1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 46 讲 双曲线 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 2了解圆锥曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景 3理解数形结合的思想 . 2017 全国卷 ， 5 2017 北京卷，10 2017 天津卷， 5 2017 山东卷，15 1.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；判断双曲线焦点的位置 2求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率 . 分值： 5 分 1 双曲线的定义 平面内与两个定点 F1， F2 的 ！ _距离之差的绝对值
2、_#等于常数 (小于 | |F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做 ！ _双曲线的焦点 _#，两焦点间的距离叫做 ！ _双曲线的焦距 _#. 集合 P M| | | |MF1 | |MF2 2a， | |F1F2 2c，其中 a， c 为常数，且 a0， c0. (1)当 ！ _a c_#时，点 P 的轨迹是双曲线； (2)当 ！ _a c_#时，点 P 的轨迹是两条射线； (3)当 ！ _a c_#时，点 P 不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1(a 0， b 0) y2a2x2b2 1(a 0， b 0) 图形 性 质 范围 x a 或 x a， y
3、 R y a 或 y a， x R 对称性 对称轴： ！ _坐标轴 _#，对称中心： ！ _原点 _# 顶点 A1！ _( a,0)_#， A1！ _(0， a)_#，=【 ;精品教育资源文库 】 = A2！ _(a,0)_# A2！ _(0， a)_# 渐近线 y bax y abx 离心率 e！ _ca_#， e (1， ) a， b， c 的关系 c2 ！ _a2 b2_# 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 | |A1A2 ！ _2a_#；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 | |B1B2 ！ _2b_#； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 3常用结
4、论 (1)双曲 线的焦点到渐近线 x2a2y2b2 0(a 0， b 0)的距离为 b.如右图 OFH 是分别以边a， b， c 为边长的直角三角形 (2)如下图： x2a2y2b2 1(a b 0) x2a2y2b2 1(a 0， b 0) 则有： P1， P2两点坐标都为 ? ?c， b2a ，即 | |FP1 | |FP2 b2a. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)平面内到点 F1 (0,4)， F2(0， 4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线 ( ) (2)平面内到点 F1(0,4)， F2(0， 4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线 ( ) (3)
5、方程 x2my2n 1(mn 0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 ( ) (4)双 曲线方程 x2m2y2n2 (m 0， n 0， 0) 的渐近线方程是x2m2y2n2 0，即xmyn=【 ;精品教育资源文库 】 = 0.( ) 解析 (1)错误由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部 (2)错误因为 | | |MF1 | |MF2 8 | |F1F2 ，表示的轨迹为两条射线 (3)错误当 m 0， n 0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m 0， n 0 时则表示焦点在 y 轴上的双曲线 (4)正确因为 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线方程为 y bax，即x
6、2a2y2b2 0，所以当 0 时， x2m 2y2 n2 1(m 0， n 0)的渐近线方程为x2m 2y2n 2 0，即x2m2y2n2 0，即xmyn 0，同理当 0 时，仍成立，故结论正确 2过双曲线 x2 y2 8 的左焦点 F1有一条弦 PQ 在左支上，若 | |PQ 7， F2是双曲线的右焦点，则 PF2Q 的周长是 ( C ) A 28 B 14 8 2 C 14 8 2 D 8 2 解析 由双曲线定义知 | |PF2 | |PF1 4 2， | |QF2 | |QF1 4 2， | |PF2 | |QF2 (| |PF1 | |QF1 ) 8 2. 又 | |PF1 | |Q
7、F1 | |PQ 7， | |PF2 | |QF2 7 8 2. PF2Q 的周长为 14 8 2. 3双曲线 2x2 y2 8 的实轴长是 ( C ) A 2 B 2 2 C 4 D 4 2 解析 双曲线 2x2 y2 8 的标准方程为 x24y28 1，所以实轴长 2a 4.故选 C 4设双曲线 x2a2y29 1(a 0)的渐近线方程为 3x2 y 0，则 a 的值为 ( C ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析 双曲线 x2a2y29 1 的渐近线方程为xay3 0， 整理得 3x ay 0，故 a 2.故选 C 5在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，
8、一条渐近线方程为x 2y 0，则它的离心率为 ( A ) A 5 B 52 C 3 D 2 解析 设双曲线方程为 y2a2x2b2 1(a 0， b 0)，其中一条渐近线方程为 yabx， ab12=【 ;精品教育资源文库 】 = ac2 a2，即 c2 a2a2 e2 1 4， e 5. 一 双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义和标准方程中的注意点 (1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常 考虑利用双曲线的定义 (2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件 “ 差的绝对值 ” ，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支 (3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意 a，
9、b， c 的关系易错易混 【例 1】 (1)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 32，则 C 的方程是 ( B ) A x24y25 1 Bx24y25 1 C x22y25 1 Dx22y25 1 (2)设 F1， F2是双曲线 x2 y224 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且 3| |PF1 4| |PF2 ，则 PF1F2的面积等于 ( C ) A 4 2 B 8 3 C 24 D 48 解析 (1)由曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，知 c 3， 由离心率 e 32，知 ca 32，则 a 2， 故 b2 c2 a2 9 4 5， 所以双曲线
10、C 的方程为 x24y25 1. (2)双曲线的实轴长为 2，焦距为 | |F1F2 25 10.据题意和双曲线的定义知 2 | |PF1 | |PF2 43| |PF2 | |PF2 13| |PF2 ， | |PF2 6， | |PF1 8， | |PF1 2 | |PF2 2 | |F1F2 2， PF1 PF2. S PF1F2 12| |PF1 | |PF2 1268 24. 二 双曲线的几何性质及其应用 =【 ;精品教育资源文库 】 = 双曲线中一些几何量的求 解方法 (1)求双曲线的离心率 (或范围 )依据题设条件，将问题转化为关于 a， c 的等式 (或不等式 )，解方程 (或
11、不等式 )即可求得 (2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中 a， b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程 (3)求双曲线的方程依据题设条件求出 a， b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程 (4)求双曲线的焦点 (焦距 )、实 (虚 )轴的长依题设条件及 a， b， c 之间的关系求解 【例 2】 (1)(2016 山东卷 )已知双曲线 E： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)，矩形 ABCD 的四个顶点在 E上， AB， CD的中点为 E的两个焦点，且 2|AB| 3|BC|，则 E的离心率是 ！ _2_#. (2)(2017 山东卷 )在平面直角坐标
12、系 xOy 中，双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2 2py(p 0)交于 A， B 两点若 |AF| |BF| 4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为！ _y 22 x_#. 解析 (1)由已知得 |AB| |CD| 2b2a ， |BC| |AD| |F1F2| 2c.因为 2|AB| 3|BC|，所以 4b2a 6c,2b2 3ac， 2b2a2 3e,2(e2 1) 3e,2e2 3e 2 0，解得 e 2 或 e 12(舍去 ) (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线的定义可知 |AF| y1 p2， |BF| y2
13、p2， |OF| p2，由 |AF| |BF| y1 p2 y2 p2 y1 y2 p 4|OF| 2p，得 y1 y2 p. 联立方程，得? x2a2y2b2 1，x2 2py?2pya2 y2b2 1?y2b22pya2 1 0. 由根与系数的关系得 y1 y2 2pa21b2 2pa2 b2 2b2a2 p. 2b2a2 p p?b2a212?ba22 ， 双曲线的渐近线方程为 y 22 x. 三 直线与双曲线的位置关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解有关直线与双曲线的位置关系的方法 (1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元
14、后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入 (2)与中 点有关的问题常用点差法 (3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系 【例 3】 若双曲线 E： x2a2 y2 1(a 0)的离心率等于 2，直线 y kx 1 与双曲线 E 的右支交于 A， B 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若 | |AB 6 3，点 C 是双曲线上一点，且 OC m(OA OB )，求 k， m 的值 解析 (1)由? ca 2，a2 c2 1，得? a2 1，c2 2. 故双曲线 E 的方程为 x2 y2 1. 设 A(x1， y1)， B(x2， y
15、2)，由? y kx 1，x2 y2 1， 得 (1 k2)x2 2kx 2 0. 直线与双曲线右支交于 A， B 两点， ? x1 x20，x1 x20， 0，即? k 1， ?2k?2 4?1 k2? ? 2? 0， 即 ? k 1， 2 k 2， 所以 1 k 2，即 k 的取值范围是 (1， 2) (2)由 得 x1 x2 2kk2 1， x1x2 2k2 1， | |AB 1 k2 ?x1 x2?2 4x1x2 2 ?1 k2?2 k2?k2 1?2 6 3， 整理得 28k4 55k2 25 0， k2 57或 k2 54， 又 1 k 2， k 52 ， x1 x2 4 5， y1 y2 k(x1 x2) 2 8. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 C(x3， y3)， 由 OC m(OA
