1、第6讲,空间坐标系与空间向量,或AB.空间向量可以在空间内自由平行移动.,1.空间向量的概念,在空间，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，记作 a,(1)加法：ABBCAC(三角形法则：首尾相连，指向终点).,(2)减法：ABACCB(三角形法则：共点出发，指向被减).,2.空间向量的运算, ,(3)数乘向量：a(R)仍是一个向量，且a 与 a 共线，|a|a|.,(4)数量积：ab|a|b|cosa，b，ab 是一个实数.3.空间向量的运算律,(1)交换律：abba；abba.,(2)结合律：(ab)ca(bc)；(a)b(ab)(R)注,意：(ab)ca(bc)一般不成立.,(3)分配律：
2、 (ab)ab(R)；a(bc)abac.,4.空间向量的坐标运算叫做点 P 的坐标.(2)设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么ab(x1x2，y1y2，z1z2) ；,a_；ab x1x2y1y2z1z2 ；,(x1，y1，z1),余弦值为 ，则(,D.2 或,1.若向量 a(1，2)，b(2，1，2)，且 a 与 b 夹角的,89,),C,A.2,B.2,C.2 或,255,255,A.一定不共面C.不一定共面,B.一定共面D.无法判断,B,P，A，B，C 四点共面.故选 B.,A,图 D63,4.已知点 O 为坐标原点，三点的坐标分别是 A(2，1，2)，,标为_.,
3、考点 1,空间向量的线性运算,图 8-6-1,【规律方法】(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知向量和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.,(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.,(3)向量的线性运算有一个常用的结论：如果 B 是线段 AC,算.,【互动探究】,1.(2016 年河南郑州模拟)如图 862，已知空间四边形OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别为
4、 OA，BC 的中点，,则 xyz_.,图 8-6-2,答案：,56,向量OG_.,2.如图 8-6-3，已知空间四边形 OABC 中，点 M 在线段 OA上，且 OM2MA，N 为 BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且,图 8-6-3,考点 2,空间向量的数量积运算,例 2：(2016 年山西太原模拟)如图 8-6-4，直三棱柱 ABC-A1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90，棱 AA12， M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点.(3)求证：A1BC1M.图 8-6-4,(1)解：如图 D64，建立空间直角坐标系.,图 D64,【规律方法】利用数量积解决问题的两条途径：
5、一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.a0，b0，ab?ab0；,例 3：(2015 年新课标)如图 8-6-5，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.,(1)证明：平面 AEC平面 AFC；,(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.,图 8-6-5,图 D65,【规律方法】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面中的角的大小.,(2)由两个向量的数量积定义，得 cosa，b
6、,ab|a|b|,，求,a， b的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出a， b的余弦值，进而求a，b的大小.在求 ab 时注意结合空间图形，把 a，b 用基向量表示出来,进而化简得出,ab 的值,【互动探究】,3.(2012 年大纲)三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为_.,4.(选修 21P105例1改编)如图 866，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60.,图 8-6-6,易错、易混、易漏,向量夹角不明致误,例题：如图 8-6-7，在 120的二面角-l-中，Al，Bl，AC?，BD?，且 ACAB，BDAB，垂足分别为 A，B.已知ACABBD6，试求线段 CD 的长.,图 8-6-7,【失误与防范】(1)求解时，易混淆二面角的平面角与向量,此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角.,(2)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符,号等细节，避免出错.,
