223X可对矩阵可对矩阵 作初等列变换，使作初等列变换，使CACA初等列变换初等列变换.1CAE,1CAY如果要解形如如果要解形如,CYA,1CAY的方程组，且A可逆，则或对矩阵或对矩阵 初等行变换，使初等行变换，使TTCA ,TTCA ,初等行变换初等行变换TTCAE1,即即TTCA1从而求得从而求得Y.TTCA1TTCAY1第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章36例例4：（2004，1、2）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，B的第2列加到第3列得C，则满足AQC的可逆矩阵Q为100001110)(110001010)(100101010)(101001010)(DCBA分析：按照题意，用初等矩阵描述，有分析：按照题意，用初等矩阵描述，有CBBA100110001,100001010CA100110001100001010则：100001110100110001100001010Q因此：第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵